2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第7讲对数式与对数函数课件
第
7
讲 对数式与对数函数
课标要求
考情风向标
1.
理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用
.
2.
通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点
.
3.
知道指数函数
y
＝
a
x
与对数函数
y
＝
log
a
x
互为反函数
(
a
＞
0,
a
≠
1)
本节复习，利用对数函数的图象掌握对数函数的性质，侧重把握对数函数与其他知识交汇问题的解决方法
.
重点解决：
(1)
对数式化简与求值；
(2)
对数函数的图象与性质及其应用
.
复习时也应注意分类讨论、数形结合、函数与方程思想的应用
.
要特别关注比较大小的方法与技巧
对数的
概念
如果
a
x
＝
N
(
a
＞
0
，且
a
≠
1)
，那么
x
叫做以
a
为底
N
的对数，记作
x
＝
log
a
N
，其中
a
叫做对数的底数，
N
叫做真数
对数
恒等式
1.
对数的概念
(
续表
)
对数函数
y
＝
log
a
x
(
a
>1)
y
＝
log
a
x
(0<
a
<1)
图象
定义域
(0
，＋
∞
)
____________
值域
R
____________
2.
对数函数的图象及性质
(0
，＋
∞
)
R
对数函数
y
＝
log
a
x
(
a
>1)
y
＝
log
a
x
(0<
a
<1)
单调性
在
(0
，＋∞
)
上单调递增
在
(0
，＋∞
)
上
__
_
______
定点
过定点
(1,0)
过定点
(1,0)
性质
当
x
∈(0,1)
时，
y
＜
0
；
当
x
∈(1
，＋∞
)
时，
y
＞
0
当
x
∈(0,1)
时，
y
＞
0
；
当
x
∈(1
，＋∞
)
时，
__
_
__
(
续表
)
单调递减
y
＜
0
y
＝
x
3.
指数函数
y
＝
a
x
与对数函数
y
＝
log
a
x
互为反函数，它们的
图象关于直线________对称.
1.lg 0.01
＋
log
2
16
＝
_____.
2.
下列函数中，其定义域和值域分别与函数
y
＝
10
lg
x
的定义
)
域和值域相同的是
(
A.
y
＝
x
B.
y
＝
lg
x
2
D
答案：
A
D
4.
设
a
＝
log
3
6
，
b
＝
log
5
10
，
c
＝
log
7
14
，则
(
)
A.
c
>
b
>
a
B.
b
>
c
>
a
C.
a
>
c
>
b
D.
a
>
b
>
c
解析：
a
＝
log
3
6
＝
log
3
(2
×
3)
＝
log
3
2
＋
1
；
b
＝
log
5
10
＝
log
5
(2
×
5)
＝
log
5
2
＋
1
；
c
＝
log
7
14
＝
log
7
(2
×
7)
＝
log
7
2
＋
1.
∵
1
log
5
2>log
7
2.
∴
a
>
b
>
c
.
故选
D.
考点
1
对数式的运算
考向
1
对数运算法则的应用
故选
A.
答案：
A
(2)
已知
b
＞
0
，
log
5
b
＝
a
，
lg
b
＝
c,
5
d
＝
10
，则下列等式一定
)
成立的是
(
A.
d
＝
ac
C.
c
＝
ad
B.
a
＝
cd
D.
d
＝
a
＋
c
答案：
B
考向
2
对数恒等式的应用
例
2
：
(1)
若
a
＝
log
4
3
，则
2
a
＋
2
－
a
＝
________.
答案：
A
答案：
4
2
考向
3
换底公式的应用
例
3
：
(1)
(2017
年新课标Ⅰ
)
设
x
，
y
，
z
为正数，且
2
x
＝
3
y
＝
5
z
，则
(
)
A.2
x
<3
y
<5
z
C.3
y
<5
z
<2
x
B.5
z
<2
x
<3
y
D.3
y
<2
x
<5
z
答案：
D
A.1
C.
－
1
B.2
D.
－
2
答案：
B
(3)
(2018
年新课标
Ⅲ)
设
a
＝
log
0.2
0.3
，
b
＝
log
2
0.3
，则
(
)
A.
a
＋
b
<
ab
<0
B.
ab
<
a
＋
b
<0
C.
a
＋
b
<0<
ab
D.
ab
<0<
a
＋
b
答案：
B
考点
2
对数函数的图象
例
4
：
(1)
已知
log
a
2
＜
log
b
2
，则不可能成立的是
(
)
A.
a
>
b
>1
B.
b
>1>
a
>0
C.0<
b
<
a
<1
D.
b
>
a
>1
解析：
令
y
1
＝
log
a
x
，
y
2
＝
log
b
x
，由于
log
a
2
＜
log
b
2
，它们的
函数图象可能有如下三种情况.由图 2-7-1(1)(2)(3)，分别得 0＜
a
＜1＜
b
，
a
＞
b
＞1,0＜
b
＜
a
＜1.
