2020高考数学二轮复习练习：第二部分 专题七 第1讲 数学文化含解析

2020高考数学二轮复习练习：第二部分 专题七 第1讲 数学文化含解析

第1讲　数学文化 函数中的数学文化题 ‎[典型例题]‎ ‎ 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若△PBD的面积为f(x)，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)‎ ‎【解析】　如图，作PQ⊥BC于Q，作QR⊥BD于R，连接PR，则PQ∥AB，QR∥CD.　‎ 因为PQ⊥BD，又PQ∩QR＝Q，所以BD⊥平面PQR，所以BD⊥PR，即PR为△PBD中BD边上的高．‎ 设AB＝BD＝CD＝1，则＝＝，即PQ＝，‎ 又＝＝＝，所以QR＝，‎ 所以PR＝＝＝，所以f(x)＝＝，故选A.‎ ‎【答案】　A 中华太极图，悠悠千古昭著于世，像朝日那样辉煌宏丽，又像明月那样清亮壮美．它是我们华夏先祖的智慧结晶，它是中国传统文化的骄傲象征，它更是中华民族献给人类文明的无价之宝．试题通过太极图展示了数学文化的民族性与世界性．　 ‎ ‎[对点训练]‎ ‎(2019·福建泉州两校联考)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．”其意思为：“今有人持金出五关，第1关所收税金为持金的，第2关所收税金为剩余持金的，第3关所收税金为剩余持金的，第4关所收税金为剩余持金的，第5关所收税金为剩余持金的，5关所收税金之和恰好重1斤．”则在此问题中，第5关所收税金为(　　)‎ A．斤　　　　　　 B．斤 C．斤 D．斤 解析：选C.设此人持金x斤，根据题意知第1关所收税金为斤；第2关所收税金为斤；第3关所收税金为斤；第4关所收税金为斤；第5关所收税金为斤．易知＋＋＋＋＝1，解得x＝.则第5关所收税金为斤．故选C.‎ 数列中的数学文化题 ‎[典型例题]‎ ‎ (2019·河北辛集中学期中)中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．”其意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里．”若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为(　　)‎ A．里　　　　　　　 B．1 050里 C．里 D．2 100里 ‎【解析】　由题意可知，马每天行走的路程组成一个等比数列，设该数列为{an}，‎ 则该匹马首日行走的路程为a1，公比为，则有＝700，则a1＝，则＝(里)．故选C.‎ ‎【答案】　C ‎(1)数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n项和公式．‎ ‎(2)解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比(差)数列的概念、通项公式和前n项和公式．　 ‎ ‎[对点训练]‎ ‎(一题多解)《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿(　　)‎ A．斗粟 B．斗粟 C．斗粟 D．斗粟 解：选C.法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为a1，a2，a3，则这3个数依次成等比数列，公比q＝2，所以a1＋2a1＋4a1＝5，解得a1＝，故a3＝，a3－a1＝－＝，故选C.‎ 法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是1∶2∶4，故牛主人应赔偿5×＝(斗)，羊主人应赔偿5×＝(斗)，故牛主人比羊主人多赔偿了－＝(斗)，故选C.‎ 三角函数中的数学文化题 ‎[典型例题]‎ ‎ 《数书九章》中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的求法”，填补了我国传统数学的一个空白，与著 名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代人具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．若把这段文字写成公式，即S＝，现有周长为2＋的△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝(－1)∶∶(＋1)，用上面给出的公式求得△ABC的面积为(　　)‎ A．　　　　　　　　　　 B． C． D． ‎【解析】　由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝(－1)∶∶(＋1)，可设三角形的三边分别为a＝(－1)x，b＝x，c＝(＋1)x，由题意得(－1)x＋x＋(＋1)x＝(2＋)x＝2＋，则x＝1，故由三角形的面积公式可得△ABC的面积S＝＝，故选B.‎ ‎【答案】　B 我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S＝，其中p＝(a＋b＋c))在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白，从中可以看出我国古代已经具有很高的数学水平．　 ‎ ‎[对点训练]‎ ‎　(2019·济南市学习质量评估)我国《物权法》规定：建造建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，妨碍相邻建筑物的通风、采光和日照．已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为45 m，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52 m．若该小区内某居民在距离楼底27 m高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为45°，则该小区的住宅楼楼间距实际为________m.‎ 解析：设两住宅楼楼间距实际为x m．如图，‎ 根据题意可得，tan∠DCA＝，tan∠DCB＝＝，又∠DCA＋∠DCB＝45°，所以 tan(∠DCA＋∠DCB)＝＝1，整理得x2－45x－27×18＝0，解得x＝54或x＝－9(舍去)．所以该小区住宅楼楼间距实际为54 m.‎ 答案：54‎ 立体几何中的数学文化题 ‎[典型例题]‎ ‎ 《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱所在平面切开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵ABCA1B1C1中，AA1＝AC＝5，AB＝3，BC＝4，则阳马C1ABB1A1的外接球的表面积是(　　)‎ A．25π　　　　　　　 B．50π C．100π D．200π ‎【解析】　由题意得阳马C1ABB1A1的外接球即为堑堵ABCA1B1C1的外接球，球心在正方形ACC1A1的中心，所以外接球的半径R＝，表面积为4πR2＝50π.故选B.‎ ‎【答案】　B 立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球的体积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍薨”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的体积与表面积等．　 ‎ ‎[对点训练]‎ ‎《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，意思是圆柱体的体积为V＝×底面圆的周长的平方×高，由此可推得圆周率π的取值为(　　)‎ A．3 B．3.1‎ C．3.14 D．3.2‎ 解析：选A.设圆柱体的底面半径为r，高为h，由圆柱的体积公式得体积为V＝πr2h.由题意知V＝×(2πr)2×h，所以πr2h＝×(2πr)2×h，解得π＝3.故选A.