陕西省超级全能生高考数学二模试卷理科

陕西省超级全能生高考数学二模试卷理科

‎2019年陕西省“超级全能生”高考数学二模试卷（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）已知集合M＝{x|﹣2＜x＜2}，N＝{x|log2x＞0}，则M∩N为（　　）‎ A．（﹣2，2） B．（1，+∞） C．（1，2） D．（﹣2，+∞）‎ ‎2．（5分）已知复数z满足，则|z|＝（　　）‎ A．3 B． C．4 D．‎ ‎3．（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）已知命题p：对∀x＞0，总有x＜sinx；命题q：直线l1：ax+2y+1＝0，l2：x+（a﹣1）y﹣1＝0若l1∥l2，则a＝2或a＝﹣1；则下列命题中是真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．（￢p）∧（￢q） C．（￢p）∨q D．p∨q ‎5．（5分）陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教圣地，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言．景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、谁、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（　　）‎ A．k≥5 B．k＜5 C．k＞5 D．k≤6‎ ‎7．（5分）已知点（2，8）在幂函数f（x）＝xn图象上，设，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a ‎8．（5分）要得到函数的图象，只需将函数y＝sinx的图象经过下列两次变换而得到的（　　）‎ A．先将y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的一半，再将所得图象向左平移个单位 ‎ B．先将y＝sinx的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位 ‎ C．先将y＝sinx的图象向左平移个单位，再将所得图上各点的横坐标缩短为原来的一半 ‎ D．先将y＝sinx的图象向左平移个单位，再将所得图上各点的横坐标伸长为原来的2倍 ‎9．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎10．（5分）已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点且与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B．4 C．3 D．2‎ ‎11．（5分）一布袋中装有n个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由甲先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（　　）‎ A．若n＝9，则甲有必赢的策略 ‎ B．若n＝11，则乙有必赢的策略 ‎ C．若n＝6，则乙有必赢的策略 ‎ D．若n＝4，则甲有必赢的策略 ‎12．（5分）已知函数，又函数g（x）＝f2（x）+tf（x）+1（t∈R）有4个不同的零点，则实数t的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣） B． ‎ C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）‎ ‎13．（5分）若，则S1，S2，S3的大小关系为　 　．‎ ‎14．（5分）公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a2a12＝16，则log2a15‎ ‎＝　 　．‎ ‎15．（5分）圆x2+y2＝1的任意一条切线与圆x2+y2＝4相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为坐标原点，则x1x2+y1y2＝　 　．‎ ‎16．（5分）在实数集R中定义一种运算“*”，具有性质：‎ ‎（1）对任意a，b∈R，a*b＝b*a；‎ ‎（2）对任意a，a*0＝0；‎ ‎（3）对任意a，b∈R，（a*b）*c＝c（ab）+（a*c）+（b*c）﹣5c．‎ 则函数的最小值为　 　．‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.‎ ‎17．（12分）某市规划一个平面示意图为如下图五边形ABCDE的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE为赛道（不考虑宽度），BE为赛道内的一条服务通道，∠BCD＝∠CDE＝∠BAE＝，DE＝4km，BC＝CD＝km．‎ ‎（1）求服务通道BE的长度；‎ ‎（3）应如何设计，才能使折线段赛道BAE最长？‎ ‎18．