高考数学专题复习练习:12-2 专项基础训练

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高考数学专题复习练习:12-2 专项基础训练

‎ A组 专项基础训练 ‎(时间:35分钟)‎ ‎1.(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为(  )‎ A.           B. C. D. ‎【解析】 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中勾股数只有(3,4,5),所以概率为.‎ ‎【答案】 C ‎2.(2017·济宁模拟)高二某班共有60名学生,其中女生有20名,三好学生占,而且三好学生中女生占一半.现在从该班同学中任选一名参加某一座谈会,则在已知没有选上女生的条件下,选上的是三好学生的概率为(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】 根据题意知男生共有40人,其中是男生且为三好学生的人数共有5人,故选出的是男生且为三好学生的概率P==.‎ ‎【答案】 C ‎3.一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b<c时称为“凹数”(如213,312)等.若a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“凹数”的概率是(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】 由1,2,3组成的三位数有123,132,213,231,312,321,共6个;由1,‎ ‎2,4组成的三位数有124,142,214,241,412,421,共6个;由1,3,4组成的三位数有134,143,314,341,413,431,共6个;由2,3,4组成的三位数有234,243,324,342,423,432,共6个.所以共有6+6+6+6=24个三位数.当b=1时,有214,213,314,412,312,413,共6个“凹数”;当b=2时,有324,423,共2个“凹数”.故这个三位数为“凹数”的概率P==.‎ ‎【答案】 C ‎4.(2017·湖南长沙长郡中学第六次月考)一盒中有白、黑、红三种颜色的小球各一个,每次从中取出一个,记下颜色后放回,当三种颜色的球全部取出时停止取球,则恰好取5次球时停止取球的概率为(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】 “恰好取5次球时停止取球”指第5次为第三种颜色,前4次为另两种颜色,因此所求概率为=,故选A.‎ ‎【答案】 A ‎5.(2017·太原二模)记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m,n,向量a=(m,n)与向量b=(1,0)的夹角为α,则α∈的概率为(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】 方法一 依题意,向量a=(m,n)共有6×6=36(个),其中满足向量a=(m,n)与向量b=(1,0)的夹角α∈,即n<m的(m,n)可根据n的具体取值进行分类计数:第一类,当n=1时,m有5个不同的取值;第二类,当n=2时,m有4个不同的取值;第三类,当n=3时,m有3个不同的取值;第四类,当n=4时,m有2个不同的取值;第五类,当n=5时,m有1个取值,因此满足向量a=(m,n)与向量b=(1,0)的夹角α∈的(m,n)共有1+2+3+4+5=15(个),所以所求概率为=.‎ 方法二 依题意可得向量a=(m,n)共有6×6=36(个),其中满足向量a=(m,n)与向量b=(1,0)的夹角α∈,即n<m的向量a=(m,n)有=15(个),所以所求概率为 ‎=.‎ ‎【答案】 B ‎6.(2016·广东高考)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.‎ ‎【解析】 从4只球中一次随机摸出2只球,有6种结果,其中这2只球颜色不同有5种结果,故所求概率为.‎ ‎【答案】 ‎7.(2016·江苏)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是________.‎ ‎【解析】 先后抛掷2次骰子,所有可能出现的情况可用数对表示为 ‎(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),‎ ‎(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),‎ ‎……‎ ‎(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),‎ ‎(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个.‎ 其中点数之和不小于10的有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6个.从而点数之和小于10的数对共有30个,故所求概率P==.‎ ‎【答案】 ‎8.(2017·海淀一模)现有7名数理化成绩优秀者,分别用A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2表示,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛,则A1和B1不全被选中的概率为________.‎ ‎【解析】 从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,所有可能的结果组成的12个基本事件为:(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2).‎ 设“A1和B1不全被选中”为事件N,则其对立事件N表示“A1和B1全被选中”,由于N ‎={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2)},所以P(N)==,由对立事件的概率计算公式得P(N)=1-P(N)=1-=.‎ ‎【答案】 ‎9.(2017·兰州双基测试)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取一张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.‎ ‎(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;‎ ‎(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.‎ ‎【解析】 (1)由题意,(a,b,c)所有可能的结果为:(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.