高考数学复习 导数的概念

高考数学复习 导数的概念

3.1.2导数的概念 高二数学 选修1-1 第三章 导数及其应用 1、平均变化率 )(xf一般的，函数　　在区间上 的平均变化率为 ],[ 21 xx     x xfxxf)()( 22 21 21     －＋＝ xx xfxf 一.复习 其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是 曲线的割线）的斜率。 在高台跳水运动中，运动员相对于水 面的高度为h（单位：m）与起跳后的时间 t(单位：s )存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10 h to 求ｔ＝2时的瞬时速度？ 2 我们先考察ｔ＝2附近的情况。 任取一个时刻2＋△ｔ，△ｔ 是时间改变量，可以是正值， 也可以是负值，但不为0. 当△ｔ＜0时，在2之前； 当△ｔ＞0时，在2之后。 △ｔ＜0时 2＋△ｔ △ｔ＞0时 2＋△ｔ 二.新授课学习    2 ,2 2,2 , . t t v    计算区间 和区间 内平均速度 可以得到如下表格 △t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内 △t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内 1.139.4  tv 1.139.4  tv 13.051v  当△t = – 0.01时, 13.149v  当△t = 0.01时, 0951.13v当△t = – 0.001时, 1049.13v当△t =0.001时, 13.09951v  当△t = –0.0001时, 13.10049v  当△t =0.0001时, 099951.13v△t = – 0.00001, 100049.13v△t = 0.00001, 13.0999951v  △t = – 0.000001, 13.1000049v  △t =0.000001, …… …… 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋 势. l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 105.69.4)( 2  ttth 当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势? , 0 , 2 , 2 2 , 13.1. t t  我们发现 当 趋近于 时 即无论 从小于 的一边 还是从大于 一边趋近于 时 平均速度都趋近于一个 确定的值 , | | , 2 . , 2 13.1 / . t v t t m s     从物理的角度看 时间间隔 无限变小时 平均 速度 就无限趋近于 时的瞬时速度因此 运动员在 时的瞬时速度是     ".. ,," .lim, 113 02 11322 0     定值 趋近于确平均速度时趋势近于当表示 我们用为了表述方便 vtt t hth t         .. 时的极限趋近于当是我们称确定值 022113 tt hth    瞬时速度     ｔ ｔ－ｈｔ＋ｔｈ ００    0 limt 　在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极 限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 思考： ⑴如何求瞬时速度？ ⑵lim是什么意思？ 在其下面的条件下求右面的极限值。 ⑶运动员在某一时刻ｔ0的瞬时速度如何表示? 0 limt (2 ) (2) 13.1h t h t          ｘ ｘ－ｆｘ＋ｘｆ ００     示？处的瞬时变化率怎么表在ｘ＝ｘｘ２、函数ｆ ０       x xfxxflimx ylimxf 0x0x0      ００ －＋＝＝即： １、函数的平均变化率怎么表示？ 思考：     ｘ ｘ－ｆｘ＋ｘｆ ００    0x lim     00 0 xxyxf xxxfy ＝或记作： 处的导数，＝在＝我们称它为函数  定义: 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是 xx xfxxf xx ylim )()Δ(lim 0 00 0     称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 0 0 0 0 ( Δ ) ( ) ( ) lim . x f x x f xf x x     )( 0xf  或 , 即 0 | xxy  。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与 000 )(.1 xxxf  的具体取值无关。与 xxf  )(.2 0 一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同.3 导数的作用： 在例2中，高度h关于时间t的导数是运动员的 瞬时速度； 在例1中，我们用的是平均膨胀率，那么半径r 关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率 导数可以描绘任何事物的瞬时变化率 由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是: );()()1( 00 xfxxfy 求函数的增量 ;)()()2( 00 x xfxxf x y   求平均变化率 .lim)()3( 00 x yxf x    取极限，得导数 注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式. 一差、二比、三极限 例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数. (2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均 变化率，并求出在该点处的导数． (3)质点运动规律为s=t2+3，求 质点在t=3的瞬时速度. 三．