高考数学理一轮复习配套讲义双曲线1

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高考数学理一轮复习配套讲义双曲线1

第6讲 双曲线 ‎[最新考纲]‎ ‎1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).‎ ‎2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用.‎ ‎3.理解数形结合的思想.‎ 知 识 梳 理 ‎1.双曲线的定义 平面内动点P与两个定点F1,F2(|F‎1F2|=‎2c>0)的距离之差的绝对值为常数‎2a(‎2a<‎2c),则点P的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.‎ ‎2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 -=1(a>0,b>0)‎ -=1(a>0,b>0)‎ 性  质 范 围 x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0)‎ A1(0,-a),A2(0,a)‎ 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=,e∈(1,+∞),其中c= 实虚轴 线段A‎1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A‎1A2|=‎2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,‎ 它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的半实轴长,b叫做双曲线的半虚轴长 a,b,c的关系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)‎ 辨 析 感 悟 ‎1.对双曲线定义的认识 ‎(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(×)‎ ‎(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(×)‎ ‎2.对双曲线的标准方程和几何性质的理解 ‎(3)方程-=1(mn<0)表示焦点在x轴上的双曲线.(×)‎ ‎(4)(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为y=±x.(×)‎ ‎(5)(2013·陕西卷改编)双曲线-=1的离心率为,则m等于9. (√)‎ ‎(6)若直线与双曲线交于一点,则直线与双曲线相切.(×)‎ ‎[感悟·提升]‎ ‎1.一点提醒 双曲线定义中的“差”必须是“绝对值的差”,常数必须小于|F‎1F2|且大于零,如(1)中应为双曲线的一支;如(2)中应为两条射线.‎ ‎2.二个防范 一是双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,而双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,应注意其区别与联系,如(4);‎ 二是直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时, 直线与双曲线仅有一个交点,如(6).‎ 考点一 双曲线的定义及应用 ‎【例1】 (1)若双曲线-=1上的一点P到它的右焦点的距离为8,则点P到它的左焦点的距离是 (  ).‎ ‎ A.4 B.‎12 ‎‎ C.4或12 D.6‎ ‎(2)已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,‎ 则△ PQF的周长为________.‎ 规律方法 (1)双曲线定义的集合语言:P={M|||MF1|-|MF2||=‎2a,0<‎2a<|F‎1F2‎ ‎|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键,切记对所求结果进行必要的检验.‎ ‎(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时,弄清点在双曲线的哪支上.‎ ‎【训练1】 (1)(2014·大连模拟)设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线左、右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|=‎ ‎(  ).‎ ‎ A.1 B.‎17 ‎‎ C.1或17 D.以上答案均不对 ‎ (2)已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右 支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为 (  ). ‎ ‎ A.5 B.5+‎4 ‎ C.7 D.9‎ 考点二 求双曲线的标准方程 ‎【例2】 (1)已知双曲线-=1(a>0,b>0)和椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为________.‎ ‎ (2)与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点M(2,-2)的双曲线方程为________.‎ 规律方法 求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值.如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可利用有公共渐近线的双曲线方程为-=λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可.‎ ‎【训练2】 根据下列条件,求双曲线的标准方程.‎ ‎(1)虚轴长为12,离心率为;‎ ‎(2)焦距为26,且经过点M(0,12).‎ ‎(3)经过两点P(-3,2)和Q(-6,-7).‎ 考点三 双曲线的几何性质 ‎【例3】 (1)(2013·湖南卷)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P,使PF1⊥PF2,且∠PF‎1F2=30°,则C的离心率为________.‎ ‎ (2)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F‎1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为(  ).‎ ‎ A.3x±4y=0 B.3x±5y=0‎ ‎ C.4x±3y=0 D.5x+4y=0‎ 规律方法 在双曲线的几何性质中,涉及较多的为离心率和渐近线方程.