【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第十二章第四讲二项分布及其应用、正态分布作业

【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第十二章第四讲二项分布及其应用、正态分布作业

第四讲　二项分布及其应用、正态分布 ‎1.[2019开封市高三定位考试]某商场经营的某种包装的大米的质量ξ(单位:kg)服从正态分布N(10,σ2),根据检测结果可知P(9.9≤ξ≤10.1)=0.96,某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利,若该公司有1 000名职工,则分发到的大米的质量在9.9 kg以下的职工数大约为(　　)‎ A.10 B.20 C.30 D.40‎ ‎2.[2020重庆巴蜀中学模拟]中国某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器,每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图12-4-1所示的方式连接而成.‎ 图12-4-1‎ 已知元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则该部件正常工作.由大数据统计显示,三个电子元件的使用寿命(单位:时)均服从正态分布N(10 000,102),且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1 000台,检测该部件的工作情况(各部件能否正常工作相互独立),那么这1 000台仪器中该部件的使用寿命超过10 000小时的台数的平均值为　　　　台. ‎ ‎3.[2019四省八校联考]设随机变量X~B(6,‎1‎‎3‎),则P(2μ-2σ);‎ ‎②纺织厂将A农场送来的这批优质棉花进行二次检验,从中随机抽取20份测量其纤维长度的均值Yi(i=1,2,…,20),得到的数据如下.‎ Y1‎ Y2‎ Y3‎ Y4‎ Y5‎ Y6‎ Y7‎ Y8‎ Y9‎ Y10‎ ‎24.1‎ ‎31.8‎ ‎32.7‎ ‎28.2‎ ‎28.4‎ ‎34.3‎ ‎29.1‎ ‎34.8‎ ‎37.2‎ ‎30.8‎ Y11‎ Y12‎ Y13‎ Y14‎ Y15‎ Y16‎ Y17‎ Y18‎ Y19‎ Y20‎ ‎30.6‎ ‎25.2‎ ‎32.9‎ ‎27.1‎ ‎35.9‎ ‎28.9‎ ‎33.9‎ ‎29.5‎ ‎35.0‎ ‎29.9‎ 若这20个样本中纤维长度的均值Y>μ-2σ的频率不低于①中的P(X>μ-2σ),则可判断该批优质棉花合格,否则认为A农场送来的棉花掺杂了次品,判断该批棉花不合格,按照此依据判断A农场送来的这批棉花是否为合格的优质棉花,并说明理由.‎ 附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ84.81)=‎1 - 0.6827‎‎2‎=0.158 65.‎ ‎∴该区4 000名考生中竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158 65×4 000=634.6≈634.‎ ‎(3)全市参赛考生的竞赛成绩不高于84.81分的概率为1 - 0.158 65=0.841 35.‎ 易知ξ~B(4,0.841 35),‎ ‎∴P(ξ≤3)=1 - P(ξ=4)=1 - C‎4‎‎4‎·0.841 354≈1 - 0.501=0.499.‎ ‎6.(1)通过茎叶图可以看出,A选手所得分数的平均值高于B选手所得分数的平均值,A选手所得分数比较集中,B选手所得分数比较分散.‎ ‎(2)用CA‎1‎表示事件“A选手直接晋级”,‎ CA‎2‎表示事件“A选手复赛待选”,‎ CB‎1‎表示事件“B选手复赛待选”,‎ CB‎2‎表示事件“B选手淘汰出局”.‎ 易知CA‎1‎与CB‎1‎相互独立,CA‎2‎与CB‎2‎相互独立,CA‎1‎与CB‎2‎相互独立,‎ C=(CA‎1‎CB‎1‎)∪(CA‎1‎CB‎2‎)∪(CA‎2‎CB‎2‎),‎ 所以P(C)=P(CA‎1‎CB‎1‎)+P(CA‎1‎CB‎2‎)+P(CA‎2‎CB‎2‎)=P(CA‎1‎)·P(CB‎1‎)+P(CA‎1‎)P(CB‎2‎)+P(CA‎2‎)P(CB‎2‎).