【数学】2020届一轮复习人教B版函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用课时作业

【数学】2020届一轮复习人教B版函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用课时作业

1．函数 y＝sin (2x－ π 3 )在区间[－ π 2 ，π]上的简图是(　　) 解析：选 A.令 x＝0，得 y＝sin(－ π 3 )＝－ 3 2 ，排除 B，D.由 f(－ π 3 )＝0，f(π 6 )＝0，排除 C. 2．函数 f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线 y＝2 所得线段长为 π 2 ，则 f (π 6 )的值是 (　　) A．－ 3　　　　　　　　　　 B. 3 3 C．1 D. 3 解析：选 D.由题意可知该函数的周期为 π 2 ，所以 π ω＝ π 2 ，ω＝2，f(x)＝tan 2x，所以 f(π 6 )＝tan π 3 ＝ 3. 3．(2019·昆明市教学质量检测)函数 y＝sin (π 3 x＋ π 6 )的图象可由函数 y＝cos π 3 x 的图象至少向右 平移 m(m>0)个单位长度得到，则 m＝(　　) A．1 B. 1 2 C. π 6 D. π 2 解析：选 A.因为 y＝sin(π 3 x＋ π 6 )＝ cos(π 2 － π 3 x－ π 6 )＝cos[π 3 （x－1）]， 所以只需将函数 y＝cos π 3 x 的图象向右至少平移 1 个单位长度即可得到函数 y＝sin (π 3 x＋ π 6 )的 图象，故选 A. 4．(2019·福建省普通高中质量检查)若将函数 y＝3cos(2x＋ π 2 )的图象向右平移 π 6 个单位长度，则 平移后图象的一个对称中心是(　　) A.(π 6 ，0) B.(－ π 6 ，0) C.(π 12，0) D.(－ π 12，0) 解析：选 A.将函数 y＝3cos (2x＋ π 2 )的图象向右平移 π 6 个单位长度，得 y＝3cos[2(x－ π 6 )＋ π 2 ]＝ 3cos (2x＋ π 6 )的图象，由 2x＋ π 6 ＝kπ＋ π 2 (k∈Z)，得 x＝ kπ 2 ＋ π 6 (k∈Z)，当 k＝0 时，x＝ π 6 ，所 以平移后图象的一个对称中心是(π 6 ，0)，故选 A. 5．(2019·贵阳市检测)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0， ω>0，0<φ<π)，其导数 f′(x)的图象如 图所示，则 f (π 2 )的值为(　　) A．2 2 B. 2 C．－ 2 2 D．－ 2 4 解析：选 D.依题意得 f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，结合函数 y＝f′(x)的图象可知，T＝ 2π ω ＝4(3π 8 － π 8 )＝ π，ω＝2，又 Aω＝1，因此 A＝ 1 2.因为 0<φ<π，3π 4 < 3π 4 ＋φ< 7π 4 ，且 f′(3π 8 )＝cos(3π 4 ＋φ)＝－ 1，所以 3π 4 ＋φ＝π，φ＝ π 4 ，f(x)＝ 1 2sin(2x＋ π 4 )，f(π 2 )＝ 1 2sin(π＋ π 4 )＝－ 1 2× 2 2 ＝－ 2 4 ，故 选 D. 6．若函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中 ω>0，|φ|< π 2 ，f(x)的最小正周期为π，且 f(0)＝ 3， 则 ω＝________，φ＝________． 解析：由函数的最小正周期为π，得到 ω＝2(ω>0)，又由 f(0)＝ 3且|φ|< π 2 得到 φ＝ π 3 . 答案：2　 π 3 7．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今 年前四个月的统计情况： 月份 x 1 2 3 4 收购价格 y(元/斤) 6 7 6 5 选用一个函数来近似描述收购价格 y(元/斤)与相应月份 x 之间的函数关系为________． 解析：设 y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得 A＝1，B＝6，T＝4，因为 T＝ 2π ω ， 所以 ω＝ π 2 ，所以 y＝sin(π 2 x＋φ)＋6. 