中考数学汇编锐角三角函数

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中考数学汇编锐角三角函数

(2017•日照)在 Rt △ ABC 中,∠C=90°,AB=13,AC=5,则 sinA 的值为( ) A. 5 13 (2017•湖州)如图,已知在 Rt △ ABC 中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则 cosB 的值是( ) A. 3 5 B. 4 5 C. 3 4 D. 4 3 (2017•哈尔滨)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=4,AC=1,则 cosB 的值为( ) A. 15 4 B. 1 4 C . 15 15 D. 4 17 17 (2017•宜昌) △ ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为 1),AD⊥BC 于 D,下列选项中,错误的是( ) A.sinα=cosα B.tanC=2 C.sinβ=cosβ D.tanα=1 (2017•金华)在 Rt △ ABC 中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则 tanA 的值是( ) A. 3 4 B. 4 3 C. 3 5 D. 4 5 (2017•聊城)在 Rt △ ABC 中,cosA= 1 2 ,那么 sinA 的值是( ) A. 2 2 B. 3 2 C. 3 3 D. 1 2 (2017•云南)sin60°的值为( ) A. 3 B. 3 2 C. 2 2 D. 1 2 (2017•天津)cos60°的值等于( ) A. 3 B.1 C. 2 2 D. 1 2 (2017•威海)为了方便行人推车过某天桥,市政府在 10m 高的天桥一侧修建了 40m 长的斜道(如 图所示),我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是( ) A. B. C. D. (2017•安顺)如图, ⊙O 的直径 AB=4,BC 切⊙ O 于点 B, OC 平行于 弦 AD, OC=5,则 AD 的长为( ) A. 6 5 B. 8 5 C. 7 5 D. 2 3 5 (2017•滨州)如图,在 △ ABC 中,AC⊥BC,∠ABC=30°,点 D 是 CB 延长线上 的一点,且 BD=BA,则 tan∠DAC 的值为( ) A.2+ 3 B.2 3 C.3+ 3 D.3 3 (2017•怀化)如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(3,4),那么 sinα 的值是( ) A. 3 5 B. 3 4 C. 4 5 D. 4 3 (2017•杭州)如图,在 △ ABC 中,AB=AC,BC=12,E 为 AC 边的中点,线段 BE 的垂直平分线交边 BC 于点 D.设 BD=x,tan∠ACB=y,则( ) A.x-y2=3 B.2x-y2=9 C.3x-y2=15 D.4x-y2=21 (2017•益阳)如图,电线杆 CD 的高度为 h,两根拉线 AC 与 BC 相互垂直, ∠CAB=α,则拉线 BC 的长度为(A、D、B 在同一条直线上)( ) A. sin h a (2017•绥化)某楼梯的侧面如图所示,已测得 BC 的长约为 3.5 米,∠BCA 约为 29°,则该楼梯的 高度 AB 可表示为( ) A.3.5sin29°米 B.3.5cos29°米 C.3.5tan29°米 D. 3.5 cos29 米 (2017•温州)如图,一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶 13 米,已知 cosα= 12 13 , 则小车上升的高度是( ) A.5 米 B.6 米 C.6.5 米 D.12 米 (2017•兰州)如图,一个斜坡长 130m,坡顶离水平地面的距离为 50m,那么这个斜坡与 水平地面夹角的正切值等于( ) A. 5 13 B.12 13 C. 5 12 D. 13 12 (2017•重庆)如图,已知点 C 与某建筑物底端 B 相距 306 米(点 C 与点 B 在同 一水平面上),某同学从点 C 出发,沿同一剖面的斜坡 CD 行走 195 米至坡顶 D 处,斜坡 CD 的坡度(或坡比)i=1:2.4,在 D 处测得该建筑物顶端 A 的俯视角 为 20°,则建筑物 AB 的高度约为(精确到 0.1 米,参考数据:sin20°≈0.342, cos20°≈0.940,tan20°≈0.364)( ) A.29.1 米 B.31.9 米 C.45.9 米 D.95.9 米 .(2017•深圳)如图,学校环保社成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度,他们先在点 C 处测得树顶 B 的仰角为 60°,然后在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30°,已知斜坡 CD 的长 度为 20m,DE 的长为 10m,则树 AB 的高度是( )m. A.20 3 B.30 C.30 3 D.40 (2017•烟台 )如图,数学实践活动小组要测 量学校附近楼房 CD 的高度,在水 平地面 A 处安置测倾器测得楼房 CD 顶部点 D 的仰角为 45°,向前走 20 米到 达 A′处,测得点 D 的仰角为 67.5°,已知测倾器 AB 的高度为 1.6 米,则楼房 CD 的 高度约为(结果精确到 0.1 米, 2 ≈1.414)( ) A.34.14 米 B.34.1 米 C.35.7 米 D.35.74 米 (2017•百色)如图,在距离铁轨 200 米的 B 处,观察由南宁开往百色的“和谐号” 动车,当动车车头在 A 处时,恰好位于 B 处的北偏东 60°方向上;10 秒钟后, 动车车头到达 C 处,恰好位于 B 处的西北方向上,则这时段动车的平均速度是 ( )米/秒. A.20( 3 +1) B.20( 3 -1) C.200 D.300 (2017•南宁)如图,一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 45°方向,距离灯塔 60n mile 的 A 处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的北偏东 30°方向上的 B 处,这时,B 处与灯塔 P 的距离为( ) A.60 3 n mile B.60 2 n mile C.30 3 n mile D.30 2 n mile (2017•玉林)如图,一艘轮船在 A 处测得灯塔 P 位于其北偏东 60°方向上,轮 船沿正东方向航行 30 海里到达 B 处后,此时测得灯塔 P 位于其北偏东 30°方向 上,此时轮船与灯塔 P 的距离是( ) A.15 3 海里 B.30 海里 C.45 海里 D.30 3 海里 (2017•烟台)在 Rt △ ABC 中,∠C=90°,AB=2,BC= 3 ,则 sin 2 A = . (2017•陕西)请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按第一题计分. A.如图,在 △ ABC 中,BD 和 CE 是 △ ABC 的两条角平分线.若∠A=52°, 则∠1+∠2 的度数为 . B. 3 17 tan38°15′≈ .(结果精确到 0.01) (2017•舟山)如图,把 n 个边长为 1 的正方形拼接成一排,求得 tan∠BA 1C=1, tan∠BA 2C= 1 3 ,tan∠BA 3C= 1 7 ,计算 tan∠BA 4C= ,…按此规律,写出 tan ∠BA nC= . (用含 n 的代数式表示). (2017•黑龙江) △ ABC 中,AB=12,AC= 39 ,∠B=30°,则 △ ABC 的面积是 . (2017•无锡)在如图的正方形方格纸中,每个小的四边形都是相同的正方形,A, B,C,D 都在格点处,AB 与 CD 相交于 O,则 tan∠BOD 的值等于 . (2017•广州)如图,Rt △ ABC 中,∠C=90°,BC=15,tanA= 15 8 ,则 AB= . (2017•宁波)如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为 34°的斜坡,从 A 滑行至 B, 已知 AB=500 米,则这名滑雪运动员的高度下降了 米.(参考数据: sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67) (2017•天门)为加强防汛工作,某市对一拦水坝进行加固,如图,加固前拦水 坝的横断面是梯形 ABCD.已知迎水坡面 AB=12 米,背水坡面 CD=12 3 米,∠ B=60°,加固后拦水坝的横断面为梯形 ABED,tanE= 3 313 ,则 CE 的长为 米. (2017•泰州)小明沿着坡度 i 为 1: 3 的直路向上走了 50m,则小明沿垂直方 向升高了 m. (2017•东营)一数学兴趣小组来到某公园,准备测量一座塔的高度.如图,在 A 处测得塔顶的仰角为α,在 B 处测得塔顶的仰角为β,又测量出 A、B 两点的距 离为 s 米,则塔高为 米. (2017•山西)如图,创新小组要测量公园内一棵树的高度 AB,其中一名小组成 员站在距离树 10 米的点 E 处,测得树顶 A 的仰角为 54°.