（12分）某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续6个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示 ‎（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y（单位：百万元）与月代码x之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；‎ ‎（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A，B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同，现对A，B两种新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的聘书统计如下表：‎ 寿命类型 ‎1个月 ‎2个月 ‎3个月 ‎4个月 总计 A ‎20‎ ‎35‎ ‎35‎ ‎10‎ ‎100‎ B ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎100‎ 经甲公司测算平均每包新型材料每月可以带来5万元收入，不考虑除采购成本之外的其他成本，A材料每包的成本为10万元，B材料每包的成本为12万元．假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？‎ 参考数据：．‎ 参考公式：回归直线方程为．‎ ‎19．（12分）如图所示，等腰梯形ABCD的底角∠BAD＝∠ADC＝60°，直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，且∠EDA＝90°，ED＝AD＝2AF＝2AB＝2．‎ ‎（1）证明：平面ABE⊥平面EBD；‎ ‎（2）点M在线段EF上，试确定点M的位置，使平面MAB与平面ECD所成角的锐二面角的余弦值为．‎ ‎20．（12分）已知F1，F2为椭圆的左右焦点，点P（2，3）为其上一点，且|PF1|+|PF2|＝8．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若直线l：y＝kx﹣4交椭圆C于A，B两点，且原点O在以线段AB为直径的圆的外部，试求k的取值范围．‎ ‎21．（12分）函数f（x）＝ln（x+t）+，其中t、a为实常数．‎ ‎（1）若t＝0时，讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）t＝0时，不等式f（x）≥1在x∈（0，1]上恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若g（x）＝ex+，当t≤2时，证明：g（x）＞f（x）．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-：4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：x2+y2﹣x＝0，C2：x2+y2﹣2y＝0．‎ ‎（1）以过原点的直线的倾斜角θ为参数，写出曲线C2的参数方程；‎ ‎（2）直线l过原点，且与曲线C1，C2分别交于A，B两点（A，B不是原点），求|AB|的最大值．‎ ‎[选修4-：5：不等式选讲]‎ ‎23．已知对任意实数x，都有|x+2|+|x﹣4|﹣m≥0恒成立．‎ ‎（1）求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若m的最大值为n，当正实数a，b满足时，求4a+7b的最小值．‎ ‎2019年陕西省“超级全能生”高考数学二模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）已知集合M＝{x|﹣2＜x＜2}，N＝{x|log2x＞0}，则M∩N为（　　）‎ A．（﹣2，2） B．（1，+∞） C．（1，2） D．（﹣2，+∞）‎ ‎【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．‎ ‎【分析】分别求出集合M，N，由此能求出M∩N．‎ ‎【解答】解：∵集合M＝{x|﹣2＜x＜2}，‎ N＝{x|log2x＞0}＝{x|x＞1}，‎ ‎∴M∩N＝{x|1＜x＜2}＝（1，2）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2．（5分）已知复数z满足，则|z|＝（　　）‎ A．3 B． C．4 D．‎ ‎【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；35：转化思想；4G：演绎法；5N：数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】由题意结合复数模的运算法则计算z的模即可．‎ ‎【解答】解：由复数模的运算法则可得：．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查复数的模的求解等知识，属于基础题．‎ ‎3．（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．‎ ‎【分析】作出可行域，表示可行域内的点到原点距离，数形结合可得．‎ ‎【解答】解：作出实数x，y满足约束条件，所对应的可行域，‎ 而目标函数表示可行域内的点A到原点距离的平方，‎ 由：，解得A（1，3）‎ 数形结合可得最大值为：＝，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．