2020届高考数学一轮复习单元检测（文·新人教A版）四三角函数提升卷

2020届高考数学一轮复习单元检测（文·新人教A版）四三角函数提升卷

单元检测四　三角函数、解三角形(提升卷)‎ 考生注意：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．‎ ‎2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．‎ ‎3．本次考试时间100分钟，满分130分．‎ ‎4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．下列命题中正确的是(　　)‎ A．终边在x轴正半轴上的角是零角 B．三角形的内角必是第一、二象限内的角 C．不相等的角的终边一定不相同 D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则角α与β的终边相同 答案　D 解析　对于A，因为终边在x轴正半轴上的角可以表示为α＝2kπ(k∈Z)，A错误；对于B，直角也可为三角形的内角，但不在第一、二象限内，B错误；对于C，例如30°≠－330°，但其终边相同，C错误，故选D.‎ ‎2．若角α的终边经过点P，则cosα·tanα的值是(　　)‎ A．－B.C．－D. 答案　A 解析　因为角α的终边经过点P，‎ 所以cosα＝，tanα＝－，所以cosα·tanα＝×＝－，故选A.‎ ‎3．(2019·四川成都龙泉驿区第一中学模拟)已知sin＝，则sin等于(　　)‎ A.B．－C．±D．－ 答案　B 解析　∵sin＝cos ‎＝cos＝，‎ ‎∴sin＝cos ‎＝cos＝2cos2－1‎ ‎＝2×－1＝－.‎ ‎4．(2018·南充模拟)设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，若f(2017)＝－1，则f(2020)等于(　　)‎ A．1B．2C．0D．－1‎ 答案　A 解析　由题知，f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，若f(2017)＝asin(2017π＋α)＋bcos(2017π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－1，则asinα＋bcosβ＝1，所以f(2020)＝asin(2020π＋α)＋bcos(2020π＋β)＝asinα＋bcosβ＝1，故选A.‎ ‎5．函数y＝cos2－sin2的最小正周期为(　　)‎ A.B.C．πD．2π 答案　C 解析　函数y＝cos2－sin2 ‎＝cos＝－sin2x，‎ 所以函数的最小正周期是T＝＝π，故选C.‎ ‎6．设a＝tan35°，b＝cos55°，c＝sin23°，则(　　)‎ A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b 答案　A 解析　由题可知b＝cos55°＝sin35°，因为sin35°>sin23°，所以b>c，利用三角函数线比较tan35°和sin35°，易知tan35°>sin35°，所以a>b.综上，a>b>c，故选A.‎ ‎7．若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)是偶函数，则θ的最小正实数值是(　　)‎ A.B.C.D. 答案　B 解析　f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2·sin.因为f(x)为偶函数，所以当x＝0时，2x＋θ＋＝θ＋＝kπ＋(k∈Z)，解得θ＝kπ＋(k∈Z)．当k＝0时，θ取得最小正实数值，故选B.‎ ‎8．若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)等于(　　)‎ A.sin B.sin C.sin D.sin 答案　C 解析　由题图知，函数f(x)的最小正周期T＝2＝8π，A＝，所以ω＝＝，‎ f(x)＝sin，由点在函数f(x)的图象上，可知sin＝0，又0<|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝sin.‎ ‎9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2bsinB＝(2a＋c)sinA＋(2c＋a)sinC．则角B的大小为(　　)‎ A.B.C.D. 答案　C 解析　由正弦定理得2b2＝(2a＋c)a＋(2c＋a)c，化简得a2＋c2－b2＋ac＝0，所以cosB＝＝＝－，又B∈(0，π)，解得B＝，故选C.‎ ‎10．已知函数f(x)＝sin2x－2cos2x，将f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x1)·g(x2)＝－4，则|x1－x2|的值可能为(　　)‎ A.B.C.D．π 答案　C 解析　由题意得f(x)＝sin2x－cos2x－1‎ ‎＝2sin－1，则g(x)＝2sin，故函数g(x)的最小正周期T＝＝.由g(x1)·g(x2)＝－4，知g(x1)与g(x2)的值一个为2，另一个为－2，故|x1－x2|＝＝(k∈Z)．当k＝1时，|x1－x2|＝，故选C.‎ ‎11．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，c2sinAcosA＋a2sinCcosC＝4sinB，cosB＝，已知D是AC上一点，且S△BCD＝，则等于(　　)‎ A.B.C.D. 答案　A 解析　设＝＝＝k，则由c2sinA·cosA＋a2sinCcosC＝4sinB，得k2sinAsinC(sinC·cosA＋sinAcosC)＝4sinB，即k2sinAsinCsin(C＋A)＝4sinB，所以k2sinAsinC＝4，即ac＝4.又cosB＝，所以sinB＝，所以S△ABC＝acsinB＝，所以＝＝1－＝，故选A.‎ ‎12．