已知测角仪的架高 CE=1.5 米,则这棵树的高度为 米.(结果保留一位小数.参考数据: sin54°=0.8090,cos54°=0.5878,tan54°=1.3764) (2017•邵阳)如图所示,运载火箭从地面 L 处垂直向上发射,当火箭到达 A 点 时,从位于地面 R 处的雷达测得 AR 的距离是 40km,仰角是 30°,n 秒后,火箭 到达 B 点,此时仰角是 45°,则火箭在这 n 秒中上升的高度是 km. (2017•黄石)如图所示,为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物 AB 的高 度,一测量人员在该建筑物附近 C 处,测得建筑物顶端 A 处的仰角大小为 45°, 随后沿直线 BC 向前走了 100 米后到达 D 处,在 D 处测得 A 处的仰角大小为 30°, 则建筑物 AB 的高度约为 米. (注:不计测量人员的身高,结果按四舍五入保留整数,参考数据: 2 ≈1.41, 3 3 ≈1.73) (2017•苏州)如图,在一笔直的沿湖道路 l 上有 A、B 两个游船码头,观光岛屿 C 在码头 A 北偏东 60°的方向,在码头 B 北偏西 45°的方向,AC=4km.游客小 张准备从观光岛屿 C 乘船沿 CA 回到码头 A 或沿 CB 回到码头 B,设开往码头 A、 B 的游船速度分别为 v1、v2,若回到 A、B 所用时间相等,则 1 2 V V = (结果 保留根号). ( 2017•大 庆 ) 如 图 , 已 知一 条 东 西 走 向 的 河 流 , 在 河 流 对 岸 有一 点 A, 小 明 在 岸 边点 B 处 测得 点 A 在 点 B 的 北偏 东 30°方 向上 , 小 明沿 河 岸 向东 走 80m 后 到 达点 C,测得点 A 在点 C 的北偏西 60°方向上,则点 A 到河岸 BC 的距离为 . (2017•葫芦岛)一艘货轮又西向东航行,在 A 处测得灯塔 P 在它的北偏东 60° 方向,继续航行到达 B 处,测得灯塔 P 在正南方向 4 海里的 C 处是港口,点 A, B,C 在一条直线上,则这艘货轮由 A 到 B 航行的路程为 海里(结果保留 根号). (2017•大连)如图,一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 60°方向,距离灯塔 86n mile 的 A 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的南偏东 45°方向上的 B 处,此时,B 处与灯塔 P 的距离约为 n mile.(结果取整数,参考数据: 3 ≈1.7, 2 ≈1.4) (2017•福建)小明在某次作业中得到如下结果: sin 27°+sin 283°≈0.12 2+0.99 2=0.9945, sin 222°+sin 268°≈0.37 2+0.93 2=1.0018, sin 229°+sin 261°≈0.48 2+0.87 2=0.9873, sin 237°+sin 253°≈0.60 2+0.80 2=1.0000, sin 245°+sin 245°≈( 2 2 ) 2+( 2 2 ) 2=1. 据此,小明猜想:对于任意锐角α,均有 sin 2α+sin 2(90°-α)=1. (Ⅰ)当α=30°时,验证 sin 2α+sin 2(90°-α)=1 是否成立; (Ⅱ)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例. 【答案】(Ⅰ)成立,证明见解析;(Ⅱ)成立,证明见解析. 【解析】 试题分析:(Ⅰ)成立,当 时,将 30°与 60°的正弦值代入计算即可得证; (Ⅱ)成立,如图,△ABC 中,∠C=90°,设∠A=α,则∠B=90°-α,正确地表示这两个 角的正弦并利用勾股定理即可得证. 试题解析:(Ⅰ)当 时, =sin230°+sin 260°= = =1,所以 成立; (Ⅱ)小明的猜想成立.证明如下: 如图,△ABC 中,∠C=90°,设∠A=α,则∠B=90°-α, sin2α+sin 2(90°-α)= =1[来源:zzst&ep~@.c^o%m] (2017•白 银 )美 丽 的黄 河 宛 如一 条 玉 带穿 城 而 过, 沿 河 两岸 的 滨 河路 风 情 线是 兰州最美的景观之一.数学课外实践活动中 ,小林在南滨河路上的 A,B 两点处 , 利 用 测 角 仪 分 别 对 北 岸 的 一 观 景 亭 D 进 行 了 测 量 . 如 图 , 测 得 ∠ DAC=45°, ∠ DBC=65°.若 AB=132 米,求观景亭 D 到南滨河路 AC 的距离约为 多少米?(结 果精确到 1 米,参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14) 解:过点 D 作 DE⊥AC,垂足为 E,设 BE=x, 在 Rt △ DEB 中,tan∠DBE= DE BE , ∵∠DBC=65°, ∴DE=xtan65°. 又∵∠DAC=45°, ∴AE=DE. ∴132+x=xtan65°, ∴解得 x≈115.8, ∴DE≈248(米). ∴观景亭 D 到南滨河路 AC 的距离约为 248 米 . (2017•舟山)如图是小强洗漱时的侧面示意图,洗漱台(矩形 ABCD)靠墙摆 放,高 AD=80cm,宽 AB=48cm,小强身高 166cm,下半身 FG=100cm,洗漱时 下半身与地面成 80°(∠FGK=80°),身体前倾成 125°(∠EFG=125°),脚与洗 漱台距离 GC=15cm(点 D,C,G,K 在同一直线上). (1)此时小强头部 E 点与地面 DK 相距多少? (2)小强希望他的头部 E 恰好在洗漱盆 AB 的中点 O 的正上方,他应向前或后 退多少? (sin80°≈0.98,cos80°≈0.17, 2 ≈1.41,结果精确到 0.1) 解:(1)过点 F 作 FN⊥DK 于 N,过点 E 作 EM⊥FN 于 M. ∵EF+FG=166,FG=100, ∴EF=66, ∵∠FGK=80°, ∴FN=100•sin80°≈98, ∵∠EFG=125°, ∴∠EFM=180°-125°-10°=45°, ∴FM=66•cos45°=33 2 ≈46.53, ∴MN=FN+FM≈144.5, ∴此时小强头部 E 点与地面 DK 相距约为 144.5cm. (2)过点 E 作 EP⊥AB 于点 P,延长 OB 交 MN 于 H. ∵AB=48,O 为 AB 中点, ∴AO=BO=24, ∵EM=66•sin45°≈46.53, ∴PH≈46.53, ∵GN=100•cos80°≈17,CG=15, ∴OH=24+15+17=56,OP=OH-PH=56-46.53=9.47≈9.5, ∴他应向前 9.5cm. (2017•淮安)A,B 两地被大山阻隔,若要从 A 地到 B 地,只能沿着如图所示 的公路先从 A 地到 C 地,再由 C 地到 B 地.现计划开凿隧道 A,B 两地直线贯 通,经测量得:∠CAB=30°,∠CBA=45°,AC=20km,求隧道开通后与隧道开通 2 ≈1.414, 3 ≈1.732) 解:过点 C 作 CD⊥AB 与 D, ∵AC=10km,∠CAB=30°, ∴CD= 1 2 AC= 1 2 ×20=10km, AD=cos∠CAB•AC=cos∠30°×20=10 3 km, ∵∠CBA=45°, ∴BD=CD=10km,BC= 2 CD=10 2 ≈14.14km ∴AB=AD+BD=10 3 +10≈27.32km. 则 AC+BC-AB≈20+14.14-27.32≈6.8km. 答:从 A 地到 B 地的路程将缩短 6.8km. (2017,江西)如图 1,研究发现,科学使用电脑时,望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为 20°, 而当手指接触键盘时,肘部形成的“手肘角”β约为 100°.图 2 是其侧面简化示意图,其中视 线 AB 水平,且与屏幕 BC 垂直. (1)若屏幕上下宽 BC=20cm,科学使用电脑时,求眼睛与屏幕的最短距离 AB 的长; (2)若肩膀到水平地面的距离 DG=100cm,上臂 DE=30cm,下臂 EF 水平放置在键盘上,其 到地面的距离 FH=72cm.请判断此时β是否符合科学要求的 100°? (参考数据:sin69°≈ ,cos21°≈ ,tan20°≈ ,tan43°≈ ,所有结果精确到个位) 解:(1)∵Rt△ABC 中,tanA= , ∴AB= = = =55(cm); (2)延长 FE 交 DG 于点 I. 则 DI=DG﹣FH=100﹣72=28(cm). 在 Rt△DEI 中,sin∠DEI= = = , ∴∠DEI=69°, ∴∠β=180°﹣69°=111°≠100°, ∴此时β不是符合科学要求的 100°. (2017•德州)如图所示,某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪 器,检测点设在距离公路 10m 的 A 处,测得一辆汽车从 B 处行驶到 C 处所用时 间为 0.9 秒,已知∠B=30°,∠C=45°. (1)求 B,C 之间的距离;(保留根号) (2)如果此地限速为 80km/h,那么这辆汽车是否超速?请说明理由.(参考数 据: 3 ≈1.7, 2 ≈1.4) 解:(1)如图作 AD⊥BC 于 D.则 AD=10m, 在 Rt △ ACD 中,∵∠C=45°, ∴AD=CD=10m, 在 Rt △ ABD 中,∵∠B=30°, ∴tan30°= AD BD , ∴BD= 3 AD=10 3 m, ∴BC=BD+DC=(10+10 3 )m. (2)结论:这辆汽车超速. 