‎ ‎4．（5分）已知命题p：对∀x＞0，总有x＜sinx；命题q：直线l1：ax+2y+1＝0，l2：x+（a﹣1）y﹣1＝0若l1∥l2，则a＝2或a＝﹣1；则下列命题中是真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．（￢p）∧（￢q） C．（￢p）∨q D．p∨q ‎【考点】2E：复合命题及其真假．菁优网版权所有 ‎【专题】35：转化思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．‎ ‎【分析】根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．‎ ‎【解答】解：设f（x）＝sinx﹣x，则f′（x）＝cosx﹣1≤0，则函数f（x）在x≥0上为减函数，‎ 则当x＞0时，f（x）＜f（0）＝0，即此时sinx＜x恒成立，即命题p是真命题，‎ 若a＝0，则两直线方程为l1：2y+1＝0，l2：x﹣y﹣1＝0，此时两直线不平行，不满足条件．‎ 若a≠0，若两直线平行，则满足，‎ 由得a（a﹣1）＝2，即a2﹣a﹣2＝0得a＝2或a＝﹣1，‎ 由≠﹣1得a≠﹣1，‎ 则a＝2，即命题q是假命题，‎ 则p∨q是真命题，其余为假命题，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查复合命题真假的判断，根据条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键．‎ ‎5．（5分）陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教圣地，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言．景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、谁、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．‎ ‎【分析】基本事件总数n＝C＝10，取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数m＝＝5，由此能求出取出的两种物质恰好是相克关系的概率．‎ ‎【解答】解：现从五种不同属性的物质中任取两种，‎ 基本事件总数n＝C＝10，‎ 取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数m＝＝5，‎ 则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为p＝＝．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎6．（5分）如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（　　）‎ A．k≥5 B．k＜5 C．k＞5 D．k≤6‎ ‎【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 ‎【专题】5K：算法和程序框图．‎ ‎【分析】根据算法的功能确定循环的次数是5，确定跳出循环体的n值为12，k值为6，由此可得判断框内应填的条件．‎ ‎【解答】解：∵算法的功能是计算值，共循环5次，‎ ‎∴跳出循环体的n值为12，k值为6，‎ ‎∴判断框内应填的条件是k＞5或k≥6．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定循环的次数，从而求得跳出循环体的k值是关键．‎ ‎7．（5分）已知点（2，8）在幂函数f（x）＝xn图象上，设，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a ‎【考点】4X：幂函数的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．‎ ‎【分析】推导出f（x）＝x3，从而＜a＝[（）0.3]3＝（）0.9＜（）0＝1，＞b＝[（）0.2]3＝（）0.6＞（）0＝1，c＝（）3＜（log1）3＝0，由此能判断a，b，c的大小关系．‎ ‎【解答】解：点（2，8）在幂函数f（x）＝xn图象上，‎ ‎∴f（2）＝2n＝8，解得n＝3，∴f（x）＝x3，‎ 设，‎ ‎∴＜a＝[（）0.3]3＝（）0.9＜（）0＝1，‎ ‎＞b＝[（）0.2]3＝（）0.6＞（）0＝1，‎ c＝（）3＜（log1）3＝0，‎ ‎∴a，b，c的大小关系是b＞a＞c．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查幂函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎8．（5分）要得到函数的图象，只需将函数y＝sinx的图象经过下列两次变换而得到的（　　）‎ A．先将y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的一半，再将所得图象向左平移个单位 ‎ B．先将y＝sinx的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位 ‎ C．