【数学】2020届一轮复习（理）通用版选修4-5-2不等式的证明作业

【数学】2020届一轮复习（理）通用版选修4-5-2不等式的证明作业

课时跟踪检测（七十九） 不等式的证明 ‎1.(2017·全国卷Ⅱ)已知a＞0，b＞0，a3＋b3＝2.证明：‎ ‎(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；‎ ‎(2)a＋b≤2.‎ 证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6‎ ‎＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)‎ ‎＝4＋ab(a2－b2)2≥4.‎ ‎(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3‎ ‎＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b)‎ ‎＝2＋，‎ 所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.‎ ‎2.设a，b为正实数，且＋＝2.‎ ‎(1)求a2＋b2的最小值；‎ ‎(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值.‎ 解：(1)由2＝＋≥2 ，得ab≥，‎ 当a＝b＝时取等号.‎ 故a2＋b2≥2ab≥1，当a＝b＝时取等号.‎ 所以a2＋b2的最小值是1.‎ ‎(2)由(a－b)2≥4(ab)3，得2≥4ab，‎ 即2－≥4ab，从而ab＋≤2.‎ 又ab＋≥2，当且仅当ab＝1时取等号.‎ 所以ab＝1.‎ ‎3.已知函数f(x)＝k－|x－3|，k∈R，且f(x＋3)≥0的解集为[－1,1].‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)若a，b，c是正实数，且＋＋＝1，求证：a＋2b＋3c≥9.‎ 解：(1)因为f(x)＝k－|x－3|，‎ 所以f(x＋3)≥0等价于|x|≤k，‎ 由|x|≤k有解，得k≥0，且解集为[－k，k].‎ 因为f(x＋3)≥0的解集为[－1,1]，所以k＝1.‎ ‎(2)证明：由(1)知＋＋＝1，‎ 因为a，b，c是正实数，‎ 所以a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c) ‎＝3＋＋＋＋＋＋ ‎＝3＋＋＋ ‎≥3＋2 ＋2 ＋2 ＝9.‎ 当且仅当a＝2b＝3c时，等号成立.‎ 因此a＋2b＋3c≥9.‎ ‎4.(2019·南宁联考)已知函数f(x)＝|x－1|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥3－2|x|的解集；‎ ‎(2)若函数g(x)＝f(x)＋|x＋3|的最小值为m，正数a，b满足a＋b＝m，求证：＋≥4.‎ 解：(1)当x≥1时，原不等式可化为x－1≥3－2x，解得x≥，∴x≥；‎ 当0＜x＜1时，原不等式可化为1－x≥3－2x，解得x≥2，无解；‎ 当x≤0时，原不等式可化为1－x≥3＋2x，解得x≤－，∴x≤－.‎ ‎∴原不等式的解集为.‎ ‎(2)证明：∵g(x)＝|x－1|＋|x＋3|≥|(x－1)－(x＋3)|＝4，∴m＝4，即a＋b＝4.‎ 又＋b≥2a，＋a≥2b，当且仅当a＝b时等号成立，‎ ‎∴两式相加得＋≥2a＋2b，‎ ‎∴＋≥a＋b＝4，‎ 当且仅当a＝b＝2时等号成立.‎ ‎5.(2019·长春质量检测)(1)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|(a＞0)，若不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤－2或x≥3}，求a的值；‎ ‎(2)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥.‎ 解：(1)因为a＞0，‎ 所以f(x)＝|x＋1|＋|x－a|＝ 又不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤－2或x≥3}，‎ 解得a＝2.‎ ‎(2)证明：＋＋ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎≥.‎ ‎6.设函数f(x)＝|x－2|＋2x－3，记f(x)≤－1的解集为M.‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)当x∈M时，求证：x[f(x)]2－x2f(x)≤0.‎ 解：(1)由已知，得f(x)＝ 当x≤2时，由f(x)＝x－1≤－1，‎ 解得x≤0，此时x≤0；‎ 当x＞2时，由f(x)＝3x－5≤－1，‎ 解得x≤，显然不成立.‎ 故f(x)≤－1的解集为M＝{x|x≤0}.‎ ‎(2)证明：当x∈M时，f(x)＝x－1，‎ 于是x[f(x)]2－x2f(x)＝x(x－1)2－x2(x－1)＝－x2＋x＝－2＋.‎ 令g(x)＝－2＋，‎ 则函数g(x)在(－∞，0]上是增函数，∴g(x)≤g(0)＝0.‎ 故x[f(x)]2－x2f(x)≤0.‎ ‎7.已知函数f(x)＝|x－1|.‎ ‎(1)解不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8；‎ ‎(2)若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：＞f.‎ 解：(1)f(2x)＋f(x＋4)＝|2x－1|＋|x＋3|‎ ‎＝ 当x＜－3时，由－3x－2≥8，解得x≤－；‎ 当－3≤x＜时，－x＋4≥8，无解；‎ 当x≥时，由3x＋2≥8，解得x≥2.‎ 所以不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的解集为 .‎ ‎(2)证明：＞f等价于f(ab)＞|a|f，‎ 即|ab－1|＞|a－b|.‎ 因为|a|＜1，|b|＜1，‎ 所以|ab－1|2－|a－b|2‎ ‎＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)‎ ‎＝(a2－1)(b2－1)＞0，‎ 所以|ab－1|＞|a－b|.‎ 故所证不等式成立.‎ ‎8.设函数f(x)＝x－|x＋2|－|x－3|－m，若∀x∈R，－4≥f(x)恒成立.‎ ‎(1)求实数m的取值范围；‎ ‎(2)求证：log(m＋1)(m＋2)＞log(m＋2)(m＋3).‎ 解：(1)∵∀x∈R，－4≥f(x)恒成立，‎ ‎∴m＋≥x－|x＋2|－|x－3|＋4恒成立.‎ 令g(x)＝x－|x＋2|－|x－3|＋4＝ 则函数g(x)在(－∞，3]上是增函数，‎ 在(3，＋∞)上是减函数，‎ ‎∴g(x)max＝g(3)＝2，∴m＋≥g(x)max＝2，‎ 即m＋－2≥0⇒＝≥0，∴m＞0.‎ 综上，实数m的取值范围是(0，＋∞).‎ ‎(2)证明：由m＞0，知m＋3＞m＋2＞m＋1＞1，‎ 即lg(m＋3)＞lg(m＋2)＞lg(m＋1)＞lg 1＝0.‎ ‎∴要证log(m＋1)(m＋2)＞log(m＋2)(m＋3).‎ 只需证＞，‎ 即证lg(m＋1)·lg(m＋3)＜lg2(m＋2).‎ 又lg(m＋1)·lg(m＋3)＜2‎ ‎＝＜＝lg2(m＋2)，‎ ‎∴log(m＋1)(m＋2)＞log(m＋2)(m＋3)成立.‎