理由:∵BC=10+10 3 ≈27m, ∴汽车速度= 27 0.9 =30m/s=108km/h, ∵108>80, ∴这辆汽车超速. (2017•台州)如图是一辆小汽车与墙平行停 放的平面示意图,汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行 且距 离为 0.8 米, 已知 小汽 车车 门宽 AO 为 1.2 米, 当车 门打 开角 度∠AOB 为 40°时,车门是否会碰 到墙?请说明理由.(参考数据 :sin40°≈0.64; cos40°≈0.77;tan40°≈0.84) 解:过点 A 作 AC⊥OB,垂足为点 C, 在 Rt △ ACO 中, ∵∠AOC=40°,AO=1.2 米, ∴AC=sin∠AOC•AO≈0.64×1.2=0.768, ∵汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 米, ∴车门不会碰到墙. (2017•西宁)如图,建设“幸福西宁”,打造“绿色发展样板城市”.美丽的湟水 河宛如一条玉带穿城而过,已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局.在 数学课外实践活动中,小亮在海湖新区自行车绿道北段 AC 上的 A,B 两点分别 对南岸的体育中心 D 进行测量,分别测得∠DAC=30°,∠DBC=60°,AB=200 米, 求体育中心 D 到湟水河北岸 AC 的距离约为多少米(精确到 1 米, 3 ≈1.732)? 解:过点 D 作 DH⊥AC 于点 H. ∵∠HBD=∠DAC+∠BDA=60°,而∠DAC=30°, ∴∠BDA=∠DAC=30°, ∴AB=DB=200. 在直角 △ BHD 中,sin60°= DH BD = 200 DH = 3 2 , ∴DH=100 3 ≈100×1.732≈173. 答:体育中心 D 到湟水河北岸 AC 的距离约为 173 米 . (2017•常德)如图 1,2 分别是某款篮球架的实物图与示意图,已知底座 BC=0.60 米,底座 BC 与支架 AC 所成的角∠ACB=75°,支架 AF 的长为 2.50 米,篮板顶 端 F 点到篮框 D 的距离 FD=1.35 米,篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角 ∠FHE=60°,求篮框 D 到地面的距离(精确到 0.01 米)(参考数据:cos75°≈0.2588, sin75°≈0.9659,tan75°≈3.732, 3 ≈1.732, 2 ≈1.414) 解:延长 FE 交 CB 的延长线于 M,过 A 作 AG⊥FM 于 G, 在 Rt △ ABC 中,tan∠ACB= AB BC , ∴AB=BC•tan75°=0.60×3.732=2.2392, ∴GM=AB=2.2392, 在 Rt △ AGF 中,∵∠FAG=∠FHD=60°,sin∠FAG= FG AF , ∴sin60°= 2.5 FG = 3 2 , ∴FG=2.17, ∴DM=FG+GM-DF≈3.06 米. 答:篮框 D 到地面的距离是 3.06 米. (2017•安徽)如图,游客在点 A 处坐缆车出发,沿 A-B-D 的路线可至山顶 D 处, 假设 AB 和 BD 都是直线段,且 AB=BD=600m,α=75°,β=45°,求 DE 的长. (参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26, 2 ≈1.41) 解:在 Rt △ ABC 中,∵AB=600m,∠ABC=75°, ∴BC=AB•cos75°≈600×0.26≈156m, 在 Rt △ BDF 中,∵∠DBF=45°, ∴DF=BD•sin45°=600× 2 2 ≈300×1.41≈423, ∵四边形 BCEF 是矩形, ∴EF=BC=156, ∴DE=DF+EF=423+156=579m. 答:DE 的长为 579m. (2017•凉山州)如图,若要在宽 AD 为 20 米的城南大道两边安装路灯,路灯的 灯 臂 BC 长 2 米 , 且 与 灯 柱 AB 成 120°角 , 路 灯 采 用 圆 锥 形 灯 罩 , 灯 罩 的 轴 线 CO 与灯臂 BC 垂直,当灯罩的轴线 CO 通过公路路面的中心线时照明效果最好 , 此时,路灯的灯柱 AB 高应该设计为多少米(结果保留根号)? 解:如图,延长 OC,AB 交于点 P. ∵∠ABC=120°, ∴∠PBC=60°, ∵∠OCB=∠A=90°, ∴∠P=30°, ∵AD=20 米, ∴OA= 1 2 AD=10 米, ∵BC=2 米, ∴在 Rt △ CPB 中,PC=BC•tan60°=2 3 米,PB=2BC=4 米, ∵∠P=∠P,∠PCB=∠A=90°, ∴△PCB∽△PAO, ∴ PC BC PA OA  ∴PA= PC OA BC  = 2 3 10 10 32   米, ∴AB=PA-PB=(10 3 -4)米. 答:路灯的灯柱 AB 高应该设计为(10 3 -4)米. (2017•赤峰)王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架,如图 1 所 示.已知 AC=20cm,BC=18cm,∠ACB=50°,王浩的手机长度为 17cm,宽为 8cm, 王浩同学能否将手机放入卡槽 AB 内?请说明你的理由.(提示:sin50°≈0.8, cos50°≈0.6,tan50°≈1.2) 解:王浩同学能将手机放入卡槽 AB 内. 理由:作 AD⊥BC 于点 D, ∵∠C=50°,AC=20cm, ∴AD=AC•sin50°=20×0.8=16cm, CD=AC•cos50°=20×0.6=12cm, ∵BC=18cm, ∴DB=BC-CD=18-12=6cm, ∴AB= 2 2 2 216 6AD BD   = 292 , ∵17= 289 292 , ∴王浩同学能将手机放入卡槽 AB 内. ( 2017•兰 州 ) “兰 州 中 山 桥 “位 于 兰 州 滨 河 路 中 段 白 塔 山 下 、 金 城 关 前 , 是 黄 河 上第一座真正意义上的桥梁,有“天下黄河第一桥“之美誉.它像一部史诗,记载 着兰州古往今来历史的变迁.桥上飞架了 5 座等高的弧形钢架拱桥. 小 芸和 小 刚分 别 在桥 面 上的 A, B 两 处, 准 备测 量 其中 一 座弧 形钢 架 拱梁 顶 部 C 处 到 桥 面 的 距 离 AB=20m, 小 芸 在 A 处 测 得 ∠ CAB=36°, 小 刚 在 B 处 测 得∠CBA=43°,求弧形钢架拱梁顶 部 C 处到桥面的距离 .(结果精确到 0.1m)(参 考 数 据 sin36°≈0.59 , cos36°≈0.81 , tan36°≈0.73 , sin43°≈0.68 , cos43°≈0.73 , tan43°≈0.93) ∴AD= tan 36 x  , 在 Rt△BCD 中,tan∠B= CD BD , BD= tan 43 x  , ∴ 200.93 0.73 x x  , 解得 x=8.179≈8.2m. 答:拱梁顶部 C 处到桥面的距离 8.2m. 考点:解直角三角形的应用. ( 2017•张 家 界 ) 位 于 张 家 界 核 心 景 区 的 贺 龙 铜 像 , 是 我 国 近 百 年 来 最 大 的 铜 像.铜像由像 体 AD 和底座 CD 两部分组 成.如图,在 Rt △ ABC 中,∠ABC=70.5°, 在 Rt △ DBC 中 ,∠DBC=45°,且 CD=2.3 米,求像体 AD 的高度(最后结果 精确 到 0.1 米,参考数据:sin70.5°≈0.943,cos70.5°≈0.334,tan70.5°≈2.824) 解:∵在 Rt △ DBC 中,∠DBC=45°,且 CD=2.3 米, ∴BC=2.3m, ∵在 Rt △ ABC 中,∠ABC=70.5°, ∴tan70.5°= AC BC = 2.3 2.3 AD  ≈2.824, 解得:AD≈4.2, 答:像体 AD 的高度约为 4.2m. (2017•贵 阳 )贵 阳 市 某消 防 支 队在 一 幢 居民 楼 前 进行 消 防 演习 , 如 图所 示 , 消 防官兵利用云梯成功救出在 C 处的求救者后,发现在 C 处正上方 17 米的 B 处又 有 一 名 求 救 者 , 消 防 官 兵 立 刻 升 高 云 梯 将 其 救 出 , 已 知 点 A 与 居 民 楼 的 水 平 距 离是 15 米,且在 A 点测得第一次施救时云 梯与水平线的夹角∠CAD=60°,求第 二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD 的度数(结果精确到 1°). 解:延长 AD 交 BC 所在直线于点 E. 由题意,得 BC=17 米,AE=15 米,∠CAE=60°,∠AEB=90°, 在 Rt △ ACE 中,tan∠CAE= CE AE , ∴CE=AE•tan60°=15 3 米. 在 Rt △ ABE 中,tan∠BAE= BE AE = 17 15 3 15  , ∴∠BAE≈71°. 答:第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD 约为 71°. (2017•呼和浩特)如图,地面上小山的两 侧有 A,B 两地,为了测量 A,B 两地 的距离,让一热气球从小 山西侧 A 地出发沿 与 AB 成 30°角的方向,以每分钟 40m 的速度直线飞行,10 分钟后到达 C 处,此时热气球上的人测得 CB 与 AB 成 70° 角 , 请 你 用 测 得 的 数 据 求 A, B 两 地 的 距 离 AB 长 .