先将y＝sinx的图象向左平移个单位，再将所得图上各点的横坐标缩短为原来的一半 ‎ D．先将y＝sinx的图象向左平移个单位，再将所得图上各点的横坐标伸长为原来的2倍 ‎【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 ‎【专题】38：对应思想；4O：定义法；57：三角函数的图象与性质．‎ ‎【分析】根据三角函数的图象变换关系进行判断即可．‎ ‎【解答】解：要得到函数的图象，只需将函数y＝sinx的图象向左平移个单位，‎ 得到y＝sin（x+），再将所得图上各点的横坐标缩短为原来的一半，得到y＝sin（2x+），‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．‎ ‎9．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的最长棱长．‎ ‎【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：‎ 可知PA⊥底面ABC，三角形ABC是等腰三角形，AB⊥BC，‎ 可知PC是最长的棱长：＝2．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．‎ ‎10．（5分）已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点且与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B．4 C．3 D．2‎ ‎【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】求出抛物线y2＝4x的准线方程，可得双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，求出x＝﹣1时，y的值，利用△AOB的面积为，求出a，即可求双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，‎ ‎∴双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为（﹣1，0）‎ x＝﹣1时，代入双曲线方程，由b2＝1﹣a2，可得y＝，‎ ‎∵△AOB的面积为，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴a＝，‎ ‎∴e＝＝2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】‎ 本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查三角形面积的计算，正确运用抛物线、双曲线的几何性质是关键．‎ ‎11．（5分）一布袋中装有n个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由甲先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（　　）‎ A．若n＝9，则甲有必赢的策略 ‎ B．若n＝11，则乙有必赢的策略 ‎ C．若n＝6，则乙有必赢的策略 ‎ D．若n＝4，则甲有必赢的策略 ‎【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有 ‎【专题】12：应用题；5L：简易逻辑．‎ ‎【分析】甲若想必胜，则必须最后取球时还剩1﹣﹣3个球，通过简单的合情推理可以得解．‎ ‎【解答】解：若n＝9，则甲有必赢的策略，‎ 必赢策略如下：‎ 第一步：甲先抓1球，‎ 第二步：①当乙抓1球时，甲再抓3球时；‎ ‎②当乙抓2球时，甲再抓2球时；‎ ‎③当乙抓3球时，甲再抓1球时；‎ 第三步：这时还有4个球，轮到乙抓，按规定乙最少抓一个球，最多抓三个球，‎ 则布袋中都会剩余1﹣﹣3个球，‎ 第四步：甲再抓走剩下所有的球，从而甲胜．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了实际操作的能力及进行简单的合情推理，属简单题．‎ ‎12．（5分）已知函数，又函数g（x）＝f2（x）+tf（x）+1（t∈R）有4个不同的零点，则实数t的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣） B． ‎ C． D．‎ ‎【考点】57：函数与方程的综合运用．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．‎ ‎【分析】由函数的零点与函数图象的交点问题得：g（x）＝f2（x）+tf（x）+1（t∈R）有4个不同的零点等价于t＝f（x）的图象与直线m＝m1，m＝m2的交点有4个，‎ 结合利用导数研究函数的图象可作出函数t＝f（x）的图象与直线m＝m1，m＝m2的位置，‎ 由二次方程区间根问题得：h（）＜0，解得：t＜，得解 ‎【解答】解：由已知有f（x）＝（x≥0），‎ f′（x）＝，‎ 易得0≤x＜1时，f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＜0，‎ 即f（x）在[0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，‎ 设m＝f（x），则h（m）＝m2+tm+1，‎ 设h（m）＝m2+tm+1的零点为m1，m2‎ 则g（x）＝f2（x）+tf（x）+1（t∈R）有4个不同的零点 等价于t＝f（x）的图象与直线m＝m1，m＝m2的交点有4个，‎ 函数t＝f（x）的图象与直线m＝m1，m＝m2的位置关系如图所示，‎ 由图知：0，‎ 即h（）＜0，解得：t＜，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了函数的零点与函数图象的交点问题、利用导数研究函数的图象及二次方程区间根问题，属中档题 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）‎ ‎13．