典例分析 题型二：求函数在某处的导数 例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数. 三．典例分析 题型二：求函数在某处的导数 (1 ) (1)y f x f   解： 23(1 ) 3x   26 3( )x x   26 3( )y x x x x      6 3 x   / 0 0 (1) lim lim(6 3 ) 6x x yf xx          例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变 化率，并求出在该点处的导数． 三．典例分析 题型二：求函数在某处的导数 ( 1 ) ( 1)y f x f     解： 2 2( 1 ) ( 1 ) [ ( 1) ( 1)]x x             2( ) 3x x    2( ) 3y x x x x        平均变化率 3x   / 0 0 ( 1) lim lim( 3) 3x x yf xx             例1.(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3 的瞬时速度. 三．典例分析 题型二：求函数在某处的导数 (3 ) (3)s f t f   解： 2 2(3 ) 3 (3 3)t     2( ) 6t t   2( ) 6s t t t t      6t  / 0 0 (3) lim lim( 6) 6t t sf tt           例1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数; (2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数. ,)(21)1()1( 222 xxxy 解： ,2)(2 2 xx xx x y    .2|,2)2(limlim 100    xxx yxx y ,)2(2)2 12(2 1)2()2( x xxxxy   ,)2(2 11)2(2 xx x xx x y      .4 3|,4 3 4 11])2(2 11[limlim 200    xxx yxx y .,2 1 |',:2 0 0 0 的值求 且处附近有定义在已知函数例 x yxxxy xx    ,: 00 xxxy 解 .1 )( ))(( 00 00 000000 xxx xxxx xxxxxx x xxx x y       , 2 11limlim 000 00 xxxxx y xx      .1,2 1 2 1,2 1|' 0 0 0  x x y xx 得由 .y x y已知 ，求 1y x x x x      0 0 1 1lim lim . 2x x yy x x x x x           练习: xy x x x x x x DD = +D - = +D + 解： .)0(||2 的导数数：利用导数的定义求函例  xxy | |,y x解： 0 , ,x y x  当 时 .01 01      x xy 0 , ,x y x  当 时 ( ) 1,y x x x x x       则 0 lim 1;x y x    ( ) ( ) 1,y x x x x x          0 lim 1;x y x         ., ,62).80(157 : ,. , 2 2 0 并说明它们的意义的瞬时变化率 原油温度时和第计算第 为单位的温度 原油时如果在和加热 行冷却油进对原需要品 产柴油、塑胶等各种不同 将原油精炼为汽油、例 hhxxx xfC xh  ,根据导数的定义     x fxf x y    22 .' 6f和  262 ', fhh 就是原油温度的瞬时变化率时和第在第解       x xx   1527215272 22  ,374 2  xx xxx       ,33limlim2, 00 '    xx yf xx 所以   .' 56 f同理可得 .运算过程请同学们自己完成具体 0 0 2 6 , 3 5. 2 , 3 / ; 6 , 5 / . h h h C h h C h 在第 与第 时 原油温度的瞬时变化率分别为 与 它说明： 在第 附近 原油温度大约以 的速率下降 在 附近 原油温度大约以 的速率上升   0 ' 0, .f x x一般地 反映了原油温度在时刻 附近的变化情况 计算第3（h）和第5（h）时，原油温度的瞬时 变化率，并说明它们的意义。   35f 13f ）＝（，＝－解：  这说明: 在第3小时附近，原油温度大约以1的速率下降， 在第5小时附近，原油温度大约以3的速率上升。 练习：P76 小结： 1求物体运动的瞬时速度： （1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t) (2)求平均速度 （3）求极限 ;sv t   0 0 ( ) ( ).lim limx x s s t t s t t t         2由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0) (2) 求平均变化率 （3）求极限 y x   ' 0 0 ( ) limx yf x x    思考： 物体作自由落体运动,运动方程为： 其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求： (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度. 2 2 1 gts  分析: __ 0 0( ) ( ) 12 ( )2 s t t s tsv g g tt t         2 0 0 1( ) ( ) 2 ( )2s s t t s t g t g t        解: )(2 12 __ tggt sv   s ss(2+t) O s(2) (1)将 Δt=0.1代入上式，得: ./5.2005.2 __ smgv  (2)将 Δt=0.01代入上式， 得: ./05.20005.2 __ smgv  的极限为：从而平均速度 当 __ ,22,0)3( v tt  ./202limlim 0 __ 0 smgt svv tt    作业：P80 3、4 三维设计：P48