( 结 果 用 含 非 特 殊 角 的 三 角 函数和根式表示即可) 解:过点 C 作 CM⊥AB 交 AB 延长线于点 M, 由题意得:AC=40×10=400(米). 在直角 △ ACM 中,∵∠A=30°, ∴CM= 1 2 AC=200 米,AM= 3 2 AC=200 3 米. 在直角 △ BCM 中,∵tan20°= BM CM , ∴BM=200tan20°, ∴AB=AM-BM=200 3 -200tan20°=200( 3 -tan20°), 因此 A,B 两地的距离 AB 长为 200( 3 -tan20°)米. ( 2017•上 海) 如 图 , 一 座 钢 结 构 桥 梁的 框 架 是 △ ABC, 水 平 横 梁 BC 长 18 米 , 中柱 AD 高 6 米,其中 D 是 BC 的中点,且 AD⊥BC. (1)求 sinB 的值; (2) 现 需要 加 装 支 架 DE、 EF, 其 中点 E 在 AB 上 , BE=2AE, 且 EF⊥BC, 垂 足为点 F,求支架 DE 的长. 解:(1)在 Rt △ ABD 中,∵BD=DC=9,AD=6, ∴AB= 2 2BD AD = 2 29 6 =3 13 , ∴sinB= AD AB = 6 2 13 = 2 13 13 (2)∵EF∥AD,BE=2AE, ∴ EF AD = BF BD = BE BA = 2 3 , ∴ 2 6 9 3 EF BF  , ∴EF=4,BF=6, ∴DF=3, 在 Rt △ DEF 中,DE= 2 2 2 24 3EF DF   =5 ( 2017•丽 水 ) 如 图 是 某小 区 的 一 个 健身 器 材 , 已 知 BC=0.15m, AB=2.70m, ∠ BOD=70°,求端点 A 到地面 CD 的距离(精确到 0.1m).(参考数据 :sin70°≈0.94, cos70°≈0.34,tan70°≈2.75) 解:作 AE⊥CD 于 E,BF⊥AE 于 F,则四边形 EFBC 是矩形, ∵OD⊥CD,∠BOD=70°, ∴AE∥OD, ∴∠A=∠BOD=70°, 在 Rt △ AFB 中,∵AB=2.7, ∴AF=2.7×cos70°≈2.7×0.34=0.918, ∴AE=AF+BC≈0.918+0.15=1.068≈1.1m, 答:端点 A 到地面 CD 的距离是 1.1m. (2017•宜宾)如图,为了测量某条河的宽度 ,现在河边的一岸边任意取一点 A, 又在河的另一岸 边去两点 B、C 测得∠α=30°,∠β=45°,量得 BC 长为 100 米.求 河的宽度(结果保留根号). 解:过点 A 作 AD⊥BC 于点 D, ∵∠β=45°,∠ADC=90°, ∴AD=DC, 设 AD=DC=xm, 则 tan30°= 3 100 3 x x  , 解得:x=50( 3 +1), 答:河的宽度为 50( 3 +1)m. ( 2017•岳 阳 ) 某 太 阳 能 热 水 器 的 横 截 面 示 意 图 如 图 所 示 , 已 知 真 空 热 水 管 AB 与支架 CD 所在直线相 交于点 O,且 OB=OD,支架 CD 与水平 线 AE 垂直 ,∠BAC= ∠CDE=30°,DE=80cm,AC=165cm. (1)求支架 CD 的长; (2)求真空热水管 AB 的长.(结果保留根号) 解:(1)在 Rt △ CDE 中,∠CDE=30°,DE=80cm, ∴CD=80×cos30°=80× 3 2 =40 3 (cm). (2)在 Rt △ OAC 中,∠BAC=30°,AC=165cm, ∴OC=AC×tan30°=165× 3 3 =55 3 (cm), ∴OD=OC-CD=55 3 -40 3 =15 3 (cm), ∴AB=AO-OB=AO-OD=55 3 ×2-15 3 =95 3 (cm). (2017•长春)如图,某商店营业大厅自动扶 梯 AB 的倾斜角为 31°,AB 的长为 12 米,求大厅的距 离 AC 的长 .(结果精确到 0.1 米)(参考数据 :sin31°=0.515, cos31°=0.857,tan31°=0.60) 解:过 B 作地平面的垂线段 BC,垂足为 C. 在 Rt △ ABC 中,∵∠ACB=90°, ∴AC=AB•cos∠BAC=12×0.857≈10.3(米). 即大厅的距离 AC 的长约为 10.3 米. (2017•贺州)如图,某武警部队在一次地震抢险救灾行动中,探险队员在相距 4 米的水平地面 A,B 两处均探测出建筑物下方 C 处有生命迹象,已知在 A 处测 得探测线与地面的夹角为 30°,在 B 处测得探测线与地面的夹角为 60°,求该生 命迹象 C 处于地面的距离.(结果精确到 0.1 米,参考数据: 2 ≈1.41, 3 ≈1.73) 解:过 C 点作 AB 的垂线交 AB 的延长线于点 D, ∵∠CAD=30°,∠CBD=60°, ∴∠ACB=30°, ∴∠CAB=∠ACB=30°, ∴BC=AB=4 米, 在 Rt △ CDB 中,BC=4 米,∠CBD=60°,sin∠CBD= CD BD , ∴sin60°= 4 CD , ∴CD=4sin60°=4× 3 2 =2 3 ≈3.5(米), 故该生命迹象所在位置的深度约为 3.5 米. (2017•黔东南州)如图,某校教学楼 AB 后方有一斜坡,已知斜坡 CD 的长为 12 米,坡角α为 60°,根据有关部门的规定,∠α≤39°时,才能避免滑坡危险,学 校为了消除安全隐患,决定对斜坡 CD 进行改造,在保持坡脚 C 不动的情况下, 学校至少要把坡顶 D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全?(结果取整 数) (参考数据:sin39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81, 2 ≈1.41, 3 ≈1.73, 5 ≈2.24) 解:假设点 D 移到 D′的位置时,恰好∠α=39°,过点 D 作 DE⊥AC 于点 E,作 D′E′ ⊥AC 于点 E′, ∵CD=12 米,∠DCE=60°, ∴DE=CD•sin60°=12× 3 2 =6 3 米,CE=CD•cos60°=12× 1 2 =6 米. ∵DE⊥AC,D′E′⊥AC,DD′∥CE′, ∴四边形 DEE′D′是矩形, ∴DE=D′E′=6 3 米. ∵∠D′CE′=39°, ∴CE′= tan39 D E   ≈ 6 3 0.81 ≈12.8, ∴EE′=CE′-CE=12.8-6=6.8≈7(米) . (2017•威海)图 1 是太阳能热水器装置的示意图,利用玻璃吸热管可以把太阳 能转化为热能,玻璃吸热管与太阳光线垂直时,吸收太阳能的效果最好,假设某 用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃 吸热管的倾斜角(太阳光线与玻璃吸热管垂直),请完成以下计算: 如图 2,AB⊥BC,垂足为点 B,EA⊥AB,垂足为点 A,CD∥AB,CD=10cm, DE=120cm,FG⊥DE,垂足为点 G. (1)若∠θ=37°50′,则 AB 的长约为 cm; (参考数据:sin37°50′≈0.61,cos37°50′≈0.79,tan37°50′≈0.78) (2)若 FG=30cm,∠θ=60°,求 CF 的长. 解:(1)如图,作 EP⊥BC 于点 P,作 DQ⊥EP 于点 Q, 则 CD=PQ=10,∠2+∠3=90°, ∵∠1+∠θ=90°,且∠1=∠2, ∴∠3=∠θ=37°50′, 则 EQ=DEsin∠3=120×sin37°50′, ∴AB=EP=EQ+PQ=120sin37°50′+10=83.2, 故答案为:83.2; (2)如图,延长 ED、BC 交于点 K, 由(1)知∠θ=∠3=∠K=60°, 在 Rt △ CDK 中,CK= 10 tan 3 CD R  , 在 Rt △ KGF 中,KF= 30 sin 3 2 GF R  = 60 3 , 则 CF=KF-KC= 60 3 - 10 3 = 50 3 = 50 3 3 . (2017•海南)为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固, 专家提供的方 案是:水坝加高 2 米(即 CD=2 米),背水坡 DE 的坡度 i=1:1( 即 DB: EB=1: 1), 如 图 所 示 , 已 知 AE=4 米 , ∠ EAC=130°, 求 水 坝 原 来 的 高 度 BC. (参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.2) 解:设 BC=x 米, 在 Rt △ ABC 中, ∠CAB=180°-∠EAC=50°, AB= tan50 BC  ≈ 1.2 BC = 5 6 BC = 5 6 x 在 Rt △ EBD 中, ∵i=DB:EB=1:1, ∴BD=BE, ∴CD+BC=AE+AB, 即 2+x=4+ 5 6 x 解得 x=12, 即 BC=12, 答:水坝原来的高度为 12 米. (2017•宿迁)如图所示 ,飞机在一定 高度上沿水平直 线飞行,先在 点 A 处测得 正前方小岛 C 的俯角为 30°,面向小岛方向继续飞行 10km 到达 B 处,发现小岛 在其正后方,此时测得小岛的俯角为 45°,如果小岛高度忽略不计,求飞机飞行 的高度(结果保留根号). 