【数学】2019届一轮复习人教A版 对数与对数函数 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 对数与对数函数 学案

第 9 讲　对数与对数函数 考纲要求 考情分析 命题趋势 2017·全国卷Ⅰ， 11 2017·北京卷，8 2016·浙江卷，12 1．理解对数的概念及其运算性质， 知道用换底公式将一般对数转化成自然 对数或常用对数；了解对数在简化运算 中的作用． 2．理解对数函数的概念，理解对数 函数的单调性，掌握对数函数图象通过 的特殊点． 3．知道对数函数是一类重要的函数 模型． 4．了解指数函数 y＝ax 与对数函数 y ＝logax 互为反函数(a>0，且 a≠1)． 分值：5～8 分 1．对数式的化简与 求值，考查对数的运算法 则． 2．对数函数图象与 性质的应用，多考查对数 函数的定义域、值域、单 调性，难度不大． 3．指数函数、对数 函数的综合问题，考查反 函数的应用，与指数函数、 对数函数有关的方程、不 等式、恒成立问题，综合 性强，难度稍大． 1．对数的概念 (1)对数的定义 如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作__x＝logaN__，其中 __a__叫做对数的底数，__N__叫做真数． (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为 a(a>0，且 a≠1) __logaN__ 常用对数 底数为__10__ __lg_N__ 自然对数 底数为__e__ __ln_N__ 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①alogaN＝__N__； ②logaaN＝__N__(a>0，且 a≠1)． (2)对数的重要公式 ①换底公式：！！！　logbN＝logaN logab　###(a，b 均大于零，且不等于 1)； ②logab＝ 1 logba，推广 logab·logbc·logcd＝__logad__. (3)对数的运算法则 如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝__logaM＋logaN__； ②loga M N＝__logaM－logaN__； ③logaMn＝__nlogaM__(n∈R)； ④logamMn＝！！！　n mlogaM　###. 3．对数函数的图象与性质 a>1 01 时，__y>0__； 当 01 时，__y<0__； 当 00__ 是(0，＋∞)上的__增函数__ 是(0，＋∞)上的__减函数__ 性 质 y＝logax 的图象与 y＝log1 ax(a>0 且 a≠1)的图象关于 x 轴对称 4．y＝ax 与 y＝logax(a>0，a≠1)的关系 指数函数 y＝ax 与对数函数__y＝logax__互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对 称． 5．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线 y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故 0b>1,00，所以 y＝xc 为增函数，又 a>b>1，所 以 ac>bc，A 项错．对于选项 B，abcy>1，故选 D． 4．函数 y＝ log0.5(4x－3)的定义域为(　C　) A．Error!　　　 B．Error! C．Error!　　　 D．Error! 解析　要使函数 y＝ log0.5(4x－3)有意义，则需 log0.5(4x－3)≥0，即 0<4x－3≤1，解得 3 41，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k， ∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝( 2 lg 2－ 3 lg 3)lg k＝lg 9－lg 8 lg 2·lg 3 ·lg k>0， ∴2x>3y；同理，5z－2x＝( 5 lg 5－ 2 lg 2)lg k＝lg 32－lg 25 lg 5·lg 2 ·lg k>0， ∴5z>2x，∴5z>2x>3y，故选 D． (3)原式＝lg 5＋lg 2＋1 2－2＝1＋1 2－2＝－1 2. (4)∵2x＝12，∴x＝log212，∴x＋y＝log212＋log2 1 3＝log24＝2. 二　对数函数的图象及应用 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交 点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．在研究方程的根时，可把方程的根看作两 个函数图象交点的横坐标，通过研究两个函数图象得出方程根的关系． 【例 2】 (1)函数 f(x)＝lg 1 |x＋1|的大致图象是(　D　) (2)若不等式 4x2－logax<0 对任意 x∈(0，1 4 )恒成立，则实数 a 的取值范围为(　A　) A．[ 1 256，1)　　　 B．( 1 256，1) C．(0， 1 256)　　　 D．(0， 1 256] 解析　(1)f(x)＝lg 1 |x＋1|＝－lg|x＋1|的图象可由偶函数 y＝－lg|x|的图象左移 1 个单位得 到．由 y＝－lg|x|的图象可知选 D． (2)∵不等式 4x2－logax<0 对任意 x∈(0，1 4 )恒成立， ∴x∈(0，1 4 )时，函数 y＝4x2 的图象在函数 y＝logax 的图象的下方， ∴00，a≠1，∴u＝ax－3 是增函数，∴依题意得Error!即 a>3. (2)函数 y＝1 2ex 与函数 y＝ln (2x)互为反函数，图象关于直线 y＝x 对称，如图所示．函数 y＝1 2ex 图象上的点 P (x，1 2ex )到直线 y＝x 的距离为 d＝| 1 2ex－x|2 . 设函数 g(x)＝1 2ex－x，g′(x)＝1 2ex－1，由 g′(x)＝0 得 x＝ln 2，则 g(x)在(－∞，ln 2)上 递减，在(ln 2，＋∞)上递增．∴g(x)min＝1－ln 2，dmin＝1－ln 2 2 .