【数学】2019届一轮复习人教A版三角函数的求值、化简、证明（理）学案

【数学】2019届一轮复习人教A版三角函数的求值、化简、证明（理）学案

高考第一轮复习——三角函数的求值、化简、证明 一、学习目标：‎ ‎1. 理解任意角的三角函数定义，及三角函数线定义。理解同角三角函数的基本关系（平方关系、倒数关系、商的关系）‎ ‎2. 掌握弧度制与角度制的转换及弧度制下的扇形面积、弧长公式。‎ ‎3. 掌握三角函数的诱导公式、和差角、倍半角、和差化积、积化和差等公式（半角公式及和差化积、积化和差公式不要求记忆）及其简单的三角恒等变换（求值、化简、证明）‎ 二、重点、难点：‎ 重点：三角函数的求值、化简、证明。‎ 难点：诱导公式、和差角、倍半角公式的应用。‎ 知识要点解析：‎ ‎（一）任意角与弧度制 ‎1. 角的概念推广：正角、负角、零角。（按角的始边的旋转方向分）‎ ‎（1）象限角：角的终边在第几象限，该角就是第几象限角。‎ 角所在的象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 角所在的象限 第一、三象限 第二、四象限 ‎（2）轴线角：角的终边在坐标轴上的角叫轴线角 角的终边在x轴上的角的集合：‎ 角的终边在y轴上的角的集合：‎ 角的终边在坐标轴上的角的集合：‎ ‎（3）终边相同的角的集合：所有与角有相同终边的角的集合表示为：‎ ‎2. 弧度制：‎ ‎（1）角度制与弧度制的转换：角度化弧度：‎ 弧度化角度：‎ ‎（2）弧长与扇形面积公式：，（为扇形圆心角，r为扇形半径）‎ ‎（二）任意角的三角函数定义、诱导公式 ‎（1）任意角三角函数定义：设α是任意角，角的终边与单位圆交于P（u，v）‎ 则： ‎ 注：（i）若点P（x，y）是角的终边上一点，则 ‎（ii）角在第一、二象限时，，角在第一、四象限 时， ‎ 角在第一、三象限时，‎ ‎（2）诱导公式：掌握，，的诱导公式。‎ ‎（3）同角三角函数基本关系：‎ 平方关系：，，‎ 倒数关系：，‎ 商的关系：‎ ‎（三）三角恒等变换 ‎（1）和角、差角公式：‎ ‎，‎ 注：（i）公式的逆用，‎ ‎（ii）变角：等 ‎（2）倍角与半角公式 倍角：‎ ‎ ‎ 半角：‎ ‎（降幂扩角公式）‎ 和差化积与积化和差公式：‎ 注：（i）半角公式、和差与积互化公式虽然不需要记忆，但要理解公式的 及推导过程。特别是对公式的应用要理解并掌握。‎ ‎（ii）注意倍角与半角的相对性。如的半角等。‎ ‎ ‎ 知识点一：三角函数的求值。‎ 例1：基础题：‎ 解答下列各小题 ‎1. 若角θ的终边与角的终边相同，则在内终边与角的终边相同的角有_______。‎ ‎2. 已知：，则－。‎ ‎3. 已知______。‎ ‎4. 设。‎ ‎【思路分析】‎ ‎1. 由，取 的整数值，由所求角的范围确定角θ。‎ ‎2. 利用将三角函数式变形，并用tanθ表示。‎ ‎3. 变角：，，‎ 先求再求tan，注意确定角的范围。‎ ‎4. 由已知判断角所属的象限，求的值。再求的值。‎ ‎【解题过程】‎ ‎1. 由已知得：，令 ＝0，1，2得：‎ ‎，。‎ ‎2. －，分子与分母 同除以得：原式＝＝1‎ ‎3. ‎ 故 ‎4. 由得：‎ 在第三象限，由 ‎【解题后的思考】高考考查的三角函数的求值问题都是基础性的试题，大部分以选择、填空题出现，因此把握基础知识是关键，同时要掌握一些相应的运算处理的方法，如“1”的代换，公式的逆用，角的变形等。‎ 例2：中等题：‎ ‎1. 已知 ‎（1）求的值。‎ ‎（2）若的值。‎ ‎2. ‎ ‎3. 已知 ‎（1）当 ‎（2）当的值。‎ ‎【思路分析】‎ ‎1. （1）根据两个向量垂直得出，结合平方关系列方程组求解。