解:过点 C 作 CD⊥AB 于点 D, 设 CD=x, ∵∠CBD=45°, ∴BD=CD=x, 在 Rt △ ACD 中,∵tan∠CAD= CD AD , ∴AD= tan tan30 CD x CAD   = 3 3 3 x x , 由 AD+BD=AB 可得 3 x+x=10, 解得:x=5 3 -5, 答:飞机飞行的高度为(5 3 -5)km. (2017•随 州 )风 电 已成 为 我 国继 煤 电 、水 电 之 后的 第 三 大电 源 , 风电 机 组 主要 由塔 杆和 叶片 组成 (如 图 1),图 2 是从 图 1 引出 的平 面图 .假 设你 站在 A 处测 得塔杆顶端 C 的仰角是 55°,沿 HA 方向水平前进 43 米到达山底 G 处,在山 顶 B 处 发 现 正 好 一 叶 片 到 达 最 高 位 置 , 此 时 测 得 叶 片 的 顶 端 D( D、 C、 H 在 同 一 直 线 上 ) 的 仰 角 是 45°. 已 知 叶 片 的 长 度 为 35 米 ( 塔 杆 与 叶 片 连 接 处 的 长 度 忽 略不计),山高 BG 为 10 米,BG⊥HG,CH⊥AH,求塔杆 CH 的高.(参考数据: tan55°≈1.4,tan35°≈0.7,sin55°≈0.8,sin35°≈0.6) 解:如图,作 BE⊥DH 于点 E, 则 GH=BE、BG=EH=10, 设 AH=x,则 BE=GH=GA+AH=43+x, 在 Rt △ ACH 中,CH=AHtan∠CAH=tan55°•x, ∴CE=CH-EH=tan55°•x-10, ∵∠DBE=45°, ∴BE=DE=CE+DC,即 43+x=tan55°•x-10+35, 解得:x≈45, ∴CH=tan55°•x=1.4×45=63, 答:塔杆 CH 的高为 63 米. (2017•鄂 州 )小 明 想 要测 量 学 校食 堂 和 食堂 正 前 方一 棵 树 的高 度 , 他从 食 堂 楼 底 M 处 出 发 , 向 前 走 3 米 到 达 A 处 , 测 得 树 顶 端 E 的 仰 角 为 30°, 他 又 继 续 走 下台阶到达 C 处,测得树的顶端 E 的仰角是 60°,再继续向前走到大树底 D 处, 测得食堂楼顶 N 的仰角为 45°.已知 A 点离地面的高 度 AB=2 米,∠BCA=30°, 且 B、C、D 三点在同一直线上. (1)求树 DE 的高度; (2)求食堂 MN 的高度. 解:(1)如图,设 DE=x, ∵AB=DF=2, ∴EF=DE-DF=x-2, ∵∠EAF=30°, ∴AF= 2 tan 3 3 EF x EAF  = 3 (x-2), 又∵CD= tan DE DCE = 3 33 x x ,BC= 2 2 3tan 3 3 AB ACB   , ∴BD=BC+CD= 2 3 + 3 3 x 由 AF=BD 可得   33 2 2 3 3x x   解得:x=6, ∴树 DE 的高度为 6 米; (2)延长 NM 交 DB 延长线于点 P,则 AM=BP=3, 由(1)知 CD= 3 3 6 2 33 3x    ,BC=2 3 , ∴PD=BP+BC+CD= 3 2 3 2 3 3 4 3    , ∵∠NDP=45°,且 MP=AB=2, ∴NP=PD=3+4, ∴NM=NP-MP=3+4 3 -2=1+4 3 , ∴食堂 MN 的高度为 1+4 3 米. (2017•镇江)如图,小明在教学楼 A 处分别观测对面实验楼 CD 底部的俯角为 45°,顶部的仰角为 37°,已知教学楼和实验楼在 同一平面上,观测点距地面的垂 直高度 AB 为 15m,求实验楼的垂直高度即 CD 长(精确到 1m) 参考值:sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75. 解:作 AE⊥CD 于 E, ∵AB=15m, ∴DE=AB=15m, ∵∠DAE=45°, ∴AE=DE=15m, 在 Rt △ ACE 中,tan∠CAE= CE AE , 则 CE=AE•tan37°=15×0.75≈11cm, ∴AB=CE+DE=11+15=26m. 答:实验楼的垂直高度即 CD 长为 26m. ( 2017•黄 冈 ) 在 黄 冈 长 江 大 桥 的 东 端 一 处 空 地 上 , 有 一 块 矩 形 的 标 语 牌 ABCD (如图所示),已知标语牌的高 AB=5m,在地面的点 E 处,测得标语牌点 A 的 仰角为 30°,在地面的点 F 处,测得标语牌点 A 的仰角为 75°,且点 E,F,B, C 在同一直线上,求点 E 与点 F 之间的距离.(计算结果精确到 0.1 米,参考数 据: 2 ≈1.41, 3 ≈1.73) 解:如图作 FH⊥AE 于 H.由题意可知∠HAF=∠HFA=45°, ∴AH=HF,设 AH=HF=x,则 EF=2x,EH= 3 x, 在 Rt △ AEB 中,∵∠E=30°,AB=5 米, ∴AE=2AB=10 米, ∴x+ 3 x=10, ∴x=5 3 -5, ∴EF=2x=10 3 -10≈7.3 米, 答:E 与点 F 之间的距离为 7.3 米. ( 2017•新 疆 ) 如 图 , 甲 、 乙 为 两 座 建 筑 物 , 它 们 之 间 的 水 平 距 离 BC 为 30m, 在 A 点测 得 D 点的 仰角∠ EAD 为 45°,在 B 点测 得 D 点的 仰角 ∠CBD 为 60°, 求这两座建筑物的高度(结果保留根号) 解:如图,过 A 作 AF⊥CD 于点 F, 在 Rt △ BCD 中,∠DBC=60°,BC=30m, ∵ CD BC =tan∠DBC, ∴CD=BC•tan60°=30 3 m, ∴乙建筑物的高度为 30 3 m; 在 Rt △ AFD 中,∠DAF=45°, ∴DF=AF=BC=30m, ∴AB=CF=CD-DF=(30 3 -30)m, ∴甲建筑物的高度为(30 3 -30)m. (2017•荆州)如图,某数学活动小组为测量学校旗杆 AB 的高度,沿旗杆正前 方 2 3 米处的点 C 出发,沿斜面坡度 i=1: 3 的斜坡 CD 前进 4 米到达点 D, 在点 D 处安置测角仪,测得旗杆顶部 A 的仰角为 37°,量得仪器的高 DE 为 1.5 米.已知 A、B、C、D、E 在同一平面内,AB⊥BC,AB∥DE.求旗杆 AB 的高 度.(参考数据:sin37°≈ 3 5 ,cos37°≈ 4 5 ,tan37°≈ 3 4 .计算结果保留根号) 解:如图,延长 ED 交 BC 延长线于点 F,则∠CFD=90°, ∵tan∠DCF=i= 1 3 = 3 3 , ∴∠DCF=30°, ∵CD=4, ∴DF= 1 2 CD=2,CF=CDcos∠DCF=4× 3 2 =2 3 , ∴BF=BC+CF=2 3 +2 3 =4 3 , 过点 E 作 EG⊥AB 于点 G, 则 GE=BF=4 3 ,GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5, 又∵∠AED=37°, ∴AG=GEtan∠AEG=4 3 •tan37°, 则 AB=AG+BG=4 3 •tan37°+3.5=3 3 +3.5, 故旗杆 AB 的高度为(3 3 +3.5)米. ( 2017•内 江 ) 如 图 , 某人 为 了 测 量 小山 顶 上 的 塔 ED 的 高 , 他在 山 下 的 点 A 处 测得塔尖点 D 的仰角为 45°,再沿 AC 方向前进 60m 到达山脚点 B,测得塔尖点 D 的仰角为 60°,塔底点 E 的仰角为 30°,求塔 ED 的高度.(结果保留根号) 解:由题知,∠DBC=60°,∠EBC=30°, ∴∠DBE=∠DBC-∠EBC=60°-30°=30°. 又∵∠BCD=90°, ∴∠BDC=90°-∠DBC=90°-60°=30°. ∴∠DBE=∠BDE. ∴BE=DE. 设 EC=xm,则 DE=BE=2EC=2xm,DC=EC+DE=x+2x=3xm, BC= 2 2BE EC =  2 22x x = 3x , 由题知,∠DAC=45°,∠DCA=90°,AB=20, ∴△ACD 为等腰直角三角形, ∴AC=DC. ∴ 3x +60=3x, 解得:x=30+10 3 , 2x=60+20 3 . 答:塔高约为(60+20 3 )m. (2017•广安)如图,线段 AB、CD 分别表示甲乙 两建筑物的高 ,BA⊥ AD,CD ⊥DA,垂足分别为 A、D.从 D 点测到 B 点的仰角α为 60°,从 C 点测得 B 点的 仰角β为 30°,甲建筑物的高 AB=30 米 (1)求甲、乙两建筑物之间的距离 AD. (2)求乙建筑物的高 CD. 解:(1)作 CE⊥AB 于点 E, 在 Rt △ ABD 中,AD= 30 tan 3 AB   =10 3 (米); (2)在 Rt △ BCE 中,CE=AD=10 3 米, BE=CE•tanβ=10 3 3 3  =10(米), 则 CD=AE=AB-BE=30-10=20(米) 答:乙建筑物的高度 DC 为 20m. ( 2017•陕 西 ) 某 市 一 湖 的 湖 心 岛 有 一 棵 百 年 古 树 , 当 地 人 称 它 为 “乡 思 柳 ”, 不 乘船不易到达,每年初春时节,人们喜欢在 “聚贤亭”观湖赏柳.小红和小军很想 知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离,于是,有一天 ,他们俩带着侧倾器和 皮尺来测量这个距离.测量方法如下:如图,首先 ,小军站在“聚贤亭”的 A 处, 用侧倾器测得“乡思柳”顶端 M 点的仰角为 23°,此时测得小军的眼睛距地面的高 度 AB 为 1.7 米,然后,小军在 A 处蹲下,用侧倾器测得 “乡思柳”顶端 M 点的仰 角为 24°,这 时测得 小军的 眼睛 距地面 的高度 AC 为 1 米. 