人教a版数学【选修1-1】作业：3-3-3函数的最大(小)值与导数（含答案）

人教a版数学【选修1-1】作业：3-3-3函数的最大(小)值与导数（含答案）

3.3.3 函数的最大(小)值与导数 课时目标 1.能够区分极值与最值两个不同的概念.2.会求闭区间上函数的最大值、最 小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 1．最大值：如果在函数定义域 I 内存在 x0，使得对任意的 x∈I，总有______________， 则称 f(x0)为函数在______________的最大值． 2．一般地，如果在区间[a，b]上的函数 y＝f(x)的图象是一条______________的曲线， 那么 f(x)必有最大值和最小值．此性质包括两个条件：(1)给定函数的区间是____________； (2)函数图象在区间上的每一点必须______________．函数的最值是比较整个__________的 函数值得出的，函数的极值是比较______________的函数值得到的． 3．一般地，求 f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求 f(x)在(a，b)内的________； (2)将 f(x)的各极值与________________________比较，其中________的一个是最大值， ________的一个是最小值． 一、选择题 1．下列结论正确的是( ) A．若 f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B．若 f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C．若 f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是 x＝a 和 x＝b 时取得 D．若 f(x)在[a，b]上连续，则 f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值 2．函数 f(x)＝x2－4x＋1 在[1,5]上的最大值和最小值是( ) A．f(1)，f(3) B．f(3)，f(5) C．f(1)，f(5) D．f(5)，f(2) 3．函数 y＝x ex 在[0,2]上的最大值是( ) A．当 x＝1 时，y＝1 e B．当 x＝2 时，y＝2 e2 C．当 x＝0 时，y＝0 D．当 x＝1 2 ，y＝ 1 2 e 4．函数 y＝ x＋ 1－x在(0,1)上的最大值为( ) A. 2 B．1 C．0 D．不存在 5．已知函数 f(x)＝ax3＋c，且 f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为 20，则 c 的值为( ) A．1 B．4 C．－1 D．0 6．已知函数 y＝－x2－2x＋3 在[a,2]上的最大值为15 4 ，则 a 等于( ) A．－3 2 B.1 2 C．－1 2 D．－1 2 或－3 2 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．函数 f(x)＝ln x－x 在(0，e]上的最大值为________． 8．函数 f(x)＝1 2ex(sin x＋cos x)在区间 0，π 2 上的值域为__________________． 9．若函数 f(x)＝x3－3x－a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为 M、N，则 M－N 的 值为________． 三、解答题 10．求下列各函数的最值． (1)f(x)＝1 2x＋sin x，x∈[0,2π]； (2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]． 11．已知 f(x)＝x3－x2－x＋3，x∈[－1,2]，f(x)－m<0 恒成立，求实数 m 的取值范围． 能力提升 12．设函数 f(x)＝1 2x2ex. (1)求 f(x)的单调区间； (2)若当 x∈[－2,2]时，不等式 f(x)>m 恒成立，求实数 m 的取值范围． 13．若 f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为 3，最小值是－29，求 a、b 的值． 1．求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时 x 对应的函数值，通 过比较大小确定函数的最值． 2．在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要注意对字 母的分类讨论；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题． 3．3.3 函数的最大(小)值与导数 答案 知识梳理 1．f(x)≤f(x0) 定义域上 2．连续不断 (1)闭区间 (2)连续不间断 定义域 极值点附近 3．(1)极值 (2)端点处的函数值 f(a)，f(b) 最大 最小 作业设计 1．D [函数 f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会 在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．] 2．D [f′(x)＝2x－4，令 f′(x)＝0，得 x＝2. ∵f(1)＝－2，f(2)＝－3，f(5)＝6. ∴最大值为 f(5)，最小值为 f(2)．] 3．A [y′＝ex－x·ex ex2 ＝1－x ex ，令 y′＝0 得 x＝1. ∵x＝0 时，y＝0，x＝1 时，y＝1 e ，x＝2 时，y＝2 e2 ， ∴最大值为1 e (x＝1 时取得)．] 4．A [y′＝ 1 2 x － 1 2 1－x .由 y′＝0，得 x＝1 2. 又 00，1 20，即 f(x)在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝2×23＋c＝20， ∴c＝4.] 6．C [y′＝－2x－2，令 y′＝0，得 x＝－1.当 a≤－1 时，最大值为 f(－1)＝4，不合题 意．当－10 得 01，∴f(x)在(0,1] 上是增函数，在(1，e]上是减函数． ∴当 x＝1 时，f(x)有最大值 f(1)＝－1. 8. 1 2 ，1 2eπ 2 解析 ∵x∈ 0，π 2 ，∴f′(x)＝excos x≥0， ∴f(0)≤f(x)≤f π 2 . 即1 2 ≤f(x)≤1 2eπ 2. 9．20 解析 f′(x)＝3x2－3，令 f′(x)＝0， 得 x＝1，(x＝－1 舍去)． ∵f(0)＝－a，f(1)＝－2－a，f(3)＝18－a. ∴M＝18－a，N＝－2－a.∴M－N＝20. 10．解 (1)f′(x)＝1 2 ＋cos x. 令 f′(x)＝0，又∵0≤x≤2π， ∴x＝2π 3 或 x＝4π 3 . ∴f 2π 3 ＝π 3 ＋ 3 2 ，f 4π 3 ＝2π 3 － 3 2 ， 又∵f(0)＝0，f(2π)＝π. ∴当 x＝0 时，f(x)有最小值 f(0)＝0， 当 x＝2π时，f(x)有最大值 f(2π)＝π. (2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2) ＝3(x－1)2＋3， ∵f′(x)在[－1,1]内恒大于 0， ∴f(x)在[－1,1]上为增函数． 故 x＝－1 时，f(x)最小值＝－12； x＝1 时，f(x)最大值＝2. 即 f(x)在[－1,1]上的最小值为－12，最大值为 2. 11．解 由 f(x)－m<0，即 m>f(x)恒成立， 知 m>f(x)max， f′(x)＝3x2－2x－1，令 f′(x)＝0， 解得 x＝－1 3 或 x＝1. 因为 f(－1 3)＝86 27 ， f(1)＝2，f(－1)＝2，f(2)＝5. 所以 f(x)的最大值为 5， 故 m 的取值范围为(5，＋∞)． 12．解 (1)f′(x)＝xex＋1 2x2ex＝ex 2x(x＋2)． 由 ex 2x(x＋2)>0，解得 x>0 或 x<－2， ∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为 f(x)的增区间， 由 ex 2x(x＋2)<0，得－2m 恒成立，∴m<0. 故 m 的取值范围为(－∞，0)． 13．解 ∵f(x)＝ax3－6ax2＋b， ∴f′(x)＝3ax2－12ax. 令 f′(x)＝0，解得 x＝0 或 4. ∵4 [－1,2]，故舍去， ∴f(x)取最大值，最小值的点在 x＝－1、0、2 上取得， f(－1)＝－7a＋b，f(0)＝b， f(2)＝－16a＋b. 当 a>0 时，最大值为 b＝3， 最小值为－16a＋b＝－29，解得 a＝2， b＝3， 当 a<0 时，最大值为－16a＋b＝3，b＝－29， 解得 a＝－2 b＝－29 ， 综上所述： a＝2 b＝3 或 a＝－2 b＝－29 .