（5分）若，则S1，S2，S3的大小关系为　S2＜S1＜S3　．‎ ‎【考点】67：定积分、微积分基本定理．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；21：阅读型；35：转化思想；48：分析法；52：导数的概念及应用．‎ ‎【分析】运用微积分基本定理可解决此问题．‎ ‎【解答】解：S1＝×（23﹣13）＝，‎ S2＝ln2﹣ln1＝ln2，‎ S3＝e2﹣e，‎ 其中0＜S2＜1，2＜S1＜3，S3＞3，‎ 故答案为S2＜S1＜S3‎ ‎【点评】本题考查定积分的简单应用．‎ ‎14．（5分）公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a2a12＝16，则log2a15＝　6　．‎ ‎【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有 ‎【专题】35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】等比中项结合对数的运算性质可得结果．‎ ‎【解答】解：∵a2a12＝a72＝16，∴a7＝4，‎ ‎∴log2a15＝log2a7q8＝log24×（）8＝6．‎ 故答案为：6．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的性质及对数的运算性质，属基础题．‎ ‎15．（5分）圆x2+y2＝1的任意一条切线与圆x2+y2＝4相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为坐标原点，则x1x2+y1y2＝　﹣2　．‎ ‎【考点】JF：圆方程的综合应用．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆．‎ ‎【分析】根据题意，设AB与圆x2+y2＝1相切于点P，由两个圆的方程分析可得|OP|＝1，|OA|＝|OB|＝2，又由OP⊥AB，分析可得∠AOB＝120°；结合数量积的计算公式可得 ‎•＝x1x2+y1y2＝|OA||OB|cos120°＝﹣2，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，设AB与圆x2+y2＝1相切于点P，‎ 分析可得|OP|＝1，|OA|＝|OB|＝2，‎ 又由OP⊥AB，则∠BOP＝60°，‎ 则∠AOB＝120°，‎ 又由A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则•＝x1x2+y1y2＝|OA||OB|cos120°＝﹣2，‎ 则x1x2+y1y2＝﹣2；‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆相交的性质，涉及圆与圆的位置关系以及数量积的计算公式，属于基础题．‎ ‎16．（5分）在实数集R中定义一种运算“*”，具有性质：‎ ‎（1）对任意a，b∈R，a*b＝b*a；‎ ‎（2）对任意a，a*0＝0；‎ ‎（3）对任意a，b∈R，（a*b）*c＝c（ab）+（a*c）+（b*c）﹣5c．‎ 则函数的最小值为　﹣3　．‎ ‎【考点】3H：函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据题目给出的新定义，写出函数的解析式f（x）＝x+﹣5，然后运用基本不等式求最值．‎ ‎【解答】解：根据定义的运算性质得：f（x）＝x*＝（x*）*1‎ ‎＝1×（x•）+（x*1）+（*1）﹣5×1＝1+1*x+1*＝x+﹣5，‎ 因为x＞0，由均值不等式得f（x）＝x+﹣5≥2﹣5＝2﹣5＝﹣3（当且仅当x＝1时取“＝”），‎ 即f（x）的最小值为﹣3．‎ 故答案为﹣3．‎ ‎【点评】本题考查了函数值域的求法，考查了利用基本不等式求函数最值的方法，解答此题的关键是能够根据题目所给的新定义，正确写出熟悉的函数表达式．‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.‎ ‎17．（12分）某市规划一个平面示意图为如下图五边形ABCDE的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE为赛道（不考虑宽度），BE为赛道内的一条服务通道，∠BCD＝∠CDE＝∠BAE＝，DE＝4km，BC＝CD＝km．‎ ‎（1）求服务通道BE的长度；‎ ‎（3）应如何设计，才能使折线段赛道BAE最长？‎ ‎【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形．‎ ‎【分析】（1）连接BD，在△BCD中，由余弦定理可得BD的值，由BC＝CD，可求∠CBD＝∠CDB＝，可求∠BDE＝，利用勾股定理可求BE的值．