已知f(x)＝2sinωxcos2－sin2ωx(ω>0)在区间上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　f(x)＝sinωx(1＋sinωx)－sin2ωx＝sinωx，所以是含原点的单调递增区间，因为函数f(x)在区间上是增函数，所以⊆，所以解得ω≤.又ω>0，所以0<ω≤.因为函数f(x)在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，所以≤π<，解得≤ω<.综上ω的取值范围为，故选B.‎ 第Ⅱ卷(非选择题　共70分)‎ 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知锐角α满足cos＝cos2α，则sinαcosα＝________.‎ 答案　 解析　由cos＝cos2α，得(cosα＋sinα)＝cos2α－sin2α，因为cosα＋sinα≠0，所以可化简得cosα－sinα＝，即(cosα－sinα)2＝1－2cosαsinα＝，解得sinα·cosα＝.‎ ‎14．工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式．高一某班级想用布料制作一面如图所示的扇面，参加元旦晚会．已知此扇面的中心角为，外圆半径为60cm，内圆半径为30cm，则制作这样一面扇面需要的布料为________cm2.‎ 答案　450π 解析　由扇形的面积公式，知制作这样一面扇面需要的布料为××60×60－××30×30＝450π(cm2)．‎ ‎15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝，△ABC的面积为，且tanA＋tanB＝(tanAtanB－1)，则a＋b＝________.‎ 答案　 解析　由tanA＋tanB＝(tanAtanB－1)，‎ 得tan(A＋B)＝＝－，又A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＝，所以C＝.由S△ABC＝absinC＝，得ab＝6.又cosC＝＝＝，解得a＋b＝.‎ ‎16．函数y＝sin(πx＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB＝θ，则sin2θ＝________.‎ 答案　 解析　由题意知函数y＝sin(πx＋φ)的最小正周期为T＝＝2，过点P作PQ垂直x轴于点Q(图略)，‎ 则tan∠APQ＝＝，tan∠BPQ＝＝，‎ tanθ＝tan(∠APQ＋∠BPQ)＝8，‎ 故sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝.‎ 三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(12分)已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<.‎ ‎(1)求tan2α的值；‎ ‎(2)求β.‎ 解　(1)由cosα＝，0<α<，得sin α＝＝＝，‎ ‎∴tan α＝＝×＝4，‎ ‎∴tan 2α＝＝＝－.‎ ‎(2)由0<β<α<，得0<α－β<，‎ 又cos(α－β)＝，‎ ‎∴sin(α－β)＝＝＝.‎ 由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]‎ ‎＝cosαcos(α－β)＋sin αsin(α－β)‎ ‎＝×＋×＝，∴β＝.‎ ‎18．(12分)已知函数f(x)＝sin＋sin2x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若对任意x∈R，有g(x)＝f，求函数g(x)在上的值域．‎ 解　(1)f(x)＝sin＋sin2x ‎＝＋sin2x ‎＝sin 2x＋cos 2x＋sin2x ‎＝sin 2x＋cos2x－＋sin2x ‎＝sin 2x＋1－＝sin 2x＋，‎ 故函数f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋.‎ ‎∵对任意x∈R，有g(x)＝f，‎ ‎∴g(x)＝sin 2＋＝sin＋，‎ 当x∈时，2x＋∈，‎ 则－≤sin≤1，‎ ‎∴－×＋≤g(x)≤＋，即≤g(x)≤1.‎ 故函数g(x)在上的值域为.‎ ‎19．(13分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2A－cos2B＝2coscos.‎ ‎(1)求角B的值；‎ ‎(2)若b＝，且b≤a，求a－的取值范围．‎ 解　(1)由cos 2A－cos 2B＝2coscos，得2sin2B－2sin2A＝2，‎ 则sin B＝，‎ 所以B＝或.‎ ‎(2)因为b≤a，所以B＝，‎ 由正弦定理＝＝＝＝2，‎ 得a＝2sin A，c＝2sin C.‎ 所以a－＝2sin A－sin C＝2sin A－sin ‎＝sin A－cosA＝sin.‎ 又b≤a，所以≤A<，则≤A－<，‎ 所以≤sin<，‎ 所以a－∈.‎ ‎20．(13分)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2＋b2＝6abcosC，且sin2C＝2sinAsinB.‎ ‎(1)求角C的值；‎ ‎(2)设函数f(x)＝sin＋cosωx(ω>0)，且f(x)的图象上两相邻的最高点之间的距离为π，求f(A)的取值范围．‎ 解　(1)因为a2＋b2＝6abcos C，‎ 由余弦定理知a2＋b2＝c2＋2abcos C，‎ 所以cosC＝.‎ 又sin2C＝2sin AsinB，由正弦定理得c2＝2ab，‎ 所以cosC＝＝＝，‎ 又C∈(0，π)，所以C＝.‎ ‎(2)f(x)＝sin＋cosωx＝sin，‎ 则最小正周期T＝＝π，解得ω＝2，‎ 所以f(x)＝sin.‎ 因为C＝，B＝－A，‎ 则解得

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