安徽省合肥市2019-2020学年高二下学期开学考试数学试题 Word版含解析

安徽省合肥市2019-2020学年高二下学期开学考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 高二数学 考试时间：120分钟满分150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）‎ ‎1.直线的方程为，则（ ）‎ A. 直线过点，斜率为 B. 直线过点，斜率为 C. 直线过点，斜率为 D. 直线过点，斜率为 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点斜式的方程判定即可.‎ ‎【详解】由有,故直线过点,斜率为.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了点斜式的运用,属于基础题型.‎ ‎2.双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的标准方程求得和，从而求得离心率的值.‎ ‎【详解】由双曲线方程可得，，‎ ‎∴，∴.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义和标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题.‎ ‎3.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）‎ - 19 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱柱，结合图中数据即可求出体积.‎ ‎【详解】根据几何体三视图，得该几何体是直三棱柱，且直三棱柱的底面是等腰直角三角形，高为，则该直三棱柱的体积为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查空间几何图三视图的应用问题，空间想象能力与计算能力的应用问题，属于基础题.‎ ‎4.已知空间两点,则间的距离是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间中两点之间的距离公式即可得到结论.‎ ‎【详解】根据空间中两点之间的距离公式得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间中两点之间的距离公式的应用，属于基础题.‎ ‎5.双曲线的一条渐近线的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ - 19 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将双曲线方程化为标准形式，即可得到渐近线方程.‎ ‎【详解】由双曲线，得，‎ 所以渐近线的方程为，即.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.‎ ‎6.已知圆与圆关于直线对称 ，则直线的方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两圆的圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆外离，把两个圆的方程相减可得对称轴的方程.‎ ‎【详解】∵两圆与圆关于直线对称，且两圆的圆心距为，‎ ‎∴两圆外离，将两个圆的方程相减可得，即.‎ 故直线的方程为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查两圆关于直线对称的性质，把两个圆的方程相减可得此直线的方程，属于基础题.‎ - 19 -‎ ‎7.已知圆，圆，则圆和圆的位置关系为（ ）‎ A. 相切 B. 内含 C. 外离 D. 相交 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将两圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心与半径，求出圆心距，再根据两圆的圆心距与半径和与差的关系，即可得到结论.‎ ‎【详解】圆，即，∴，，‎ 圆，即，∴，，‎ ‎∴两圆的圆心距，，，‎ ‎∴，故两圆内含.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆的标准方程，两圆的位置关系的判定方法，属于基础题.‎ ‎8.“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合直线垂直的条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.‎ ‎【详解】要使直线与直线互相垂直，‎ - 19 -‎ 则，即，解得或，‎ 所以“”是“直线与直线互相垂直”充分不必要条件.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及直线垂直的条件应用，属于基础题.‎ ‎9.下列命题是真命题的是（ ）‎ A. “若,则”的逆命题 B. “若，则”的否定 C. “若都是偶数，则是偶数”的否命题 D. “若函数都是R上的奇函数，则是R上的奇函数”的逆否命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据命题的定义，写出已知中命题的四种命题或否定命题，再逐一判断真假即可得到答案.‎ ‎【详解】对于A：“若,则”的逆命题为：“若，则”为假命题，故A错误；‎ 对于B：“若，则”的否定为：“若，则”为假命题，故B错误；‎ 对于C：“若都是偶数，则是偶数”的否命题为：“若不都是偶数，则不是偶数”为假命题，故C错误；‎ 对于D：“若函数都是上的奇函数，则是上的奇函数”的逆否命题为：“若是上的奇函数，则函数都是上的奇函数”为真命题，故D正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是四种命题，命题的否定，熟练掌握四种命题的定义是解答的关键，属于基础题.