2018人教A版数学必修一《用二分法求方程的近似解》导学案

2018人教A版数学必修一《用二分法求方程的近似解》导学案

‎3.1.2‎用二分法求方程的近似解导学案 教学目标：‎ ‎ 知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．‎ ‎ 过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．‎ ‎ 情感、态度、价值观 体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．‎ 教学重点：‎ 重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．‎ 难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解。‎ 教学过程：‎ ‎ 一、引入 材料一：二分查找(binary-search)‎ ‎（第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索(binary-search)，在最坏的情况下，需检索（  ）个单元。‎ Ａ．1000 Ｂ．10   Ｃ．100   Ｄ．500‎ 二分法检索（二分查找或折半查找）．‎ 材料二：高次多项式方程公式解的探索史料 由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．‎ 在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．‎ ‎ 二、探究 二分法及步骤：‎ 对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．‎ 给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：‎ ‎1．确定区间，，验证·，给定精度；‎ ‎2．求区间，的中点；‎ ‎3．计算：‎ 若=，则就是函数的零点；‎ 若·<，则令=（此时零点）；‎ 若·<，则令=（此时零点）；‎ ‎4．判断是否达到精度；‎ 即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4．‎ 三、例题解析 ‎ 例1．求函数的一个正数零点（精确到）．‎ ‎ 例2．借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到）．‎ 结论：图象在闭区间，上连续的单调函数，在，上至多有一个零点 四、探究发现 1） 函数零点的性质 从“数”的角度看：即是使的实数；‎ 从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；‎ 若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；‎ 若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点．‎ 1） 用二分法求函数的变号零点 二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．‎ 五、练习 求方程的解的个数及其大致所在区间；‎ 1） 求方程的实数解的个数；‎ 2） 探究函数与函数的图象有无交点，如有交点，求出交点，或给出一个与交点距离不超过的点．‎ 1） 提高作业：‎ 已知函数 ‎．‎ ‎（1）为何值时，函数的图象与轴有两个交点？‎ ‎（2）如果函数的一个零点在原点，求的值．‎ 借助于计算机或计算器，用二分法求函数 的零点（精确到）； 用二分法求的近似值（精确到）． ‎ ‎ ‎ 六、收获与体会 说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区间存在根的基本步骤，及方程根的个数的判定方法；‎ 谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识？‎