‎ ‎（2）在△BAE中，∠BAE＝，BE＝5，由余弦定理，基本不等式可求AB+AE≤，当且仅当AB＝AE时，等号成立，即可得解AB＝AE时，折线段赛道BAE最长．‎ ‎【解答】解：（1）∵连接BD，∠BCD＝∠CDE＝∠BAE＝，DE＝4km，BC＝CD＝km ‎∴在△BCD中，由余弦定理可得：BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD＝3+3+2×＝9，‎ ‎∴BD＝3，‎ ‎∵BC＝CD，‎ ‎∴∠CBD＝∠CDB＝，‎ 又∵∠CDE＝，‎ ‎∴∠BDE＝，‎ 在Rt△BDE中，BE＝＝5．‎ ‎（2）在△BAE中，∠BAE＝，BE＝5，‎ 由余弦定理可得：BE2＝AB2+AE2﹣2AB•AE•cos∠BAE，即：25＝AB2+AE2+AB•AE，‎ 可得：（AB+AE）2﹣25＝AB•AE≤（）2，‎ 从而（AB+AE）2≤25，即：AB+AE≤，当且仅当AB＝AE时，等号成立，‎ 即设计为AB＝AE时，折线段赛道BAE最长．‎ ‎【点评】本题主要考查了余弦定理，勾股定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．‎ ‎18．（12分）某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续6个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示 ‎（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y（单位：百万元）与月代码x之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；‎ ‎（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A，B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同，现对A，B两种新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的聘书统计如下表：‎ 寿命类型 ‎1个月 ‎2个月 ‎3个月 ‎4个月 总计 A ‎20‎ ‎35‎ ‎35‎ ‎10‎ ‎100‎ B ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎100‎ 经甲公司测算平均每包新型材料每月可以带来5万元收入，不考虑除采购成本之外的其他成本，A材料每包的成本为10万元，B材料每包的成本为12万元．假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？‎ 参考数据：．‎ 参考公式：回归直线方程为．‎ ‎【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有 ‎【专题】38：对应思想；4R：转化法；5I：概率与统计．‎ ‎【分析】（1）求出回归系数，可得回归方程，即可得出结论；‎ ‎（2）分别计算相应的数学期望，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）由折现图可知统计数据（，）共6组，‎ 即（1，11），（2，13），（3，16），（4，15），（5，20），（6，21），‎ 计算可得＝（1+2+3+4+5+6）＝3.5，‎ ‎＝yi＝•96＝16，‎ 故＝＝2，‎ 故＝﹣＝16﹣2•3.5＝9，‎ ‎∴x关于y的线性回归方程为＝2x+9，‎ 故x＝11时，则＝2×11+9＝31，‎ 即预测公司2018年1月份（即x＝7时）的利润为31百万元；‎ ‎（2）由频率估计概率，A型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，‎ ‎∴A型材料利润的数学期望为（5﹣10）×0.2+（10﹣10）×0.35+（15﹣10）×0.35+（20﹣10）×0.1＝1.75万元；‎ B型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，‎ ‎∴B型材料利润的数学期望为（5﹣12）×0.1+（10﹣12）×0.3+（15﹣12）×0.4+（20﹣12）×0.2＝1.50万元；‎ ‎∵1.75＞1.50，‎ ‎∴应该采购A型材料．‎ ‎【点评】本题考查数学知识在实际生活中的应用，考查学生的阅读能力，对数据的处理能力，属于中档题．‎ ‎19．（12分）如图所示，等腰梯形ABCD的底角∠BAD＝∠ADC＝60°，直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，且∠EDA＝90°，ED＝AD＝2AF＝2AB＝2．‎ ‎（1）证明：平面ABE⊥平面EBD；‎ ‎（2）点M在线段EF上，试确定点M的位置，使平面MAB与平面ECD所成角的锐二面角的余弦值为．‎ ‎【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 ‎【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．‎ ‎【分析】（1）推导出EAD⊥平面ABCD，ED⊥AD，AB⊥AD，由此能证明AB⊥平面BDE，从而平面ABE⊥平面EBD．