2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练：第三章 三角函数、解三角形 第6节

2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练：第三章 三角函数、解三角形 第6节

第三章 第6节 ‎1．(2020·莆田市二模)在△ABC中，BC＝2，AB＝4，cos C＝－，则AC的值为(　　 )‎ A．2　　　　　　　　　　 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析：B　[△ABC中，a＝BC＝2，c＝AB＝4，cos C＝－，∴c2＝a2＋b2－2abcos C，即16＝4＋b2－4b×，‎ 化简得b2＋b－12＝0，解得b＝3或b＝－4(不合题意，舍去)，‎ ‎∴b＝AC＝3.故选B.]‎ ‎2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有(　　 )‎ A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定 解析：B　[∵＝，∴sin B＝sin A ‎＝sin 45°，∴sin B＝.‎ 又∵a＜b，∴B有两个．]‎ ‎3．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sin A＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：D　[∵在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，∴AB＝BC.‎ 由余弦定理得 AC＝ ‎＝ ＝BC，‎ 所以BC·BC＝AB·AC·sin A＝·BC·BC·sin A，‎ ‎∴sin A＝，故选D.]‎ ‎4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2ccos A，c＝2bcos A，‎ 则△ABC的形状为(　　)‎ A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：C　[由正弦定理，得sin B＝2sin Ccos A，sin C＝2sin Bcos A，即sin(A＋C)＝2sin Ccos A＝sin Acos C＋cos Asin C，即sin Acos C－cos Asin C＝0，所以sin (A－C)＝0，A＝C，同理可得A＝B，所以三角形为等边三角形．故选C.]‎ ‎5．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝3，S△ABC＝2，则b的值为(　　)‎ A．6 B．3‎ C．2 D．2或3‎ 解析：D　[因为S△ABC＝2＝bcsin A，‎ 所以bc＝6，又因为sin A＝，所以cos A＝，又a＝3，由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.]‎ ‎6．有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC中，已知a＝，2cos2＝(－1)cos B，c＝　________　，求角A.(答案提示：A＝60°，请将条件补充完整)‎ 解析：由题知1＋cos(A＋C)＝(－1)cos B，所以1－cos B＝(－1)cos B，解得cos B＝，所以B＝45°.‎ 又A＝60°，所以C＝75°.根据正弦定理，得＝，解得c＝.故应填.‎ 答案： ‎7．(2020·合肥市模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＝45°，2bsin B－csin C＝2asin A，且△ABC的面积等于3，则b＝　________　.‎ 解析：∵A＝45°，2bsin B－csin C＝2asin A，‎ ‎∴由余弦定理可得：a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，①‎ 由正弦定理可得：2b2－c2＝‎2a2，②‎ 又S△ABC＝bcsin A＝3，即bc＝6，③‎ 由①②③联立解得b＝3.‎ 答案：3‎ ‎8．(2018·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为　________　.‎ 解析：根据题意，结合正弦定理可得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，即sin A＝，‎ 结合余弦定理可得2bccos A＝8，‎ 所以A为锐角，且cos A＝，从而求得bc＝，‎ 所以△ABC的面积为S＝bcsin A＝·· ‎＝.‎ 答案： ‎9．(2020·渭南市模拟)已知f(x)＝sin －cos x.‎ ‎(1)写出f(x)的最小正周期，并求f(x)的最小值；‎ ‎(2)已知 a、b、c 分别为△ABC的内角A、B、C的对边，b＝5，cos A＝且 f(B)＝1，求边a的长．‎ 解：f(x)＝sin －cos x＝sin xcos ＋cos xsin －cos x＝sin x＋cos x ‎＝sin ；‎ ‎(1)f(x)的最小正周期T＝＝2π，‎ 当x＋＝－＋2kπ，k∈Z，即x＝－＋2kπ，k∈Z时，f(x)取得最小值－1；‎ ‎(2)△ABC中，b＝5，cos A＝，‎ ‎∴sin A＝＝；‎ 又 f(B)＝1，∴sin ＝1，‎ ‎∴B＋＝，解得B＝，‎ ‎∴＝，＝，‎ 解得a＝8.‎ ‎10．(2020·浙江省名校协作体高三联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝2，C＝.‎ ‎(1)当2sin ‎2A＋sin(2B＋C)＝sin C时，求△ABC的面积；‎ ‎(2)求△ABC周长的最大值．‎ 解：(1)由2sin ‎2A＋sin(2B＋C)＝sin C得 ‎4sin Acos A－sin(B－A)＝sin(A＋B)，‎ 得2sin Acos A＝sin Bcos A，当cos A＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝，‎ 当cos A≠0时，sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝‎2a，联立，解得a＝，b＝.故△ABC的面积为S△ABC＝absin C＝.‎ ‎(2)由余弦定理及已知条件可得：a2＋b2－ab＝4，‎ 由(a＋b)2＝4＋3ab≤4＋3×得a＋b≤4，故△ABC周长的最大值为6，当且仅当三角形为正三角形时，等号成立．‎