因为当 x＝1 时，y＝6，所以 6＝sin(π 2 ＋φ)＋6， 结合表中数据得 π 2 ＋φ＝2kπ，k∈Z， 可取 φ＝－ π 2 ， 所以 y＝sin(π 2 x－ π 2 )＋6＝6－cos π 2 x. 答案：y＝6－cos π 2 x 8．函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0< φ<π)的图象如图所示，已知图象经过点 A(0，1)， B(π 3 ，－1)，则 f(x)＝________． 解析：因为图象经过点 A(0，1)，B(π 3 ，－1)， A，B 两个点的纵坐标互为相反数，从点 A 到点 B 经过半个周期，所以 π 3 ＝ T 2＝ π ω，解得 ω＝3. 又因为图象经过点 A(0，1)，f(x)＝2sin(ωx＋φ)， 所以 1＝2sin φ，即 sin φ＝ 1 2， 所以由 0<φ<π及函数的图象可得 φ＝ π 6 ， 所以 f(x)＝2sin(3x＋ π 6 ). 答案：2sin(3x＋ π 6 ) 9．已知函数 f(x)＝2sin (2ωx＋ π 6 )(其中 0<ω<1)，若点 (－ π 6 ，0)是函数 f(x)图象的一个对称中 心． (1)试求 ω 的值，并求出函数的单调增区间； (2)先列表，再作出函数 f(x)在区间 x∈[－π，π]上的图象． 解：(1)因为点(－ π 6 ，0)是函数 f(x)图象的一个对称中心， 所以－ωπ 3 ＋ π 6 ＝kπ，k∈Z， 所以 ω＝－3k＋ 1 2，因为 0<ω<1， 所以当 k＝0 时，可得：ω＝ 1 2. 所以 f(x)＝2sin(x＋ π 6 )，令 2kπ－ π 2 0， ω>0，0<φ< π)． (1)求解析式； (2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－5 2，20＋52]之间为最佳营业时间，那么该行业在 6～ 14 时，最佳营业时间为多少小时． 解：(1)由图象知 A＝10， 1 2· 2π ω ＝14－6， 所以 ω＝ π 8 ， 所以 y＝10sin(πt 8 ＋φ)＋b.① ymax＝10＋b＝30，所以 b＝20. 当 t＝6 时，y＝10 代入①得 φ＝ 3π 4 ， 所以解析式为 y＝10sin(π 8 t＋3π 4 )＋20，t∈[6，14]． (2)由题意得， 20－5 2≤10sin(π 8 t＋3π 4 )＋20≤20＋5 2， 即－ 2 2 ≤sin(π 8 t＋3π 4 )≤ 2 2 ， 所以 kπ－ π 4 ≤ π 8 t＋ 3π 4 ≤kπ＋ π 4 ，k∈Z. 即 8k－8≤t≤8k－4， 因为 t∈[6，14]，所以 k＝2，即 8≤t≤12， 所以最佳营业时间为 12－8＝4 小时． 1．函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)的部分图象如图所示，其中 A，B 两点之间的距离为 5，则 f(x)的单调递增区间是(　　) A．[6k－1，6k＋2](k∈Z) B．[6k－4，6k－1](k∈Z) C．[3k－1，3k＋2](k∈Z) D．[3k－4，3k－1](k∈Z) 解析：选 B.|AB|＝5，|yA－yB|＝4，所以|xA－xB|＝3，即 T 2＝3， 所以 T＝ 2π ω ＝6，所以 ω＝ π 3 . 因为 f(x)＝2sin (π 3 x＋φ)的图象过点(2，－2)， 即 2sin(2π 3 ＋φ)＝－2， 所以 sin(2π 3 ＋φ)＝－1， 又因为 0≤φ≤π，所以 2π 3 ≤ 2π 3 ＋φ≤ 5π 3 ，所以 2π 3 ＋φ＝ 3π 2 ，解得 φ＝ 5π 6 ，所以 f(x)＝2sin (π 3 x＋5π 6 )，由 2kπ－ π 2 ≤ π 3 x＋ 5π 6 ≤2kπ＋ π 2 (k∈Z)，得 6k－4≤x≤6k－1(k∈Z)，故 f(x)的单 调递增区间为[6k－4，6k－1](k∈Z)．故选 B. 2．(2019·太原市模拟试题)已知函数 f(x)＝sin ωx－ 3cos ωx(ω>0)，若方程 f(x)＝－1 在(0，π) 上有且只有四个实数根，则实数 ω 的取值范围为(　　) A.(13 6 ， 7 2]　　　　　　 B.(7 2， 25 6 ] C.(25 6 ， 11 2 ] D.(11 2 ， 37 6 ] 解析：选 B.