请你利 用以上 测得 的 数据,计算“聚贤亭”与“乡思柳 ”之间的距离 AN 的长(结果精确到 1 米).(参考 数 据 : sin23°≈0.3907 , cos23°≈0.9205 , tan23°≈0.4245 , sin24°≈0.4067 , cos24°≈0.9135,tan24°≈0.4452.) 解:如图,作 BD⊥MN,CE⊥MN,垂足分别为点 D、E, 设 AN=x 米,则 BD=CE=x 米, 在 Rt △ MBD 中,MD=x•tan23°, 在 Rt △ MCE 中,ME=x•tan24°, ∵ME-MD=DE=BC, ∴x•tan24°-x•tan23°=1.7-1, ∴x= 0.7 tan 24 tan 23  ,解得 x≈34(米). 答:“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离 AN 的长约为 34 米. (2017•眉山 )如图,为了测得一棵树的 高度 AB,小明在 D 处用高为 1m 的测角 仪 CD,测得树顶 A 的仰角为 45°,再向树方向前进 10m,又测得树顶 A 的仰角 为 60°,求这棵树的高度 AB. 解:设 AG=x. 在 Rt △ AFG 中, ∵tan∠AFG= AG FG , ∴FG= 3 x , 在 Rt △ ACG 中,∵∠GCA=45°, ∴CG=AG=x, ∵DE=10, ∴x- 3 x =10, 解得:x=15+5 3 ∴AB=15+5 3 +1=16+5 3 (米). 答:这棵树的高度 AB 为(16+5 3 )米. (2017•南通)热气球的探测器显示,从热气球 A 看一栋楼顶部 B 的仰角α为 45°, 看这栋楼底部 C 的俯角β为 60°,热气球与楼的水平距离为 100m,求这栋楼的高 度(结果保留根号). 解:在 Rt △ ADB 中,∠BAD=45°, ∴BD=AD=100m, 在 Rt △ ADC 中,CD=AD×tan∠DAC=100 3 m ∴BC=(100+100 3 )m, 答:这栋楼的高度为(100+100 3 )m. ( 2017•绍 兴 ) 如 图 , 学 校 的 实 验 楼 对 面 是 一 幢 教 学 楼 , 小 敏 在 实 验 楼 的 窗 口 C 测得教学楼顶部 D 的仰角为 18°,教学楼底部 B 的俯角为 20°,量得实验楼与教 学楼之间的距离 AB=30m. (1)求∠BCD 的度数. (2)求教学楼的高 BD.(结果精确到 0.1m,参考数据:tan20°≈0.36,tan18°≈0.32) 解:(1)过点 C 作 CE⊥BD,则有∠DCE=18°,∠BCE=20°, ∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°; (2)由题意得:CE=AB=30m, 在 Rt △ CBE 中,BE=CE•tan20°≈10.80m, 在 Rt △ CDE 中,DE=CD•tan18°≈9.60m, ∴教学楼的高 BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m, 则教学楼的高约为 20.4m. (2017•吉林)如图,一枚运载火箭从距雷达站 C 处 5km 的地面 O 处发射,当火 箭到达点 A,B 时,在雷达站 C 处测得点 A,B 的仰角分别 为 34°,45°,其中点 O,A,B 在同一条直线上.求 A,B 两点间的距离(结果精确到 0.1km). (参考数据:sin34°=0.56,cos34°=0.83,tan34°=0.67.) 解:由题意可得:∠AOC=90°,OC=5km. 在 Rt △ AOC 中, ∵tan34°= OA OC , ∴OA=OC•tan34°=5×0.67=3.35km, 在 Rt △ BOC 中,∠BCO=45°, ∴OB=OC=5km, ∴AB=5-3.35=1.65≈1.7km, 答:求 A,B 两点间的距离约为 1.7km. (2017•临沂)如图,两座建筑 物的水平距离 BC=30m,从 A 点测得 D 点的俯角 α为 30°,测得 C 点的俯角β为 60°,求这两座建筑物的高度. 解:延长 CD,交 AE 于点 E,可得 DE⊥AE, 在 Rt △ AED 中,AE=BC=30m,∠EAD=30°, ∴ED=AEtan30°=10 3 m, 在 Rt △ ABC 中,∠BAC=30°,BC=30m, ∴AB=30 3 m, 则 CD=EC-ED=AB-ED=30 3 -10 3 =20 3 m. (2017•荆门)金桥学校“科技体艺节”期间,八年级数学活动小组的任务是测量 学校旗杆 AB 的高,他们在旗杆正前方台阶上的点 C 处,测得旗杆顶端 A 的仰 角为 45°,朝着旗杆的方向走到台阶下的点 F 处,测得旗杆顶端 A 的仰角为 60°, 已知升旗台的高度 BE 为 1 米,点 C 距地面的高度 CD 为 3 米,台阶 CF 的坡角 为 30°,且点 E、F、D 在同一条直线上,求旗杆 AB 的高度(计算结果精确到 0.1 米,参考数据: 2 ≈1.41, 3 ≈1.73) 解:过点 C 作 CM⊥AB 于 M.则四边形 MEDC 是矩形, ∴ME=DC=3.CM=ED, 在 Rt △ AEF 中,∠AFE=60°,设 EF=x,则 AF=2x,AE= 3 x, 在 Rt △ FCD 中,CD=3,∠CFD=30°, ∴DF=3 3 , 在 Rt △ AMC 中,∠ACM=45°, ∴∠MAC=∠ACM=45°, ∴MA=MC, ∵ED=CM, ∴AM=ED, ∵AM=AE-ME,ED=EF+DF, ∴ 3 x-3=x+3 3 , ∴x=6+3 3 , ∴AE= 3 (6+3 3 )=6 3 +9, ∴AB=AE-BE=9+6 3 -1≈18.4 米. 答:旗杆 AB 的高度约为 18.4 米. (2017•乐山)如图,在水平地面上有一幢房屋 BC 与一棵树 DE,在地面观测点 A 处测得屋顶 C 与树梢 D 的仰角分别 是 45°与 60°,∠CAD=60°,在屋顶 C 处测 得∠DCA=90°.若房屋的高 BC=6 米,求树高 DE 的长度. 解:如图 3,在 Rt △ ABC 中,∠CAB=45°,BC=6m, ∴AC= sin BC CAB =6 2 (m); 在 Rt △ ACD 中,∠CAD=60°, ∴AD= cos AC CAD =12 2 (m); 在 Rt △ DEA 中,∠EAD=60°,DE=AD•sin60°=12 2 3 2  =6 6 (m), 答:树 DE 的高为 6 6 米. (2017•遵义)乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程,由主桥 AB 和引桥 BC 两部分组成(如图所示),建造前工程师用以下方式做了测量;无人机在 A 处正上方 97m 处的 P 点,测得 B 处的俯角为 30°(当时 C 处被小山体阻挡无法 观测),无人机飞行到 B 处正上方的 D 处时能看到 C 处,此时测得 C 处俯角为 80°36′. (1)求主桥 AB 的长度; (2)若两观察点 P、D 的连线与水平方向的夹角为 30°,求引桥 BC 的长. (长度均精确到 1m,参考数据: 3 ≈1.73,sin80°36′≈0.987,cos80°36′≈0.163, tan80°36′≈6.06) 解:(1)由题意知∠ABP=30°、AP=97, ∴AB= tan AP ABP = 97 tan30 = 3 3 = 97 3 ≈168m, 答:主桥 AB 的长度约为 168m; (2)∵∠ABP=30°、AP=97, ∴PB=2PA=194, 又∵∠DBC=∠DBA=90°、∠PBA=30°, ∴∠DBP=∠DPB=60°, ∴△PBD 是等边三角形, ∴DB=PB=194, 在 Rt △ BCD 中,∵∠C=80°36′, ∴BC= tan DB C = 194 tan80 36 ≈32, 答:引桥 BC 的长约为 32m. (2017•衡 阳 )衡 阳 市 城市 标 志 来雁 塔 坐 落在 衡 阳 市雁 峰 公 园内 , 如 图, 为 了 测 量来雁塔的高度,在 E 处用高为 1.5 米的测角仪 AE,测得塔顶 C 的仰角为 30°, 再向塔身前进 10.4 米,又测得塔顶 C 的仰角为 60°,求来雁塔的高 度.(结果精 确到 0.1 米) 解:如图,由题意∠CAB=30°,∠CBD=60°,DF=AE=1.5 米 ∵∠CBD=∠CAB+∠ACB, ∴∠ACB=∠CAB=30°, ∴AB=BC=10.4 米, 在 Rt △ CBD 中,CD=BC•sin60°=10.3•≈8.9 米, ∴来雁塔的高度=CD+DF=8.9+1.5=10.4 米. (2017•株洲)如图示一架水平飞行的无人机 AB 的尾端点 A 测得正前方的桥的 左端点 P 的 俯角为α其中 tanα=2 3 ,无人机的飞行高度 AH 为 500 3 米,桥的长度为 1255 米. ①求点 H 到桥左端点 P 的距离; ②若无人机前端点 B 测得正前方的桥的右端点 Q 的俯角为 30°,求这架无人机的 长度 AB. 解:①在 Rt △ AHP 中,∵AH=500 3 , 由 tan∠APH=tanα= 500 3 2 3AH HP PH   ,可得 PH=250 米. ∴点 H 到桥左端点 P 的距离为 250 米. ②设 BC⊥HQ 于 C. 