函数与导数2007年高考原题
2007年高考数学试题分类详解
函数与导数
1、（全国1文理8）设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则 www.xkb123.com
A． B．2 C． D．4
解．设，函数在区间上的最大值与最小值之分别为，它们的差为，∴ ，4，选D。
2、（全国1文理9），是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的
A．充要条件 B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件
解．，是定义在R上的函数，，若“，均为偶函数”，则“为偶函数”，而反之若“为偶函数”，则“，不一定均为偶函数”，所以“，均为偶函数”，是“为偶函数”是充分而不必要的条件，选B。
3、（山东文理6）给出下列三个等式：，
．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】:B【分析】：依据指、对数函数的性质可以发现A满足，
C满足，而D满足，
B不满足其中任何一个等式.
4、（山东文11）设函数与的图象的交点为，
则所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B.【试题分析】令，可求得：
。易知函数的零点所在区间为。
5、（广东理4文5）客车从甲地以60km/h的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系图象中，正确的是
答案：C；
解析：依题意的关键字眼“以80km／h的速度匀速行驶l小时到达丙地”选得答案(C).
6、（天津5） 函数的反函数是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】原函数过故反函数过从而排除A、B、D，故选C
7、（天津理7） 在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则( )
A.在区间上是增函数，在区间上是减函数
B.在区间上是增函数，在区间上是减函数
C.在区间上是减函数，在区间上是增函数
D.在区间上是减函数，在区间上是增函数
【答案】B
【分析】由可知图象关于对称，又因为为偶函数图象关于对称，可得到为周期函数且最小正周期为2，结合在区间上是减函数，可得如右草图.故选B
8、（天津理9） 设均为正数，且则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由可知，由可知，由可知，
从而.故选A
9、（天津文4）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
解析：∵由指、对函数的性质可知：, , ∴有.
10、（天津文5）函数的反函数是（ ）
A． B．
C． D．
解析：由得,即,故反函数是,再根据原函数的值域为反函数的定义域则有: ∵,则,
∴,故反函数的定义域为,则有.
11、（天津文10)设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解.A【解析】（排除法）当则得,
即在时恒成立,
而最大值,是当时出现,故的最大值为0,
则恒成立,排除B,C项,同理再验证时, 不成立,故排除D项.
12、（广东文3）若函数f(x)=x3(x∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是
A．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数
C．单凋递增的偶函数 D．单涮递增的奇函数
【解析】函数单调递减且为奇函数,选(B).
13、（山东理4） 设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为
（A） （B） （C） （D）
【答案】:A【分析】：观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。
14、（全国2理4）以下四个数中的最大者是
(A) (ln2)2 (B) ln(ln2) (C) ln (D) ln2
解．∵ ，∴ ln(ln2)<0，(ln2)2< ln2，而ln=ln2
1，选D
26、（湖南理6文8）函数的图象和函数的图象
的交点个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B.
【解析】由图像易知交点共有3个。
27、（湖南理7）下列四个命题中，不正确的是（ ）
A．若函数在处连续，则
B．函数的不连续点是和
C．若函数、满足，则
D．
【答案】C.
【解析】的前提是必须都存在！
28、（江西理2）（ ）
Ａ．等于 Ｂ．等于 Ｃ．等于 Ｄ．不存在
解析：=，选B
29、（江西文3）函数的定义域为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解析：选A.
30、（湖北文4）函数y=(x<0)的反函数是
A.y=log2(x<-1) B.y＝log2(x>1)
C.y=log2 (x<-1) D.y＝log2(x>1)
答案：选A
解析：由y=（x<0）得y<-1且
（y<-1），所以所求的反函数为y=log2(x<-1)，故选A
31、（浙江理10）设是二次函数，若的值域是，
则的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】：C
【分析】：要的值域是，则又是二次函数，
定义域连续，故不可能同时结合选项只能选C.