因为 f(x)＝2sin(ωx－ π 3 )，方程 2sin(ωx－ π 3 )＝－1 在(0，π)上有且只有四个实数根， 即 sin(ωx－ π 3 )＝－ 1 2在(0，π)上有且只有四个实数根．设 t＝ωx－ π 3 ，因为 00，0<φ<2π)图象上的一个 最高点，B，C 是 f(x)图象上相邻的两个对称中心，且△ABC 的面积为 1 2，若存在常数 M(M>0)， 使得 f(x＋M)＝Mf(－x)，则该函数的解析式是 f(x)＝________． 解析：由题意得|BC|＝ π ω(ω>0)，所以 S△ABC＝ 1 2× π ω×1＝ 1 2，解得 ω＝π，所以 f(x)＝sin(πx＋ φ)，所以 f(－x)＝sin(－πx＋φ)，f(x＋M)＝sin[π(x＋M)＋φ]．因为存在常数 M(M>0)，使得 f(x＋ M)＝Mf(－x)，又－1≤f(x＋M)≤1，－M≤Mf(－x)≤M，所以 M＝1，所以 sin[π(x＋1)＋φ]＝ sin(－πx＋φ)，即 sin(πx＋φ)＝sin(πx－φ)，因为 0<φ<2π，所以 φ＝π，所以 f(x)＝sin(πx＋ π)，所以 f(x)＝－sin πx 为所求的函数的解析式． 答案：－sin πx 5．(2019·湖北省八校联考)函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，| φ|< π 2 )在它的某一个周期内的单调递减 区间是[5π 12 ， 11π 12 ].将 y＝f(x)的图象先向左平移 π 4 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为 原来的 1 2(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为 g(x)． (1)求 g(x)的解析式； (2)求 g(x)在区间[0， π 4 ]上的最大值和最小值． 解：(1) T 2＝ 11 12π－ 5 12π＝ 1 2π，所以 T＝π，ω＝ 2π T ＝2，又 sin(2 × 5π 12 ＋φ)＝1， |φ|< π 2 ，所以 φ＝－ π 3 ， f(x)＝sin(2x－ π 3 )， 所以 g(x)＝sin(4x＋ π 6 ). (2)由正弦函数的性质可得，g(x)在[0， π 12]上为增函数，在[π 12， π 4 ]上为减函数， 所以 g(x)max＝g(π 12 )＝1. 又 g(0)＝ 1 2，g(π 4 )＝－ 1 2， 所以 g(x)min＝－ 1 2， 故函数 g(x)在区间[0， π 4 ]上的最大值和最小值分别为 1 和－ 1 2. 6．已知函数 f(x)＝ 3sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－ 1 2(ω>0)，其最小正周期为 π 2 . (1)求 f(x)的表达式； (2)将函数 f(x)的图象向右平移 π 8 个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到函数 y＝g(x)的图象，若关于 x 的方程 g(x)＋k＝0 在区间[0， π 2 ]上有且只 有一个实数解，求实数 k 的取值范围． 解：(1)f(x)＝ 3sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－ 1 2 ＝ 3 2 sin 2ωx＋ cos 2ωx＋1 2 － 1 2 ＝sin(2ωx＋ π 6 )， 又 f(x)的最小正周期 T＝ π 2 ， 所以 T＝ 2π 2ω＝ π ω＝ π 2 ， 所以 ω＝2，所以 f(x)＝sin(4x＋ π 6 ). (2)将 f(x)的图象向右平移 π 8 个单位长度后，得到 y＝sin (4x－ π 3 )的图象；再将所得图象上所有点 的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin (2x－ π 3 )的图象，所以 g(x)＝sin(2x－ π 3 )， 当 0≤x≤ π 2 时，－ π 3 ≤2x－ π 3 ≤ 2π 3 ， 易知当－ π 3 ≤2x－ π 3 ≤ π 2 ，即 0≤x≤ 5 12π时，g(x)单调递增，且 g(x)∈[－ 3 2 ，1]，当 π 2 <2x－ π 3 ≤ 2π 3 ，即 5 12π

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