在 Rt △ BCQ 中,∵BC=AH=500 3 ,∠BQC=30°, ∴CQ= tan30 BC  =1500 米, ∵PQ=1255 米, ∴CP=245 米, ∵HP=250 米, ∴AB=HC=250-245=5 米. 答:这架无人机的长度 AB 为 5 米. (2017•潍坊)如图,某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼 CD 的高度.该楼 底层为车库,高 2.5 米;上面五层居住,每层高度相等.测角仪支架离地 1.5 米, 在 A 处测得五楼顶部点 D 的仰角为 60°,在 B 处测得四楼顶点 E 的仰角为 30°, AB=14 米.求居民楼的高度(精确到 0.1 米,参考数据: 3 ≈1.73) 解:设每层楼高为 x 米, 由题意得:MC′=MC-CC′=2.5-1.5=1 米, ∴DC′=5x+1,EC′=4x+1, 在 Rt △ DC′A′中,∠DA′C′=60°, ∴C′A′= 3 tan 60 3 DC  (5x+1), 在 Rt △ EC′B′中,∠EB′C′=30°, ∴C′B′= tan30 EC  = 3 (4x+1), ∵A′B′=C′B′-C′A′=AB, ∴ 3 (4x+1)- 3 3 (5x+1)=14, 解得:x≈3.17, 则居民楼高为 5×3.17+2.5≈18.4 米 . (2017•通辽)如图,物理教师为同学们演示单摆运动,单摆左右摆动中,在 OA 的位置时俯角∠EOA=30°,在 OB 的位置时俯角∠FOB=60°,若 OC⊥EF,点 A 比点 B 高 7cm.求: (1)单摆的长度( 3 ≈1.7); (2)从点 A 摆动到点 B 经过的路径长(π≈3.1). 解:(1)如图,过点 A 作 AP⊥OC 于点 P,过点 B 作 BQ⊥OC 于点 Q, ∵∠EOA=30°、∠FOB=60°,且 OC⊥EF, ∴∠AOP=60°、∠BOQ=30°, 设 OA=OB=x, 则在 Rt △ AOP 中,OP=OAcos∠AOP= 1 2 x, 在 Rt △ BOQ 中,OQ=OBcos∠BOQ= 3 2 x, 由 PQ=OQ-OP 可得 3 2 x- 1 2 x=7, 解得:x=7+7 3 ≈18.9(cm), 答:单摆的长度约为 18.9cm; (2)由(1)知,∠AOP=60°、∠BOQ=30°,且 OA=OB=7+7 3 , ∴∠AOB=90°, 则从点 A 摆动到点 B 经过的路径长为  90 7 7 3 180    ≈29.295, 答:从点 A 摆动到点 B 经过的路径长为 29.295cm. (2017•菏泽 ) 如图 ,某 小区① 号楼 与 ⑪ 号楼 隔河 相望, 李明 家住在① 号楼 ,他 很想知道 ⑪ 号楼的高度,于是他做了一些测量,他先在 B 点测得 C 点的仰角为 60°,然后到 42 米高的楼顶 A 处,测得 C 点的仰角为 30°,请你帮助李明计算 ⑪ 号楼的高度 CD. 解:作 AE⊥CD, ∵CD=BD•tan60°= 3 BD,CE=BD•tan30°= 3 3 BD, ∴AB=CD-CE= 2 3 3 BD, ∴BD=21 3 m, CD=BD•tan60°= 3 BD=63m. 答: ⑪ 建筑物的高度 CD 为 63m. (2017•营口)如图,一艘船以每小时 30 海里的速度向北偏东 75°方向航行,在 点 A 处测得码头 C 在船的东北方向,航行 40 分钟后到达 B 处,这时码头 C 恰 好在船的正北方向,在船不改变航向的情况下,求出船在航行过程中与码头 C 的最近距离.(结果精确到 0.1 海里,参考数据 2 ≈1.41, 3 ≈1.73) 解:过点 C 作 CE⊥AB 于点 E,过点 B 作 BD⊥AC 于点 D, 由题意可知:船在航行过程中与码头 C 的最近距离是 CE, AB=30× 40 60 =20, ∵∠NAC=45°,∠NAB=75°, ∴∠DAB=30°, ∴BD= 1 2 AB=10, 由勾股定理可知:AD=10 3 ∵BC∥AN, ∴∠BCD=45°, ∴CD=BD=10, ∴AC=10 3 +10 ∵∠DAB=30°, ∴CE= 1 2 AC=5 3 +5≈13.7 (2017•恩施州)如图,小明家在学校 O 的北偏东 60°方向,距离学校 80 米的 A 处,小华家在学校 O 的南偏东 45°方向的 B 处,小华家在小明家的正南方向,求 小华家到学校的距离.(结果精确到 1 米,参考数据: 2 ≈1.41, 3 ≈1.73, 6 ≈2.45) 解:由题意可知:作 OC⊥AB 于 C, ∠ACO=∠BCO=90°,∠AOC=30°,∠BOC=45°. 在 Rt △ ACO 中, ∵∠ACO=90°,∠AOC=30°, ∴AC= 1 2 AO=40m,OC= 3 AC=40 3 m. 在 Rt △ BOC 中, ∵∠BCO=90°,∠BOC=45°, ∴BC=OC=40 3 m. ∴OB= 2 2 40 6OC BC  ≈40×2.45≈82(米). 答:小华家到学校的距离大约为 82 米. (2017,青岛)如图,C 地在 A 地的正东方向,因有大山阻隔,由 A 地到 C 地需要绕行 B 地, 已知 B 位于 A 地北偏东 67°方向,距离 A 地 520km,C 地位于 B 地南偏东 30°方向,若打通 穿山隧道,建成两地直达高铁,求 A 地到 C 地之间高铁线路的长(结果保留整数) (参考数据: ) 解:如图,作 BD⊥AC 于点 D, 在 Rt△ABD 中,∠ABD=67° ,∴ [来源@~^:&中教网*] ,∴ 在 Rt△BCD 中,∠CBD=30° ,∴ ∴ 答:AC 之间的距离约为 596km。 (2017•乌鲁木齐)一艘渔船位于港口 A 的北偏东 60°方向,距离港口 20 海里 B 处,它沿北偏西 37°方向航行至 C 处突然出现故障,在 C 处等待救援,B,C 之 间的距离为 10 海里,救援船从港口 A 出发 20 分钟到达 C 处,求救援的艇的航 行速度.(sin37°≈0.6,cos37°≈0.8, 3 ≈1.732,结果取整数) 解:辅助线如图所示: BD⊥AD,BE⊥CE,CF⊥AF, 有题意知,∠FAB=60°,∠CBE=37°, ∴∠BAD=30°, ∵AB=20 海里, ∴BD=10 海里, 在 Rt △ ABD 中,AD= 2 2 10 3AB BD  ≈17.32 海里, 在 Rt △ BCE 中,sin37°= CE BC , ∴CE=BC•sin37°≈0.6×10=6 海里, ∵cos37°= EB BC , ∴EB=BC•cos37°≈0.8×10=8 海里, EF=AD=17.32 海里, ∴FC=EF-CE=11.32 海里, AF=ED=EB+BD=18 海里, 在 Rt △ AFC 中, AC= 2 2AF FC = 2 218 11.32 ≈21.26 海里, 21.26×3≈64 海里/小时. 答:救援的艇的航行速度大约是 64 海里/小时. ( 2017•十 堰 )如 图 , 海 中 有 一 小岛 A, 它 周 围 8 海 里 内 有 暗 礁 , 渔船 跟 踪 鱼 群 由西向东航行,在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60°方向上 ,航行 12 海里到达 D 点, 这时测得小岛 A 在北偏东 30°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行 ,有没 有触礁的危险? 解:只要求出 A 到 BD 的最短距离是否在以 A 为圆心,以 8 海里的圆内或圆上 即可, 如图,过 A 作 AC⊥BD 于点 C,则 AC 的长是 A 到 BD 的最短距离, ∵∠CAD=30°,∠CAB=60°, ∴∠BAD=60°-30°=30°,∠ABD=90°-60°=30°, ∴∠ABD=∠BAD, ∴BD=AD=12 海里, ∵∠CAD=30°,∠ACD=90°, ∴CD= 1 2 AD=6 海里, 由勾股定理得:AC= 2 212 6 =6 3 ≈10.392>8, 即渔船继续向正东方向行驶,没有触礁的危险. ( 2017•泸 州 ) 如 图 , 海 中 一 渔 船 在 A 处 且 与 小 岛 C 相 距 70nmile, 若 该 渔 船 由 西向东航行 30nmile 到达 B 处,此时测得小岛 C 位于 B 的北偏东 30°方向上;求 该渔船此时与小岛 C 之间的距离. 解:过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,由题意得: ∠BCD=30°,设 BC=x,则: 在 Rt △ BCD 中,BD=BC•sin30°= 1 2 x,CD=BC•cos30°= 3 2 x; ∴AD=30+ 1 2 x, ∵AD2+CD2=AC2,即:(30+ 1 2 x) 2+( 3 2 x) 2=702, 解之得:x=50(负值舍去), 答:渔船此时与 C 岛之间的距离为 50 海里. (2017•成 都 )科 技 改变 生 活 ,手 机 导 航极 大 方 便了 人 们 的出 行 , 如图 , 小 明一 家 自 驾 到 古 镇 C 游 玩 , 到 达 A 地 后 , 导 航 显 示 车 辆 应 沿 北 偏 西 60°方 向 行 驶 4 千米至 B 地,再沿北偏东 45°方向行驶一段距离到达古镇 C,小明发现古镇 C 恰 好在 A 地的正北方向,求 B,C 两地的距离. 解:过 B 作 BD⊥AC 于点 D. 在 Rt △ ABD 中,AD=AB•cos∠BAD=4cos60°=4× 1 2 =2(千米), BD=AB•sin∠BAD=4× 3 2 =2 3 (千米), ∵△BCD 中,∠CBD=45°, ∴△BCD 是等腰直角三角形, ∴CD=BD=2 3 (千米), ∴BC= 2 BD=2 6 (千米). 