32、（重庆理9）已知定义域为R的函数f(x)在上为减函数，且函数y=f(x+8)函数为偶函数，
则（ ）
A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)
【答案】：D
【分析】：y=f(x+8)为偶函数，即关于直线对称。
又f(x)在上为减函数，故在上为增函数， 检验知选D。
33、（重庆文10）设P（3，1）为二次函数的图象与其
反函数的图象的一个交点，则
（A） （B）
（C） （D）
【答案】：C
【分析】：P（3，1）为二次函数上的点，
又P（3，1）为反函数上的点，则P（1，3）在原函数上，
联立解得
34、（辽宁文理2）若函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点（ ）
A． B． C． D．
解析：根据反函数定义知反函数图像过（1，5），则原函数图像过点（5，1），选C
35、（辽宁文9）函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
解析：定义域为∪，排除A、C，根据复合函数的单调性知的单调增区间为，选D
36、（四川文理2）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
解析：选C．注意 的图象是由的图象右移1而得．本题考查函数图象的平移法则．
37、（四川理3）（ ）
（A）0 （B）1 （C） （D）
解析：选D．本题考查型的极限．原式或原式
．
38、（陕西文理8）若函数f(x)的反函数为f,则函数f(x-1)与f的图象可能是
解析：函数f(x-1)与f的图象是f（x）与f的图象向右平移一个单位得到。选A
39、（陕西文2）函数的定义域为
（A）［0，1］ （B）（-1，1）
（C）［-1，1］ （D）（-∞，-1）∪（1，+∞）
解析：由1-x2>0得-10)在x = 1处取得极值，其中a,b,c为常数。
（1）试确定a,b的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范围。
解：（I）由题意知，因此，从而．
又对求导得．
由题意，因此，解得．
（II）由（I）知（），令，解得．
当时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数．
因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．
（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需．
即，从而，
解得或．
所以的取值范围为．
5、（浙江理）设，对任意实数，记．
（I）求函数的单调区间；
（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．
（I）解：．由，得．
因为当时，，当时，，当时，，
故所求函数的单调递增区间是，；单调递减区间是．
（II）证明：（i）方法一：令，
则，当时，由，得，当时，，
所以在内的最小值是．
故当时，对任意正实数成立．
方法二：
对任意固定的，令，则，
由，得．当时，．当时，，
所以当时，取得最大值．
因此当时，对任意正实数成立．
（ii）方法一：．由（i）得，对任意正实数成立．
即存在正实数，使得对任意正实数成立．
下面证明的唯一性：当，，时，
，，由（i）得，，
再取，得，所以，
即时，不满足对任意都成立．
故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
方法二：对任意，，因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：，
即， ①又因为，不等式①成立的充分必要条件是，
所以有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
6（天津理）已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．
本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．
（Ⅰ）解：当时，，，
又，．
所以，曲线在点处的切线方程为，
即．
（Ⅱ）解：．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：
0
0
减函数
极小值
增函数
极大值
减函数
所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．
函数在处取得极小值，且，
函数在处取得极大值，且．
（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：
0
0
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．
函数在处取得极大值，且．
函数在处取得极小值，且．
7、（四川理）设函数.
(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;
(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞
(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.
本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。
（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是
（Ⅱ）证法一：因
证法二：
因
而
故只需对和进行比较。
令，有
由，得
因为当时，，单调递减；当时，，
单调递增，所以在处有极小值
故当时，，
从而有，亦即
故有恒成立。
所以，原不等式成立。
（Ⅲ）对，且
有
又因，故
∵，从而有成立，
即存在，使得恒成立。
8、（陕西理）设函数f(x)=其中a为实数.
(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;
(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.
解：（Ⅰ）的定义域为，恒成立，，
，即当时的定义域为．
（Ⅱ），令，得．
由，得或，又，
时，由得；
当时，；当时，由得，
即当时，的单调减区间为；
当时，的单调减区间为．
9、（山东理）设函数，其中．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．
解(I) 函数的定义域为.
，
令，则在上递增，在上递减，
.当时，，
在上恒成立.
即当时,函数在定义域上单调递增。
（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.
（2）当时，，时，
时，时，函数在上无极值点。
（3）当时，解得两个不同解，.
当时，，，
此时在上有唯一的极小值点.
当时，
在都大于0 ，在上小于0 ，
此时有一个极大值点和一个极小值点.
综上可知，时，在上有唯一的极小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；
时，函数在上无极值点。
（III） 当时，
令则在上恒正，
在上单调递增，当时，恒有.
即当时，有，
对任意正整数，取得
【试题分析】函数的单调性、导数的应用、不等式的证明方法。(I)通过判断导函数的正负来确定函数的单调性是是和定义域共同作用的结果；（II）需要分类讨论，由（I）可知分类的标准为（III）构造新函数为证明不等式“服务”，构造函数的依据是不等式关系中隐含的易于判断的函数关系。用导数解决函数的单调性问题一直是各省市高考及各地市高考模拟试题的重点，究其原因，应该有三条：这里是知识的交汇处，这里是导数的主阵地，这里是思维的制高点.此类问题的一般步骤都能掌握，但重要的是求导后的细节问题------参数的取值范围是否影响了函数的单调性？因而需要进行分类讨论判断：当参数给出了明确的取值范围后，应根据导函数的特点迅速判断或。参数取某些特定值时，可直观作出判断，单列为一类；不能作出直观判断的，再分为一类，用通法解决.另外要注意由求得的根不一定就是极值点，需要判断在该点两侧的异号性后才能称为 “极值点”.