由图象关于直线 y＝x 对称 得|PQ|的最小值为 2dmin＝ 2(1－ln 2)． 1．下列四个命题： ①∃x0∈(0，＋∞)，( 1 2 )x0<( 1 3 )x0； ②∃x0∈(0,1)，log 1 2 x0>log 1 3 x0； ③∀x∈(0，＋∞)，( 1 2 )x>log 1 2 x； ④∀x∈(0，1 3 )，( 1 2 )x0 时，Δ＝4(a－1)2 －12(a2－1)≥0，解得－2≤a<－1．综上，－2≤a≤－1． 3．f(x)＝log3x·log3(3x)的值域为！！！　[－1 4，＋∞)　###. 解析　f(x)＝log3x·log3(3x)＝log3x(1＋log3x)＝(log3x)2＋log3x，令 log3x＝t，则 y＝t2＋t＝ (t＋1 2 )2－1 4≥－1 4. 4．已知函数 f(x)＝Error!若|f(x)|≥ax，则 a 的取值范围是__[－2,0]__. 解析　∵|f(x)|＝Error!∴由|f(x)|≥ax，以下两种情况均成立： ①Error!恒成立，可得 a≥x－2 恒成立，则 a≥(x－2)max， 即 a≥－2； ②由Error!恒成立，根据函数图象可知 a≤0. 综合①②得－2≤a≤0. 易错点　忽视对数的真数大于零 错因分析：解决对数问题，时刻要注意真数大于零． 【例 1】 函数 y＝log 1 2 (2x2－3x＋1)的递减区间为(　　) A．(1，＋∞)　　　 B．(－∞，3 4] C．( 1 2，＋∞)　　　 D．[ 3 4，＋∞) 解析　由 2x2－3x＋1>0，得 x>1 或 x<1 2，易知 u＝2x2－3x＋1 (x > 1或 x < 1 2)在(1，＋∞) 上是增函数，而 y＝log 1 2 (2x2－3x＋1)的底数 0<1 2<1，所以该函数的递减区间为(1，＋∞)，故 选 A． 【跟踪训练 1】 已知函数 f(x)＝log 1 2 (x2－2ax＋3)，是否存在实数 a，使 f(x)在(－∞，2) 上为增函数？若存在，求出 a 的范围？若不存在，说明理由． 解析　令 g(x)＝x2－2ax＋3，∵0<1 2<1，∴要使 f(x)在(－∞，2)上为增函数，应使 g(x)在 (－∞，2)上为减函数，且恒大于 0，因此Error!即 Error!a 无解． 所以不存在实数 a，使 f(x)在(－∞，2)上为增函数． 课时达标　第 9 讲 [解密考纲]本考点主要考查对数的运算、对数函数的图象与性质、简单复合函数的单调 性等，通常以选择题、填空题的形式呈现，题目难度中等或中等偏上． 一、选择题 1．函数 y＝lg(x＋1) x－1 的定义域是(　C　) A．(－1，＋∞)　　　 B．[－1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞)　　　 D．[－1,1)∪(1，＋∞) 解析　要使lg(x＋1) x－1 有意义，需满足 x＋1>0 且 x－1≠0，得 x>－1 且 x≠1． 2．若 02x>lg x　　　 B．2x>lg x> x C．2x> x>lg x　　　 D．lg x> x>2x 解析　∵01,0< x<1，lg x<0， ∴2x> x>lg x，故选 C． 3．(2018·天津模拟)函数 f(x)＝log 1 2 (x2－4)的单调递增区间是(　D　) A．(0，＋∞)　　　 B．(－∞，0) C．(2，＋∞)　　　 D．(－∞，－2) 解析　函数 y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数 y＝f(x)是由 y＝log 1 2 t 与 t＝g(x)＝x2－4 复合而成，又 y＝log 1 2 t 在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调 递减，所以函数 y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增，故选 D． 4．(2018·福建福州模拟)函数 y＝lg|x－1|的图象是(　A　) 解析　因为当 x＝2 或 0 时，y＝0，所以 A 项符合题意． 5．(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇 宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080 ，则下列各数中与M N最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)(　D　) A．1033　　　 B．1053　　　 C．1073　　　 D．1093 解析　因为 lg 3361＝361×lg 3≈361×0.48＝173， 所以 M≈10173，则M N＝10173 1080 ＝1093，故选 D． 6．(2018·四川成都一诊)设 a＝( 7 9 )－ 1 4 ，b＝( 9 7 ) 1 5 ，c＝log2 7 9，则 a，b，c 的大小顺 序是(　C　) A．b1 5，∴a>b>0，又∵c＝log2 7 9<0， ∴c0 且 a≠1)在[2,3]上为增函数，求实数 a 的取值范围． 解析　①若 01，则 y＝logax 为增函数，∴y＝x2－ax 在[2,3]上为增函数，∴a 2≤2，a≤4； 又∵x2－ax>0，∴当 x＝2 时，y＝x2－ax 的最小值也要大于 0， ∴4－2a>0，a<2，∴11)，若函数 y＝g(x)的图象上 任意一点 P 关于原点对称的点 Q 的轨迹恰好是函数 f(x)的图象． (1)写出函数 g(x)的解析式； (2)当 x∈[0,1)时，总有 f(x)＋g(x)≥m 成立，求 m 的取值范围． 解析　(1)设 P(x，y)为 g(x)图象上任意一点，则 Q(－x，－y)是点 P 关于原点的对称点， 因为点 Q(－x，－y)在 f(x)的图象上，所以－y＝loga(－x＋1)，即 y＝－loga(1－x)(x<1)． 所以 g(x)＝－loga(1－x)(x<1)． (2)f(x)＋g(x)≥m，即 loga 1＋x 1－x≥m. 设 F(x)＝loga 1＋x 1－x，x∈[0,1)． 由题意知，只要 F(x)min≥m 即可． 因为 a＞1，故 F(x)在[0,1)上是增函数，所以 F(x)min＝F(0)＝0. 故 m 的取值范围是(－∞，0]．