‎ ‎（2）以B为坐标原点，以BA，BD为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M中线段EF中点时，使平面MAB与平面ECD所成角的锐二面角的余弦值为．‎ ‎【解答】证明：（1）∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，ED⊥AD，‎ ‎∴EAD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴ED⊥AD，‎ ‎∵AB＝1，AD＝2，∠BAD＝60°，‎ ‎∴BD＝＝，‎ ‎∴AB2+BD2＝AD2，∴AB⊥AD，‎ 又BD⊂平面BDE，ED⊂平面BDE，BD∩ED＝D，‎ ‎∴AB⊥平面BDE，‎ 又AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面EBD．‎ 解：（2）以B为坐标原点，以BA，BD为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则A（1，0，0），B（0，0，0），C（﹣，0），D（0，，0），E（0，），F（1，0，1），‎ 则＝（，0），＝（0，0，2），＝（1，0，0），＝（1，﹣，﹣1），‎ 设＝＝（），（0≤λ≤1），‎ 则＝＝（，2﹣λ），‎ 设平面CDE的法向量为＝（x，y，z），平面ABM的法向量为＝（x，y，z），‎ 则，即，取y＝1，得＝（﹣，1，0），‎ ‎，即，‎ 取y＝2﹣λ，得＝（0，2﹣λ，），‎ ‎∵平面MAB与平面ECD所成角的锐二面角的余弦值为．‎ ‎∴|cos＜＞|＝＝＝，‎ 解得，‎ ‎∴点M中线段EF中点时，使平面MAB与平面ECD所成角的锐二面角的余弦值为．‎ ‎【点评】本题考查面面垂直的证明，考查满足二面角的余弦值的点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎20．（12分）已知F1，F2为椭圆的左右焦点，点P（2，3）为其上一点，且|PF1|+|PF2|＝8．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若直线l：y＝kx﹣4交椭圆C于A，B两点，且原点O在以线段AB为直径的圆的外部，试求k的取值范围．‎ ‎【考点】K4：椭圆的性质；KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有 ‎【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ ‎【分析】（1）由题意可得，解得a2＝16，b2＝12求椭圆C的方程．‎ ‎（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于0，通过原点O在以线段AB为直径的圆的外部，推出•＞0，然后求解k的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得，解得a2＝16，b2＝12，‎ ‎∴椭圆的方程为+＝1，‎ ‎（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），‎ 由得（4k2+3）x2﹣32kx+16＝0，‎ ‎∴x1+x2＝，x1x2＝，‎ 由△＞0，即（﹣32k2）﹣4×16（4k2+3）＞0，解得k＞或k＜﹣．①‎ ‎∵原点O在以线段AB为直径的圆的外部，则•＞0，‎ ‎∴•＝x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1﹣4）（kx2﹣4）＝（k2+1）x1x2﹣4k（x1+x2）+16‎ ‎＝（k2+1）•﹣4k•+16＝＞0‎ 解得﹣＜k＜．②‎ 由①②解得实数k的范围是（﹣，﹣）∪（，）．‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎21．（12分）函数f（x）＝ln（x+t）+，其中t、a为实常数．‎ ‎（1）若t＝0时，讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）t＝0时，不等式f（x）≥1在x∈（0，1]上恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若g（x）＝ex+，当t≤2时，证明：g（x）＞f（x）．‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有 ‎【专题】34：方程思想；4R：转化法；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】（1）当t＝0时，f（x）＝lnx+，x＞0，f′（x）＝﹣＝，对a分类讨论即可得出函数的单调性．‎ ‎（2）不等式f（x）≥1在x∈（0，1]上恒成立，可得a≥x﹣xlnx，设h（x）＝x﹣xlnx，x∈（0，1]，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．‎ ‎（3）g（x）﹣f（x）＝ex+﹣ln（x+t）﹣＝ex﹣ln（x+t），t≤2，由x+t＞0，可得x＞﹣t≥﹣2，设m（x）＝ex﹣x﹣1，利用导数研究函数的单调性可得ex＞x+1．