‎ - 19 -‎ ‎10.已知抛物线焦点为，直线过点与抛物线交于两点，与轴交于,若，则抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线的方程为，由直线与轴交于，得，再联立直线与抛物线方程，利用韦达定理列式即可得抛物线的方程，进而可得准线方程.‎ ‎【详解】由抛物线知焦点，设直线的方程为，，，则，‎ ‎∵直线与轴交于，则，得，‎ ‎∴直线的方程为，‎ 联立，消去得，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ，即，‎ 故抛物线方程为，所以准线方程为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的弦长公式，属于基础题.‎ ‎11.已知两个平面垂直，下列命题：‎ ‎①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线 ‎②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ‎③一个平面内任一条直线必垂直于另一个平面 - 19 -‎ ‎④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题的个数为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 对于①，由空间中的线线关系可得①错误；‎ 对于②，由面面垂直的性质定理可得②正确；‎ 对于③，由空间中的线面关系可得③错误；‎ 对于④，由面面垂直的性质定理可得④正确，得解.‎ ‎【详解】解：对于①，一个平面内已知直线不一定垂直于另一个平面的任意一条直线，即①错误；‎ 对于②，一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内与交线垂直的无数条直线，即②正确；‎ 对于③，一个平面内任一条直线不一定垂直于另一个平面，即③错误；‎ 对于④，在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，即④正确，‎ 即正确命题的个数为2，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了空间中线面、线线关系，重点考查了面面垂直的性质定理，属基础题.‎ ‎12.已知正方形的边长为，分别为边上的点，且.将分别沿和折起，使点和重合于点，则三棱锥的外接球表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 19 -‎ 用球的内接长方体的性质，得出半径，求解外接球表面积．‎ ‎【详解】如图所示：‎ 在三棱锥中，，，，，‎ 因，则，‎ 由题意知，，，‎ 所以互相垂直，‎ 即三棱锥的外接球的半径为，‎ 所以三棱锥的外接球的表面积为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了空间几何体的性质，运算求解外接球表面积，属于中档题．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.命题“”的否定为：_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据含有量词的命题的否定即可得到结论.‎ ‎【详解】命题为特称量词，则命题“”的否定为：“”.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题.‎ - 19 -‎ ‎14.焦点在轴上，离心率，且过的椭圆的标准方程为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设椭圆方程，利用离心率为，且经过点，建立方程，从而可求得椭圆方程.‎ ‎【详解】由题意，设椭圆方程为，‎ 因椭圆离心率为，且经过点，则，，‎ 解得，，‎ 故椭圆的标准方程为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，属于基础题.‎ ‎15.已知定点，点在圆上运动，则线段中点的轨迹方程是___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出点，根据是中点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，再根据在圆上，得到轨迹方程.‎ ‎【详解】设，点的坐标为，‎ 由定点，且是线段的中点，则，，‎ 即，，‎ ‎∴，‎ - 19 -‎ 又点在圆上运动，即，‎ 整理得，‎ ‎∴线段中点的轨迹方程是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查中点的坐标公式，求轨迹方程的方法，相关点法，设出动点坐标，求出相关的点的坐标，代入已知曲线方程，属于基础题.‎ ‎16.已知，，点在圆上运动，则的最小值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意设，利用两点之间的距离公式表示出，进而可得结论.‎ ‎【详解】由题意得圆的参数方程为（为参数），设，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎∴，其中，‎ 当时， 有最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查两点之间的距离公式，圆的参数方程的应用，属于基础题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.如图，正方体中 - 19 -‎ ‎(1)求证：‎ ‎(2)求证：平面 ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用线面垂直的结论，进而可得线线垂直结论；‎ ‎（2）利用线面垂直的判定定理，进而可得结论.