‎ ‎(1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法:一种是直接建立e的关系式求e或e的范围;另一种是建立a,b,c的齐次关系式,将b用a,e表示,令两边同除以a或a2化为e的关系式,进而求解.‎ ‎(2)求曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线的方法是令-=0,即得两渐近线方程 ‎±=0.‎ ‎【训练3】 (1)设点P在双曲线-=1(a,b>0)的右支上,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|=4|PF2|,则双曲线离心率的取值范围是________.‎ ‎ (2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,则该双曲线的离心率为________.‎ ‎ ‎ ‎1.双曲线的很多问题与椭圆有相似之处,在学习中要注意应用类比的方法,但一定要把握好它们的区别和联系.‎ ‎2.双曲线是具有渐近线的曲线,画双曲线草图时,一般先画出渐近线,要熟练掌握以下两个部分:‎ ‎(1)已知双曲线方程,求它的渐近线;‎ ‎(2)求已知渐近线的双曲线的方程.‎ 如果已知渐近线方程为ax±by=0时,可设双曲线方程为a2x2-b2y2=λ(λ≠0),再利用其他条件确定λ的值,求法的实质是待定系数法.‎ ‎3.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点,虚轴的两个端点),“四线”(两条对称轴、两近线),“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来研究它们之间的关系.  ‎ 教你审题8——运用双曲线的标准方程及其性质 ‎【典例】 如图,F1,F2分别是双曲线C:-=1(a,b>0)的左,右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B❶与 C的两条渐近线分别交于P,Q两点,❷线段PQ的垂直平分线❸与x轴交于点M.若|MF2|=|F‎1F2|,❹‎ 则C的离心率是 (  ).‎ A. B. C. D. ‎[审题] 一审:求出直线F1B的方程.‎ 二审:求出点P、Q的坐标及PQ中点坐标.‎ 三审:求出PQ的垂直平分线方程,令y=0得M点的坐标.‎ 四审:由|MF2|=|F‎1F2|建立关系式,求出离心率.‎ ‎ [反思感悟] 求解双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中a,c的关系.对于本例的求解,给出的条件较多,对基础知识的考查较为全面,如双曲线的焦点、虚轴、渐近线及垂直平分线等,但都为直接、连贯的条件,直接根据已知条件就可以求解本题.‎ ‎【自主体验】‎ ‎(2013·山东卷)抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2:-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p= (  ).‎ ‎ A. B. C. D. 基础巩固题组 一、选择题 ‎1.(2014·郑州二模)设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF‎1F2的面积等于(  ).‎ A.4 B.‎8 C.24 D.48‎ ‎2.(2013·湖北卷)已知0<θ<,则双曲线C1:-=1与C2:-=1的(  ).‎ A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 ‎3.(2014·日照二模)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于 ‎,则该双曲线的标准方程为(  ).‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎4.双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是(  ).‎ A.m> B.m≥‎1 C.m>1 D.m>2‎ ‎5.(2014·成都模拟)已知双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c(其中c为双曲线的半焦距长),则该双曲线的离心率为(  ).‎ A. B. C. D. 二、填空题 ‎6.(2014·青岛一模)已知双曲线x2-ky2=1的一个焦点是(,0),则其离心率为________.‎ ‎7.(2014·广州一模)已知双曲线-=1的右焦点为(,0),则该双曲线的渐近线方程为________.‎ ‎8.(2014·武汉诊断)已知双曲线-=1的一个焦点是(0,2),椭圆-=1的焦距等于4,则n=________.‎ 三、解答题 ‎9.已知椭圆D:+=1与圆M:x2+(y-5)2=9,双曲线G与椭圆D有相同焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程.‎ ‎10.中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F‎1F2|=2,椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4,离心率之比为3∶7.‎ ‎(1)求这两曲线方程;‎ ‎(2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.‎ 一、选择题 ‎1.(2014·焦作二模)直线y=x与双曲线C:-=1(a>0,b>0)左右两支分别交于M、N两点,F是双曲线C的右焦点,O是坐标原点,若|FO|=|MO|,则双曲线的离心率等于(  ).‎ A.+ B.+‎1 C.+1 D.2 ‎2.(2014·临沂联考)已知点F是双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是(  ).‎ 二、填空题 ‎3.如图,双曲线-=1(a,b>0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,‎ 两焦点为F1,F2.若以A‎1A2为直径的圆内切于菱形F1B‎1F2B2,切点分别为A,B,C,D.则 ‎(1)双曲线的离心率e=________;‎ ‎(2)菱形F1B‎1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=________.‎ 三、解答题 ‎4.(2014·湛江二模)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).‎ ‎(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;‎ ‎(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为-,求双曲线的离心率.‎
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