10、（全国卷二理）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：
解：（1）的导数．曲线在点处的切线方程为：，即．
（2）如果有一条切线过点，则存在，使．
若过点可作曲线的三条切线，则方程
有三个相异的实数根．记，则．
当变化时，变化情况如下表：
0
0
0
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．
综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即 ．
11、（全国卷一理）设函数．
（Ⅰ）证明：的导数；
（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．
解：（Ⅰ）的导数．由于，故．
（当且仅当时，等号成立）．
（Ⅱ）令，则，
（ⅰ）若，当时，，
故在上为增函数，
所以，时，，即．
（ⅱ）若，方程的正根为，
此时，若，则，故在该区间为减函数．
所以，时，，即，与题设相矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是．
设函数
（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．
12、（江西理）如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为．
（1）求和的值；
（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．
解：（1）将，代入函数得，因为，所以．
又因为，，，所以，因此．
（2）因为点，是的中点，，点的坐标为．
又因为点在的图象上，所以．
因为，所以，
从而得或．即或．
13、（湖南理）如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（），且，点到平面的距离（km）．沿山脚原有一段笔直的公路可供利用．从点到山脚修路的造价为万元/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为km（）时，其造价为万元．已知，，，．
（I）在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小；
（II） 对于（I）中得到的点，在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小．
（III）在上是否存在两个不同的点，，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论．
Ｏ
A
E
D
B
H
P
解：（I）如图，，，，
由三垂线定理逆定理知，，所以是
山坡与所成二面角的平面角，则，
．设，．
则．
记总造价为万元，
据题设有
当，即时，总造价最小．
（II）设，，总造价为万元，根据题设有
．
则，由，得．
当时，，在内是减函数；
当时，，在内是增函数．
故当，即（km）时总造价最小，且最小总造价为万元．
（III）解法一：不存在这样的点，．
事实上，在上任取不同的两点，．为使总造价最小，显然不能位于 与之间．故可设位于与之间，且=，，，总造价为万元，则．类似于（I）、（II）讨论知，，，当且仅当，同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时，，取得最小值，点分别与点重合，所以不存在这样的点 ，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价．
解法二：同解法一得
．
当且仅当且，即同时成立时，取得最小值，以上同解法一．
14、（湖北理）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用表示，并求的最大值；
（II）求证：（）．
本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．
，，由题意，．
即由得：，或（舍去）．
即有．
令，则．于是
当，即时，；
当，即时，．
故在为增函数，在为减函数，
于是在的最大值为．
（Ⅱ）设，
则．
故在为减函数，在为增函数，
于是函数在上的最小值是．
故当时，有，即当时，．
15、（广东理）如图6所示，等腰三角形△ABC的底边AB=，高CD=3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACEF的体积。
（1）求V(x)的表达式；
（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？
（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。
（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，，
V(x)=（）
（2），所以时， ，V(x)单调递增；时 ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值；
（3）过F作MF//AC交AD与M,则，PM=，
，
在△PFM中， ，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为；
16、（广东理）已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……）
（1）求的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有>a；
（3）记（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn。
解析：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，
∴；
（2），
=，∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……，（n=1,2,……），
（3），而，即，
，同理，，又
17、（福建理）已知函数
（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；
（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（Ⅲ）设函数，求证：．
本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．
解：（Ⅰ）由得，所以．
由得，故的单调递增区间是，
由得，故的单调递减区间是．
（Ⅱ）由可知是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立．
由得．
①当时，．
此时在上单调递增．
故，符合题意．
②当时，．
当变化时的变化情况如下表：
单调递减
极小值
单调递增
由此可得，在上，．
依题意，，又．
综合①，②得，实数的取值范围是．
（Ⅲ），
，
，
由此得，
故．
18、（北京理）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．
（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；
（II）求面积的最大值．
解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为．
点的纵坐标满足方程，
解得
，
其定义域为．
（II）记，
则．
令，得．
因为当时，；当时，，所以是的最大值．
因此，当时，也取得最大值，最大值为．
即梯形面积的最大值为．
19、（安徽理）设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.
（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.
本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分．
（Ⅰ）解：根据求导法则有，
故，
于是，
列表如下：
2
0
极小值
故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．
（Ⅱ）证明：由知，的极小值．
于是由上表知，对一切，恒有．
从而当时，恒有，故在内单调增加．
所以当时，，即．
故当时，恒有．