‎ ‎【详解】证明：(1)连结、‎ 平面，平面 又，，平面 ‎ 平面，又平面 ‎(2)由，即同理可得， ‎ 又，平面 平面 - 19 -‎ ‎【点睛】本题主要考查线线垂直，线面垂直的证明方法，属于基础题.‎ ‎18.设抛物线的顶点为，经过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点，经过抛物线上一点垂直于对称轴的直线和对称轴交于点，设，，，求证：成等比数列.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设抛物线为，由题意可得，由轴于点可得或，进而可得结论.‎ ‎【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 设抛物线方程为，则焦点， ‎ ‎∵轴，∴ ‎ ‎∴ ‎ 又∵轴于点，，，‎ ‎ ∴或，‎ ‎∵在抛物线上，‎ ‎∴，‎ ‎∴即成等比数列.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的简单性质，以及抛物线的通径公式，考查分析与推理证明的能力，属于基础题.‎ - 19 -‎ ‎19.已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程为 ‎（1）求顶点和的坐标；‎ ‎（2）求外接圆的一般方程.‎ ‎【答案】（1）和；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）联立直线与直线的方程可得点的坐标，由，进而设出直线的方程，将的坐标代入得方程，再与直线方程联立即可得点的坐标；‎ ‎（2）由（1）知，，的坐标，设外接圆的一般方程，代入求解即可.‎ ‎【详解】（1）由可得顶点, ‎ 又因为得， ‎ 所以设的方程为， ‎ 将代入得 由可得顶点为 ‎ 所以和的坐标分别为和 ‎ ‎（2）设的外接圆方程为， ‎ 将、和三点的坐标分别代入，得，‎ 解得，‎ 所以的外接圆的一般方程为.‎ ‎【点睛】本题主要考查两直线交点的求法，待定系数法求圆的方程，属于基础题.‎ - 19 -‎ ‎20.已知点是椭圆：上两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线的斜率为1，直线与圆相切，且与椭圆交于点，求线段的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设椭圆方程为，将两点坐标代入解得即可；‎ ‎（2）设直线方程为，由直线与圆相切，得，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求得线段的长.‎ ‎【详解】（1）设椭圆的方程为：， ‎ 点是椭圆：上两点，‎ 则 ‎ 解得：， ‎ 故椭圆的方程为：.‎ ‎（2）∵直线的斜率为1，故设直线的方程为：即，‎ ‎∵直线与圆相切，∴，‎ - 19 -‎ 由，即 ‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，直线与圆相切，直线与椭圆相交等基础知识，属于基础题.‎ ‎21.如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点.‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：直线平面；‎ ‎（2）若的面积为，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连、，证明四边形是平行四边形，可得，即可证明平面；‎ ‎（2）在平面内作于，先设，然后利用的面积为，求出，再结合三棱锥体积公式求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）取中点，连、，‎ ‎∵是的中点，‎ - 19 -‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴，‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）在平面内作于，‎ 不妨设，则，‎ 由是等边三角形，则，‎ 又为的中点，则，‎ ‎∵平面平面，平面平面，平面，‎ 又，，平面；，平面.‎ ‎∴平面；平面，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，‎ 取的中点，连，可得为等腰直角三角形，，‎ ‎∴，则，，，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，重点考查了三棱锥的体积公式，属中档题.‎ - 19 -‎ ‎22.已知抛物线：，直线:与轴交于点，与抛物线的准线交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点.‎ ‎（1）求的面积；‎ ‎（2）过的直线交抛物线于两点，设，，当时，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据抛物线方程与直线方程求得，，进而可得的面积；‎ ‎（2）设，由向量关系得，进而得，再由向量数量积得，又，运用基本不等式即可得到结论.‎ ‎【详解】抛物线：的焦点为，准线为直线，‎ 又直线:与轴交于点， ‎ ‎∴的焦点为， 如图所示：‎ 由已知和抛物线定义得，且，， ‎ ‎∴， ‎ - 19 -‎ ‎∴的面积.‎ ‎ （2）由（1）知，抛物线的方程为，设，‎ 由得， ‎ 不妨设，故,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎,‎ ‎∴当时，最小为0；当时，最大为3，‎ 即的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力，属于中档题．‎ - 19 -‎ - 19 -‎