答:B,C 两地的距离是 2 6 千米. (2017•天水)一艘轮船位于灯塔 P 南偏西 60°方向的 A 处,它向东航行 20 海里 到达灯塔 P 南偏西 45°方向上的 B 处,若轮船继续沿正东方向航行 ,求轮船航行 途中与灯塔 P 的最短距离.(结果保留根号) 解:如图,AC⊥PC,∠APC=60°,∠BPC=45°,AB=20 海里,设 BC=x 海里,则 AC=AB+BC=(20+x)海里. 在 △ PBC 中,∵∠BPC=45°, ∴△PBC 为等腰直角三角形, ∴PC=BC=x 海里, 在 Rt △ APC 中,∵tan∠APC= AC PC , ∴AC=PC•tan60°= 3 x, ∴ 3 x=20+x, 解得 x=10 3 +10, 则 PC=(10 3 +10)海里. 答:轮船航行途中与灯塔 P 的最短距离是(10 3 +10)海里. (2017•连云港)如图,湿地景区岸边有三个观景台 A、B、C,已知 AB=1400 米,AC=1000 米,B 点位于 A 点的南偏西 60.7°方向,C 点位于 A 点的南偏东 66.1° 方向. (1)求 △ ABC 的面积; (2)景区规划在线段 BC 的中点 D 处修建一个湖心亭,并修建观景栈道 AD, 试求 A、D 间的距离.(结果精确到 0.1 米) (参考数据:sin53.2°≈0.80,cos53.2°≈0.60,sin60.7°≈0.87,cos60.7°≈0.49, sin66.1°≈0.91,cos66.1°≈0.41, 2 ≈1.414). 解:(1)作 CE⊥BA 于 E. 在 Rt △ AEC 中,∠CAE=180°-60.7°-66.1°=53.2°, ∴CE=AC•sin53.2°≈1000×0.8=800 米. ∴S △ ABC= 1 2 •AB•CE= 1 2 ×1400×800=560000 平方米. (2)连接 AD,作 DF⊥AB 于 F.,则 DF∥CE. ∵BD=CD,DF∥CE, ∴BF=EF, ∴DF= 1 2 CE=400 米, ∵AE=AC•cos53.2°≈600 米, ∴BE=AB+AE=2000 米, ∴AF= 1 2 EB-AE=400 米, 在 Rt △ ADF 中,AD= 2 2AF DF =400 2 =565.6 米. (2017•河南)如图所示,我国两艘海监船 A,B 在南海海域巡航,某一时刻, 两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船 C,此时,B 船在 A 船的正南 方向 5 海里处,A 船测得渔船 C 在其南偏东 45°方向,B 船测得渔船 C 在其南偏 东 53°方向,已知 A 船的航速为 30 海里/小时,B 船的航速为 25 海里/小时,问 C 船至少要等待多长时间才能得到救援?(参考数据:sin53°≈ 4 5 ,cos53°≈ 3 5 , tan53°≈ 4 3 , 2 ≈1.41) 解:如图作 CE⊥AB 于 E. 在 Rt △ ACE 中,∵∠A=45°, ∴AE=EC,设 AE=EC=x,则 BE=x-5, 在 Rt △ BCE 中, ∵tan53°= EC BE , ∴ 4 3 = 5 x x  , 解得 x=20, ∴AE=EC=20, ∴AC=20 2 =28.2, BC= sin53 EC  =25, ∴A 船到 C 的时间≈ 28.2 30 =0.94 小时,B 船到 C 的时间= 25 25 =1 小时, ∴C 船至少要等待 0.94 小时才能得到救援. (2017•长沙)为了维护国家主权和海洋权利,海监部门对我国领海实现了常 态化 巡航 管理, 如图, 正在执 行巡航 任务的 海监船 以每小 时 50 海里 的速度 向正东 方 航行,在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60°方向上 ,继续航行 1 小时到达 B 处,此时 测得灯塔 P 在北偏东 30°方向上. (1)求∠APB 的度数; (2)已知在灯塔 P 的周围 25 海里内有暗礁,问海监船继续向正东方向航行是否 安全? 解:(1)∵∠PAB=30°,∠ABP=120°, ∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=30°. (2)作 PH⊥AB 于 H. ∵∠BAP=∠BPA=30°, ∴BA=BP=50, 在 Rt △ PBH 中,PH=PB•sin60°=50× 3 2 =25 3 , ∵25 3 >25, ∴海监船继续向正东方向航行是安全的. ( 2017•南 京 ) 如 图 , 港 口 B 位 于 港 口 A 的 南 偏 东 37°方 向 , 灯 塔 C 恰 好 在 AB 的中点 处,一艘 海轮位于 港口 A 的正南 方向,港 口 B 的正西 方向的 D 处,它 沿 正北方向航行 5km 到达 E 处,测得灯塔 C 在北偏东 45°方向上,这时,E 处距离 港口 A 有多远?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75) 解:如图作 CH⊥AD 于 H.设 CH=xkm, 在 Rt △ ACH 中,∠A=37°,∵tan37°= CH AH , ∴AH= tan37 CH  = tan37 x  , 在 Rt △ CEH 中,∵∠CEH=45°, ∴CH=EH=x, ∵CH⊥AD,BD⊥AD, ∴CH∥BD, ∴ AH AC HD CB  , ∵AC=CB, ∴AH=HD, ∴ tan37 x  =x+5, ∴x= 5 tan37 1 tan37     ≈15, ∴AE=AH+HE= 15 tan37 +15≈35km, ∴E 处距离港口 A 有 35km. (2017•郴州)如图所示,C 城市在 A 城市正东方向,现计划在 A、C 两城市间 修建一条高速公路(即线段 AC),经测量,森林保护区的中心 P 在 A 城市的北 偏东 60°方向上,在线段 AC 上距 A 城市 120km 的 B 处测得 P 在北偏东 30°方向 上,已知森林保护区是以点 P 为圆心,100km 为半径的圆形区域,请问计划修建 的这条高速公路是否穿越保护区,为什么?(参考数据: 3 ≈1.73) 解:结论;不会.理由如下: 作 PH⊥AC 于 H. 由题意可知:∠EAP=60°,∠FBP=30°, ∴∠PAB=30°,∠PBH=60°, ∵∠PBH=∠PAB+∠APB, ∴∠BAP=∠BPA=30°, ∴BA=BP=120, 在 Rt △ PBH 中,sin∠PBH= PH PB , ∴PH=PB•sin60°=120× 3 2 ≈103.80, ∵103.80>100, ∴这条高速公路不会穿越保护区. (2017•天津)如图,一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 64°方向,距离灯塔 120 海里 的 A 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的南偏东 45°方向上的 B 处,求 BP 和 BA 的长(结果取整数). 参考数据:sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05, 2 取 1.414. 解:如图作 PC⊥AB 于 C. 由题意∠A=64°,∠B=45°,PA=120, 在 Rt △ APC 中,sinA= PC PA ,cosA= AC PC , ∴PC=PA•sinA=120•sin64°, AC=PA•cosA=120•cos64°, 在 Rt △ PCB 中,∵∠B=45°, ∴PC=BC, ∴PB= sin 45 PC  = 120 0.9 2 2  ≈153. ∴AB=AC+BC=120•cos64°+120•sin64° ≈120×0.90+120×0.44 ≈161. 答:BP 的长为 153 海里和 BA 的长为 161 海里. (2017•辽阳)今年,我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动,坚决把“洋垃圾” 拒于国门之外.如图,某天我国一艘海监船巡航到 A 港口正西方的 B 处时,发 现在 B 的北偏东 60°方向,相距 150 海里处的 C 点有一可疑船只正沿 CA 方向行 驶,C 点在 A 港口的北偏东 30°方向上,海监船向 A 港口发出指令,执法船立即 从 A 港口沿 AC 方向驶出,在 D 处成功拦截可疑船只,此时 D 点与 B 点的距离 为 75 2 海里. (1)求 B 点到直线 CA 的距离; (2)执法船从 A 到 D 航行了多少海里?(结果保留根号) 解:(1)过点 B 作 BH⊥CA 交 CA 的延长线于点 H, ∵∠MBC=60°, ∴∠CBA=30°, ∵∠NAD=30°, ∴∠BAC=120°, ∴∠BCA=180°-∠BAC-∠CBA=30°, ∴BH=BC×sin∠BCA=150× 1 2 =75(海里). 答:B 点到直线 CA 的距离是 75 海里; (2)∵BD=75 2 海里,BH=75 海里, ∴DH= 2 2BD BH =75 海里, ∵∠BAH=180°-∠BAC=60°, 在 Rt △ ABH 中,tan∠BAH= BH AH = 3 , ∴AH=25 3 海里, ∴AD=DH-AH=(75-25 3 )(海里). 答:执法船从 A 到 D 航行了(75-25 3 )海里.
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