‎ 概率中的数学文化题 ‎[典型例题]‎ ‎ (1)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，田忌获胜的概率是(　　)‎ A．　　　　　　　　　 B． C． D． ‎(2)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被函数y＝3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，如图所示，其中小圆的半径均为1，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为(　　)‎ A． B． C． D． ‎【解析】　(1)从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，对阵情况如下表：‎ 齐王的马 上 上 上 中 中 中 下 下 下 田忌的马 上 中 下 上 中 下 上 中 下 双方马的对阵中，有3种对抗情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率P＝＝.故选A.‎ ‎(2)函数y＝3sin x的图象与x轴相交于点(6，0)和点(－6，0)，则大圆的半径为6，‎ 面积为36π，而小圆的半径为1，两个小圆的面积和为2π，所以所求的概率是＝.故选B.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)B ‎(1)本例(1)选取田忌赛马这一为人熟知的故事作为背景，考查了古典概型，趣味性很强，利于缓解考生在考场的紧张心理，体现了对考生的人文关怀．　 ‎ ‎(2)本例(2)以中国优秀传统文化太极图为背景，考查几何概型，角度新颖，所给图形有利于考生分析问题和解决问题，给出了如何将抽象的数学问题形象化的范例．‎ ‎[对点训练]‎ 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献．哥德巴赫猜想是“任一大于2的偶数都可写成两个质数的和”，如32＝13＋19.在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(　　)‎ A． B． C． D． 解析：选C.不超过32的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共11个，随机选取两个不同的数，共有C＝55种不同的选法，因为7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种选法，所以概率为，故选C.‎ 一、选择题 ‎1．我国古代数学著作《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣(　　)‎ A．104人　　　　　　　 B．108人 C．112人 D．120人 解析：选B.由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×＝300×＝108.故选B.‎ ‎2．“干支纪年法”是中国自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．天干、地支互相配合，配成六十组为一周，周而复始，依次循环．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支．如：公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年．则2049年为农历(　　)‎ A．己亥年 B．己巳年 C．己卯年 D．戊辰年 解析：选B.法一：由公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年，可知以公元纪年的尾数在天干中找出对应该尾数的天干，再将公元纪年除以12，用除不尽的余数在地支中查出对应该余数的地支，这样就得到了公元纪年的干支纪年.2049年对应的天干为“己”，因其除以12的余数为9，所以2049年对应的地支为“巳”，故2049年为农历己巳年．故选B.‎ 法二：易知(年份－3)除以10所得的余数对应天干，则2 049－3＝2 046，2 046除以10所得的余数是6，即对应的天干为“己”．‎ ‎(年份－3)除以12所得的余数对应地支，则2 049－3＝2 046，2 046除以12所得的余数是6，即对应的地支为“巳”，所以2049年为农历己巳年．故选B.‎ ‎3．(2019·山东淄博模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金箠截成长度相等的10段，记第i段的重量为ai(i＝1，2，…，10)，且a1，故C错误；‎ 在D中，a4＋a5＋a6＝192×＝42，故D正确．‎ ‎13．(多选)中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，下列命题正确的是(　　)‎ A．对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个 B．函数f(x)＝ln(x2＋)可以是某个圆的“太极函数”‎ C．正弦函数y＝sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”‎ D．函数y＝f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y＝f(x)的图象是中心对称图形 解析：选AC.过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个，故A正确；‎ 函数f(x)＝ln(x2＋)的图象如图1所示，‎ 故其不可能为圆的“太极函数”，故B错误；‎ 将圆的圆心放在正弦函数y＝sin x图象的对称中心上，则正弦函数y＝sin x是该圆的“太极函数”，从而正弦函数y＝sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”，故C正确；函数y＝f(x)的图象是中心对称图形，则y＝f(x)是“太极函数”，但函数y＝f(x)是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图2所示，故D错误．‎ 二、填空题 ‎14.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________．(容器壁的厚度忽略不计)‎ 解析：表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球．设其半径为R，(2R)2＝62＋22＋12，解得R2＝，所以该球形容器的表面积的最小值为4πR2＝41π.‎ 答案：41π ‎15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中“勾股”章讲述了“勾股定理”及一些应用．直角三角形的三条边分别称为“勾”“股”“弦”．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，若线段PF2，PF1分别是Rt△F1PF2的“勾”“股”，则点P的横坐标为________．‎ 解析：由题意知半焦距c＝，又PF1⊥PF2，故点P在圆x2＋y2＝3上，设P(x，y)，联立，得得P.‎ 故点P的横坐标为.‎ 答案： ‎16．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为 ‎0．618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝________．‎ 解析：由题设n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°，‎ ＝＝＝＝2.‎ 答案：2‎ ‎17．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．‎ 解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.‎ 答案：26　－1‎ ‎ ‎