高考数学理二轮专练四中档大题目四

高考数学理二轮专练四中档大题目四

中档大题(四)‎ ‎1．(2013·高考陕西卷)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛， 由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为5组， 各组的人数如下：‎ 组别 ‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ E 人数 ‎ 50 ‎ ‎100 ‎ ‎150 ‎ ‎150 ‎ ‎50‎ ‎ (1)为了调查评委对7位歌手的支持情况， 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委， 其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表. ‎ 组别 ‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ E 人数 ‎ ‎50 ‎ ‎100 ‎ ‎150 ‎ ‎150 ‎ ‎50‎ 抽取人数 ‎ 6 ‎ ‎ (2)在(1)中， 若A, B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手， 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人， 求这2人都支持1号歌手的概率. ‎ ‎2．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)‎ 如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D ，E分别是AB，BB1的中点．‎ ‎(1)证明：BC1∥平面A1CD；‎ ‎(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥CA1DE的体积．‎ ‎3．(2013·河北省普通高中高三教学质量检测)已知正项数列{an}，{bn}满足a1＝3，a2＝6，{bn}是等差数列，且对任意正整数n，都有bn，，bn＋1成等比数列．‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设Sn＝＋＋…＋，试比较2Sn与2－的大小．‎ ‎4．(2013·湖北省武汉市高中毕业生调研测试)如图，已知正方形ABCD的边长为2，AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥ABCD.‎ ‎(1)求证：平面AOC⊥平面BCD；‎ ‎(2)若三棱锥ABCD的体积为，且∠AOC是钝角，求AC的长．‎ ‎5．(2013·高考福建卷)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)、[60，70)、[70，80)、[80，90)、[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；‎ ‎(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？‎ 附：K2＝ P(K2≥k)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎6．(2013·高考福建卷)如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2，点M在线段PQ上．‎ ‎(1)若OM＝，求PM的长；‎ ‎(2)若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．‎ 答案：‎ ‎1．【解】(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：‎ 组别 A B C D E 人数 ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎150‎ ‎50‎ 抽取人数 ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎(2)记从A组抽到的3位评委分别为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6位评委分别为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手，从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果如图：‎ 由树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝＝.‎ ‎2．【解】‎ ‎(1)证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．‎ 又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.‎ 因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.‎ ‎(2)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，‎ 所以AA1⊥CD.‎ 由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.‎ 又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.‎ 由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2得∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3，‎ 故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.‎ 所以V三棱锥CA1DE＝××××＝1.‎ ‎3．【解】(1)∵对任意正整数n，都有bn，，bn＋1成等比数列，且{an}，{bn}都为正项数列，‎ ‎∴an＝bnbn＋1(n∈N*)．可得a1＝b1b2＝3，a2＝b2b3＝6，‎ 又{bn}是等差数列，∴b1＋b3＝2b2，解得b1＝，b2＝.‎ ‎∴bn＝(n＋1)(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)可得an＝bnbn＋1＝，‎ 则＝＝2(－)，‎ ‎∴Sn＝2[(－)＋(－)＋…＋(－)]‎ ‎＝1－，∴2Sn＝2－，又2－＝2－，‎ ‎∴2Sn－(2－)＝－＝.‎ ‎∴当n＝1，2时，2Sn<2－；当n≥3时，2Sn>2－.‎ ‎4．【解】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AO，BO⊥CO.‎ 折起后仍有BD⊥AO，BD⊥CO，AO∩CO＝O，‎ ‎∴BD⊥平面AOC.‎ ‎∵BD⊂平面BCD，‎ ‎∴平面AOC⊥平面BCD.‎ ‎(2)由(1)知BD⊥平面AOC，‎ ‎∴VABCD＝S△AOC·BD，又VABCD＝，‎ ‎∴×OA·OC·sin∠AOC·BD＝，‎ 即××××sin∠AOC×2＝，‎ ‎∴sin∠AOC＝，‎ ‎∵∠AOC是钝角，∴∠AOC＝120°.‎ 在△AOC中，由余弦定理，得 AC2＝OA2＋OC2－2·OA·OC·cos∠AOC ‎＝()2＋()2－2×××cos 120°＝6，‎ ‎∴AC＝.‎ ‎5．【解】(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.‎ 从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．‎ 其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝.‎ ‎(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：‎ 生产能手 非生产能手 合计 ‎25周岁以上组 ‎15‎ ‎45‎ ‎60‎ ‎25周岁以下组 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 所以得K2＝ ‎＝＝≈1.79.‎ 因为1.79<2.706，‎ 所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．‎ ‎6．【解】(1)在△OMP中，∠OPM＝45°，OM＝，OP＝2，由余弦定理得，OM2＝OP2＋MP2－2OP·MP·cos 45°，得MP2－4MP＋3＝0，‎ 解得MP＝1或MP＝3.‎ ‎(2)设∠POM＝α，0°≤α≤60°，‎ 在△OMP中，由正弦定理，得＝，‎ 所以OM＝，‎ 同理ON＝.‎ 故S△OMN＝·OM·ON·sin∠MON ‎＝× ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝.‎ 因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN的面积取到最小值，即∠POM＝30°时，△OMN的面积的最小值为8－4.‎