图
2-7-1
答案：
D
(2)
若点
(
a
，
b
)
在
y
＝
lg
x
图象上，
a
≠1
，则下列点也在此图
象上的是
(
)
解析：
由题意
b
＝
lg
a,
2
b
＝
2lg
a
＝
lg
a
2
，即
(
a
2
,2
b
)
也在函数
y
＝lg
x
图象上.
答案：
D
【规律方法】
本例
(1)
中两个对数的真数相同，底数不同，
利用单调性相同的对数函数图象在直线
x
＝
1
右侧
“底大图
低”
的特点比较大小
.
注意
log
a
2
＜
log
b
2
，要考虑两个对数的底
数分别在
1
的两侧、同在
1
的右侧及同在
0
和
1
之间三种情况
.
【
跟踪训练
】
1.
函数
f
(
x
)
＝
|log
2
x
|
的图象是
(
)
A
A
B
C
D
2.(2017
年青海西宁期末
)
函数
f
(
x
)
＝
log
a
(
x
＋
2)
＋
3(
a
>0
，且
a
≠1)
的图象恒过定点
__________.
(
－
1,3)
解析：
当
x
＋2＝1 时，
x
＝－1，
f
(－1)＝log
a
(－1＋2)＋3＝3，
∴函数
f
(
x
)＝log
a
(
x
＋2)＋3 的图象恒过定点(－1,3).
考点
3
对数函数的性质及其应用
例
5
：
(1)
(2017
年新课标
Ⅰ
)
已知函数
f
(
x
)
＝
ln
x
＋
ln(2
－
x
)
，
则
(
)
A.
f
(
x
)
在
(0,2)
单调递增
B.
f
(
x
)
在
(0,2)
单调递减
C.
y
＝
f
(
x
)
的图象关于直线
x
＝
1
对称
D.
y
＝
f
(
x
)
的图象关于点
(1,0)
对称
答案：
C
(2)
(2019
年新课标
Ⅰ)
已知
a
＝
log
2
0.2
，
b
＝
2
0.2
，
c
＝
0.2
0.3
，
则
(
)
A.
a
<
b
<
c
C.
c
<
a
<
b
B.
a
<
c
<
b
D.
b
<
c
<
a
解析：
a
＝
log
2
0.2<0
，
b
＝
2
0.2
>1,0<
c
＝
0.2
0.3
<1
，∴
a
<
c
<
b
.
答案：
B
分类
方法
底数相同，真数不同
可构造相应的对数函数，利用其单调性比
较大小
真数相同，底数不同
可转化为同底
(
利用换底公式
)
或借助函数
图象，利用单调性相同的对数函数图象在
直线
x
＝
1
右侧“底大图低”的特点比较
大小
底数、真数均不相同
经常借助中间值
“
0”
或
“
1”
比较大小
【
规律方法
】
比较两个对数的大小的基本方法：
【
跟踪训练
】
c
的大小关系为
(
)
A.
a
>
b
>
c
B.
b
>
a
>
c
C.
c
>
b
>
a
D.
c
>
a
>
b
D
解析：
由题意结合对数函数的性质可知：
据此可得：
c
>
a
>
b
.
故选
D.
4.
(2019
年山东济南模拟
)
若
f
(
x
)
＝
lg(
x
2
－
2
ax
＋
1
＋
a
)
在区间
)
(
－
∞
，
1]
上递减，则
a
的取值范围为
(
A.[1,2)
B.[1,2]
C.[1
，＋
∞
)
D.[2
，＋
∞
)
答案：
A
思想与方法
⊙
数形结合探讨对数函数的性质
解析：
正实数
m
，
n
满足
m
<
n
，且
f
(
m
)＝
f
(
n
)，
如图
272
，有
0<
m
<1
，
n
>1
，则
m
2
<
m
.
图
2-7-2
答案：
（
1
）
C（
2
）
B
【
跟踪训练
】
解析：
作出
y
＝
|log
a
x
|(0<
a
<1)
的大致图象如图
D7.
图
D7
1.
研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的
图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到
.
特别地，要注意底
数
a
＞
1
和
0
＜
a
＜
1
两种不同的情况
.
有些复杂的问题，借助于
函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要
体现
.
2.
比较两个对数的大小的基本方法
.
(1)
若底数相同，真数不同，可构造相应的对数函数，利用
其单调性比较大小
.
(2)
若真数相同，底数不同，则可借助函数图象，利用图象
在直线
x
＝
1
右侧“底大图低”的特点比较大小
.
(3)
若底数、真数均不相同，则经常借助中间值“
0”
或“
1”
比较大小
.
3.
多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与
直线
y
＝
1
交点的横坐标进行判定
.
4.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研
究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.如在运算性质
log
a
M
n
＝
n
log
a
M
中，要特别注意条件
M
＞
0
，在无
M
＞
0
的条件
下应为
log
a
M
n
＝
n
log
a
|
M
|(
n
∈
N
*
，且
n
为偶数
).