‎ ‎（2）把等式左边展开，利用（1）建立关于的方程，然后求解。‎ ‎2. 切化弦。利用正弦（或余弦）的和、差角公式，注意。‎ ‎3.（1）把代入已知等式展开。‎ ‎（2）由已知等式用角的三角函数表示，求出当取到最大值时，对应的的值，利用正切的和角公式求的值。‎ ‎【解题过程】‎ ‎1. （1）由已知得：）‎ 又＝1――――（2）由（1）（2）解得：‎ ‎（2）由 把的值代入得：‎ 又，故 ‎2. ‎ 故原式＝‎ ‎3.（1）把代入已知等式得：‎ ‎（2）由已知等式得：，‎ 两边同除以 等号成立：（舍去）‎ 此时，故 ‎【解题后的思考】在三角函数求值中，除了掌握基本的公式以外还要掌握常见的三角函数的变形（如：切化弦等方法）、变角、变式等基本的方法。‎ 例3：应用创新 已知 ‎（1）‎ ‎（2），求的值。‎ ‎【思路分析】‎ ‎（1）利用向量积的坐标运算求出的值。再求的值。‎ ‎（2）利用向量的坐标运算得出方程组，平方相加消去的值后再求的值。‎ ‎【解题过程】‎ ‎（1）‎ 由（2）得：‎ ‎（2）由得：‎ 又 ‎【解题后思考】对于三角函数的求值的综合创新问题常与解三角形、平面向量等知识结合在一起，但题目为中等难度，易得分，因此把握平面向量及三角函数的基础知识是很重要的。‎ 知识点二：三角函数的化简、证明。‎ 例4：基础题：‎ 化简下列各式 ‎1. ‎ ‎2. ‎ ‎3. ‎ ‎【思路分析】‎ ‎1. 利用余弦的倍角公式由里到外逐级化简，但要注意角的取值范围。‎ ‎2. 切化弦、利用余弦的倍角公式化简。‎ ‎3. 把换成tan60°，代入利用正切的和角公式化简。‎ ‎【解题过程】‎ ‎1. ，‎ ‎2. ‎ ‎3. 原式＝‎ ‎【解题后的思考】三角函数的化简要抓住函数式的特征。观察角度之间的关系，便于使用合理的公式，如：等，这类问题在高考试题中以选择、填空题为主，有时会出现在大题的某一问中等。‎ 例5：中等题 ‎1. 化简：‎ ‎2. 证明：‎ ‎3. 已知，求证：‎ ‎【思路分析】‎ ‎1. 通分利用正弦的倍角公式和正弦的和角公式化简。‎ ‎2. 观察左右两边式子的差异，由左边证到右边可用切化弦及降幂扩角公式证明。由右边证到左边可利用余弦的倍角公式。‎ ‎3. 观察已知条件和证明的结论可知：由已知等式展开后消去x即可得证。‎ ‎【解题过程】‎ ‎1. 原式＝‎ ‎2. 证明一：‎ 左边＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ 证明二：‎ 右边＝‎ ‎＝‎ ‎3. 由已知得：‎ ‎【解题后的思考】证明三角恒等式要观察等式两边的角度、式子的差异，通过“化异为同”即化异角为同角、化异名为同名达到证明的目的。这类问题在高考试题中不会出现大题，但有可能是大题中的某一问。因此我们只要掌握一些常规的方法和基本的公式就可以解决。‎ 例6：创新与应用 已知问是否存在满足：的y， 的值，使得不随x的取值变化而变化，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。‎ ‎【思路分析】假设存在y， 的值满足条件。即存在y， 的值使是定值。故把F（x）的三角函数式化简使F（x）为定值时，建立关于y， 的三角等式，确定y， 的值。‎ ‎【解题过程】‎ 由已知得：‎ 故存在满足条件。‎ ‎【解题后的思考】理解题意是解决此类问题的关键，在理解的基础上，进行三角函数的恒等变换，问题的实质是利用三角函数的基本公式求对应的角度。像这样探索性的问题，在新课标的高考试题中出现的频率会越来越高。考查同学们对信息的处理、数学语言的理解、计算推理论证等能力。‎