‎ 由所给数据得事件CA‎1‎,CA‎2‎,CB‎1‎,CB‎2‎发生的频率分别为‎2‎‎5‎,‎11‎‎20‎,‎1‎‎2‎,‎3‎‎20‎,即P(CA‎1‎)=‎2‎‎5‎,P(CA‎2‎)=‎11‎‎20‎,P(CB‎1‎)=‎1‎‎2‎,P(CB‎2‎)=‎3‎‎20‎,‎ 故P(C)=‎2‎‎5‎‎×‎1‎‎2‎+‎2‎‎5‎×‎3‎‎20‎+‎11‎‎20‎×‎3‎‎20‎=‎‎137‎‎400‎.‎ ‎7.(1)由题知x>4,且‎120+x+127‎‎2‎=126,解得x=5.‎ 又‎109+110×3+120×3+130×2+141+y+5+8+4+5+6+3+5‎‎10‎=124,解得y=4.‎ ‎(2)由题意知,景点甲每一天的游客数不低于125的概率为‎6‎‎10‎‎=‎‎3‎‎5‎,易知随机变量ξ服从二项分布B(4,‎3‎‎5‎),则P(ξ≤2)=C‎4‎‎0‎(‎3‎‎5‎)0(‎2‎‎5‎)4+C‎4‎‎1‎(‎3‎‎5‎)1·(‎2‎‎5‎)3+C‎4‎‎2‎(‎3‎‎5‎)2(‎2‎‎5‎)2=‎328‎‎625‎.‎ ‎(3)从茎叶图中可以看出:景点甲的数据中符合条件的有3天,景点乙的数据中符合条件的有7天,所以在景点甲的数据中被选出的数据符合条件的概率为‎3‎‎10‎,在景点乙的数据中被选出的数据符合条件的概率为‎7‎‎10‎.‎ 由题意知,η的所有可能取值为0,1,2.‎ 则P(η=0)=‎7‎‎10‎‎×‎3‎‎10‎=‎‎21‎‎100‎,P(η=1)=‎3‎‎10‎‎×‎3‎‎10‎+‎7‎‎10‎×‎7‎‎10‎=‎‎29‎‎50‎,‎ P(η=2)=‎3‎‎10‎‎×‎7‎‎10‎=‎‎21‎‎100‎.‎ 所以η的分布列为 η ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎21‎‎100‎ ‎29‎‎50‎ ‎21‎‎100‎ E(η)=0×‎21‎‎100‎+1×‎29‎‎50‎+2×‎21‎‎100‎=1.‎ ‎8.(1)易知每粒种子没有发芽的概率为‎2‎‎3‎,则该小组恰有两次失败的概率P=C‎4‎‎2‎(‎2‎‎3‎)2(‎1‎‎3‎)2=‎24‎‎81‎‎=‎‎8‎‎27‎.‎ ‎(2)由题意可知X的所有可能取值为0,2,4,‎ 则P(X=0)=C‎4‎‎2‎(‎1‎‎3‎)2(‎2‎‎3‎)2=‎24‎‎81‎‎=‎‎8‎‎27‎,‎ P(X=2)=C‎4‎‎1‎(‎1‎‎3‎)1(‎2‎‎3‎)3+C‎4‎‎3‎(‎1‎‎3‎)3(‎2‎‎3‎)1=‎32+8‎‎81‎‎=‎‎40‎‎81‎,‎ P(X=4)=C‎4‎‎0‎(‎2‎‎3‎)4+C‎4‎‎4‎(‎1‎‎3‎)4=‎16+1‎‎81‎‎=‎‎17‎‎81‎.‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎8‎‎27‎ ‎40‎‎81‎ ‎17‎‎81‎ E(X)=0×‎8‎‎27‎+2×‎40‎‎81‎+4×‎17‎‎81‎‎=‎‎148‎‎81‎,即所求数学期望为‎148‎‎81‎.‎ ‎(3)由题意可知,在第四次成功之前共有三次失败,有基本事件C‎6‎‎3‎=20(个),而满足恰有两次连续失败的基本事件共有A‎4‎‎2‎=12(个),‎ 则所求概率P=‎12‎‎20‎‎=‎‎3‎‎5‎.‎ ‎9.(1)x‎=‎‎1‎‎100‎×(4×24+9×26+16×28+24×30+18×32+14×34+10×36+5×38)=31,‎ s2=‎1‎‎100‎×(4×72+9×52+16×32+24×12+18×12+14×32+10×52+5×72)=12.28.‎ ‎(2)棉花的纤维长度X~N(μ,σ2),其中μ=31,σ=‎12.28‎≈3.504.‎ ‎①P(X>μ - 2σ)≈1 - ‎1‎‎2‎×(1 - 0.954 5)=0.977 25.‎ ‎②A农场送来的这批棉花是合格的优质棉花,理由如下.‎ μ - 2σ=31 - 2×3.504=23.992,故P(Y>μ - 2σ)=P(Y>23.992)=1>0.977 25,‎ 所以A农场送来的这批棉花为合格的优质棉花.‎