‎ 设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种,‎ 所以P(A)==,‎ 因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为.‎ ‎(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种,‎ 所以P(B)=1-P(B)=1-=,‎ 因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为.‎ ‎10.(2015·天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.‎ ‎(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数.‎ ‎(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.‎ ‎①用所给编号列出所有可能的结果;‎ ‎②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.‎ ‎【解析】 (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.‎ ‎(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.‎ ‎②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9种.因此,事件A发生的概率P(A)==.‎ B组 专项能力提升 ‎(时间:30分钟)‎ ‎11.(2017·天津红桥区模拟)从自然数1,2,3,4,5中,任意取出两个数组成两位的自然数,再从这些两位自然数中取出一个数,则取出的数恰好能被3整除的概率为(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】 从自然数1,2,3,4,5中任意取出两个数组成两位的自然数,共有5×4=20个,从这些两位自然数中取出的数恰好能被3整除有12,21,15,51,24,42,45,54,共8个,故能被3整除的概率为=.‎ ‎【答案】 A ‎12.(2017·郑州模拟)在二项式的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的项重新排成一列,有理项都互不相邻的概率为(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】 注意到二项式的展开式的通项是Tk+1=C()n-k=C2-kx,依题意有C+C2-2=2C2-1=n,即n2-9n+8=0,(n-1)(n-8)=0(n≥2),因此n=8,因为二项式 eq blc(rc)(avs4alco1(r(x)+f(1,2r(4,x))))的展开式的通项是Tk+1=C2-kx4-,其展开式中的有理项共有3项,利用插空法,6个无理项中共有7个空,插入3个有理项.∴有理项互不相邻的概率P==.选D.‎ ‎【答案】 D ‎13.(2017·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a,b,则直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点的概率为________.‎ ‎【解析】 依题意,将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),共36种,其中满足直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点,即满足≤,a2≤b2的数组(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),…,(6,6),共6+5+4+3+2+1=21种,因此所求的概率等于=.‎ ‎【答案】 ‎14.(2017·雅安模拟)甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.‎ ‎(1)设(i,j)表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如果甲抽到红桃2,乙抽到红桃3,记为(2,3)),写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况;‎ ‎(2)若甲抽到红桃3,则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少?‎ ‎(3)甲、乙约定,若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜;否则,乙胜,你认为此游戏是否公平?请说明理由.‎ ‎【解析】 (1)方片4用4′表示,则甲、乙两人抽到的牌的所有情况为:(2,3),(2,4),(2,4′),(3,2),(3,4),(3,4′),(4,2),(4,3),(4,4′),(4′,2),(4′,3),(4′,4)共12种不同的情况.‎ ‎(2)甲抽到3,乙抽到的牌只能是2,4,4′,因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为.‎ ‎(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大,有(3,2),(4,2),(4,3),(4′,2),(4′,3),共5种情况.‎ 甲胜的概率为P1=,乙胜的概率为P2=.‎ 因为<,所以此游戏不公平.‎ ‎15.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为,现有甲、乙两人从袋中轮流摸球,甲先取,乙后取,然后甲再取,…,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的.‎ ‎(1)求袋中原有白球的个数;‎ ‎(2)求取球2次即终止的概率;‎ ‎(3)求甲取到白球的概率.‎ ‎【解析】 (1)设袋中原有n个白球,从袋中任取2个球都是白球的结果数为C,从袋中任取2个球的所有可能的结果数为C.‎ 由题意知从袋中任取2球都是白球的概率P==,则n(n-1)=6,解得n=3(舍去n=-2),即袋中原有3个白球.‎ ‎(2)设事件A为“取球2次即终止”.取球2次即终止,即乙第一次取到的是白球而甲取到的是黑球,‎ P(A)===.‎ ‎(3)设事件B为“甲取到白球”,“第i次取到白球”为事件Ai,i=1,2,3,4,5,因为甲先取,所以甲只可能在第1次,第3次和第5次取到白球.‎ 所以P(B)=P(A1∪A3∪A5)=P(A1)+P(A3)+P(A5)=++=++=.‎
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