因此要证g（x）＞f（x），只要证x+1﹣ln（x+t）＞0，设φ（x）＝x+1﹣ln（x+t），利用导数研究其单调性即可证明结论．‎ ‎【解答】解：（1）当t＝0时，f（x）＝lnx+，x＞0，‎ ‎∴f′（x）＝﹣＝，‎ 当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 当a＞0时，若0＜x＜a，则f′（x）＜0，函数单调递减，若x＞a，则f′（x）＞0，函数单调递增，‎ ‎∴f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，‎ ‎（2）∵不等式f（x）≥1在x∈（0，1]上恒成立，‎ ‎∴a≥x﹣xlnx，‎ 设h（x）＝x﹣xlnx，x∈（0，1]‎ ‎∴h′（x）＝1﹣1﹣lnx＝﹣lnx≥0恒成立，‎ ‎∴h（x）在（0，1]上单调递增，‎ ‎∴h（x）max＝h（1）＝1，‎ ‎∴a≥1‎ ‎（3）g（x）﹣f（x）＝ex+﹣ln（x+t）﹣＝ex﹣ln（x+t），t≤2，‎ ‎∴x+t＞0，∴x＞﹣t≥﹣2，‎ 设m（x）＝ex﹣x﹣1，∴m′（x）＝ex﹣1，‎ 当x＞0时，m′（x）＞0，函数m（x）单调递增，‎ 当x＜0时，m′（x）＜0，函数m（x）单调递减，‎ ‎∴m（x）＞m（0）＝1﹣1＞0，‎ ‎∴ex＞x+1，‎ 要证g（x）＞f（x），只要证x+1﹣ln（x+t）＞0，‎ 设φ（x）＝x+1﹣ln（x+t），‎ ‎∴φ′（x）＝1﹣＝，‎ 令φ′（x）＝0，解得x＝1﹣t＞﹣1，‎ 当x＞1﹣t时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增，‎ 当﹣t＜x＜1﹣t时，φ′（x）＜0，函数φ（x）单调递减，‎ ‎∴φ（x）min＝φ（1﹣t）＝2﹣t≥0，‎ ‎∴g（x）＞f（x）．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-：4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：x2+y2﹣x＝0，C2：x2+y2﹣2y＝0．‎ ‎（1）以过原点的直线的倾斜角θ为参数，写出曲线C2的参数方程；‎ ‎（2）直线l过原点，且与曲线C1，C2分别交于A，B两点（A，B不是原点），求|AB|的最大值．‎ ‎【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；5S：坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】（1）先设出圆C2的参数方程的标准形式，再根据两个参数之间的关系可得；‎ ‎（2）利用极坐标方程的极径的几何意义可求得．‎ ‎【解答】解：（1）如图，C1：x2+y2﹣x＝0，即（x﹣）2+y2＝，‎ 是以C1（，0）为圆心，为半径，且过原点的圆，‎ 设∠PC1x＝α（0≤α＜π）．‎ 则，‎ 由已知，以过原点的直线倾斜角为参数，则0≤θ＜π，而α＝2θ，‎ 所以圆的参数方程为：（θ为参数，且0≤θ＜π）．‎ ‎（2）根据已知C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝cosα，ρ＝2sinα（ρ＞0），‎ 故|AB|＝|ρ1±ρ2|＝|2sinα±cosα|＝|sin（α±φ）|≤，其中tanφ．‎ 故当|sin（α±φ）|＝1时，等号成立．‎ 综上，|AB|的最大值为．‎ ‎【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．‎ ‎[选修4-：5：不等式选讲]‎ ‎23．已知对任意实数x，都有|x+2|+|x﹣4|﹣m≥0恒成立．‎ ‎（1）求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若m的最大值为n，当正实数a，b满足时，求4a+7b的最小值．‎ ‎【考点】3R：函数恒成立问题．菁优网版权所有 ‎【专题】35：转化思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】（1）不等式化为|x+2|+|x﹣4|≥m恒成立，利用绝对值不等式求出|x+2|+|x﹣4|的最小值，即可得出m的取值范围；‎ ‎（2）由（1）知n＝6，得＝1，则4a+7b＝（4a+7b）（+），‎ 再利用基本不等式求出它的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）对任意实数x，都有|x+2|+|x﹣4|﹣m≥0恒成立；‎ 因为|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|＝6，‎ 所以6≥m，即m≤6，‎ 实数m的取值范围是m≤6；‎ ‎（2）由（1）知n＝6，所以＝1，‎ 所以4a+7b＝（4a+7b）（+）‎ ‎＝[（a+5b）+（3a+2b）]（+）‎ ‎＝4+1++≥5+2＝9，‎ 当且仅当b＝5a，即a＝，b＝时取“＝”；‎ 所以4a+7b的最小值为9．‎ ‎【点评】本题考查了绝对值不等式以及基本不等式的应用问题，是中档题．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/4/17 8:51:15；用户：qgjyuser10390；邮箱：qgjyuser10390.21957750；学号：21985397‎