2019-2020学年重庆市第一中学高二上学期期末考试 数学

2019-2020学年重庆市第一中学高二上学期期末考试 数学

秘密★启用前 【考试时间：1月16日 15:00 — 17:00】‎ ‎2020年重庆一中高2021级高二上期期末考试 数学测试试题卷 注意事项：‎ 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。‎ 2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。‎ 3. 考试结束后，将答题卡交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.直线的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若双曲线的焦距为6，则实数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（ ）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎4.函数在区间上的最大值是（ ）‎ A．0 B．4 C．2 D．‎ ‎5.已知空间中三条不同的直线和平面，下列结论正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若,，则 C．若，则 D．若，则 ‎6.定义在上的函数满足，为的导函数，且，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.函数的图像大致是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.在三棱锥中，底面，是的中点，已知，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.已知双曲线过点且其渐近线方程为，的顶点恰为的两焦点，‎ 顶点在上，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知函数，若，，，则实数的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆C交于A,B两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.设表示不大于实数的最大整数，函数，若关于的方程有且只有5个解，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。‎ ‎13. 已知函数，的导函数为，则的值为_______‎ ‎14. 已知函数，若是函数的极小值点，则实数的值为________ ‎ ‎15. 在正方体中，分别是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为________‎ ‎16. 过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，为坐标原点，则=________ ‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(本小题满分10分)已知函数在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求的单调区间.‎ 18. ‎(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面，分别为的中点，，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎19.(本小题满分12分)已知抛物线的焦点为， 点为抛物线上一点，且．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）不过原点的直线与抛物线交于两个不同的点，若，求实数的值.‎ ‎20.(本小题满分12分) 如图1，在直角中，，分别为的中点，连结并延长交于点，将沿折起，使平面平面，如图2所示．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎21.(本小题满分12分)已知椭圆：（）的离心率为，其左焦点到点的距离是．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线：被圆截得的弦长为3， 且与椭圆交于，两点，求面积的最大值(为坐标原点).‎ ‎22.(本小题满分12分)（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）已知函数，，如果函数有两个极值点 ‎，，求证：.（参考数据：，，，为自然对数的底数）‎ ‎ ‎ ‎ 命题人：唐维彬 审题人：邹发明 蒋 静 ‎2020年重庆一中高2021级高二上期期末考试数学参考答案 一．选择题 ‎1-5 BDBCA 6-10 CBACD 11-12 CA 二．填空题 ‎13. 14. 15. 16. 7‎ 三．解答题 ‎17.解析：依题意可得：‎ 又函数在处的切线为，‎ ‎ 解得：‎ ‎（2）由（1）可得：，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增，‎ ‎∴的单调减区间为的单调增区间为.‎ 18． ‎【解析】（I）因为，为的中点，，‎ ‎， 四边形为平行四边形. ‎ ‎∴,, , 所以平面； ‎ ‎（II）因为，.因为，. ‎ 又平面平面，平面平面， ‎ 平面， ‎ 因为在中，，，‎ ‎. ‎ 由（I）知平面，连接，则.‎ 又是线段的中点， ，‎ 故三棱锥的体积为. ‎ ‎19.解：（1）已知抛物线过点，且 则，∴，故抛物线的方程为；‎ ‎（2）设，，联立，得，‎ ‎，得，，，‎ 又，则，‎ 或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，‎ 又，综上：的值为．‎ ‎20.（1）证明：由条件可知，而为的中点，，‎ 又面面，面面，且，‎ 平面. 又因为平面，． ‎ ‎（2）由（1）可知，两两相互垂直，如图建立空间直角坐标系，则：‎ ‎…‎ 易知面的法向量为，‎ 设平面的法向量为，则：，易得 设平面与平面所成锐二面角为，则 ‎21．解：（1）由题意可得，，‎ 解得，，， 即有椭圆的方程为；‎ ‎（2）∵到的距离，‎ ‎∴，∴．设，，把代入得 ‎，判别式 ‎ ∴，，∴‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴当，即时，，经检验满足判别式．‎ 思路二: 令，令，则 ‎，当时，取得最大值，经检验满足判别式.‎ 22. 解答：（1）令，，，‎ 令，‎ 当时，，且对称轴，所以当时，，在上单调递增，所以恒成立，‎ 当时，，可知必存在区间，使得，当时，有，即在时上单调递减，由于，此时不合题意，综上；‎ ‎（2）若，则有两个不同的零点,.‎ 由题意，相加有，①‎ 相减有，从而，代入①有 ‎，即，‎ 不妨设，则，由（1）有.‎ 又，‎ 所以，即，设，则，‎ ‎，在单调递增，又 ‎，‎ ‎∴，∴，∴.‎