- 2021-04-20 发布 |
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文档介绍
高二数学同步单元练习(必修2) 专题03 空间几何体的表面积与体积(a卷) word版含解析
(测试时间:120 分钟 满分:150 分) 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 如图,ABC-A′B′C′是体积为 1 的棱柱,则四棱锥 C-AA′B′B 的体积是( ) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 解析:选 C ∵VC-A′B′C′=1 3 V 柱=1 3 , ∴VC-AA′B′B=1-1 3 =2 3 . 2. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4π,那么圆柱的体积等于( ) A.π B.2π C.4π D.8π 3. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体 积为( ) A.6 B.9 C.12 D.18 解析:选 B 由三视图可知该几何体为底面是斜边为 6 的等腰直角三角形,高为 3 的三棱锥, 其体积为1 3 ×1 2 ×6×3×3=9. 4. 一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A.48 B.32+8 17 C.48+8 17 D.80 5. 设图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) A.9 2 π+12 B.9 2 π+18 C.9π+42 D.36π+18 解析:选 B 由三视图可判断此几何体是球与长方体的组合体,其体积 V=4π 3 3 2 3+32×2=9π 2 +18. 6.两个球的体积之比为 8∶27,那么这两个球的表面积之比为( ) A.2∶3 B.4∶9 C. 2∶ 3 D. 8∶ 27 解析:选 B 设两个球的半径分别为 r1,r2,则V1 V2 =r3 1 r3 2 = 8 27 .∴r1 r2 =2 3 ,S1 S2 =r2 1 r2 2 =4 9 . 7.用与球心距离为 1 的平面去截球,所得截面圆的面积为π,则球的表面积为( ) A.8π 3 B.32π 3 C.8π D.8 2π 3 解析:选 C 设球的半径为 R,则截面圆的半径为 R2-1,∴截面圆的面积为 S=π( R2-1)2 =(R2-1)π=π,∴R2=2,∴球的表面积 S=4πR2=8π. 8.设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ) A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2 解析:选 B 由于长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,则长方体的体对角线为 2a 2+a2+a2 = 6a,又长方体的外接球的直径 2R 等于长方体的体对角线,所以 2R= 6a,则 S 球=4πR2 =4π 6 2 a 2=6πa2. 9.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的 3 倍,则圆锥的侧面面积和球的表面积之比 为( ) A.4∶3 B.3∶1 C.3∶2 D.9∶4 解析:选 C 作轴截面如图,则 PO=2OD,∠CPB=30°,CB= 3 3 PC= 3r,PB=2 3r,圆锥 侧面积 S1=6πr2,球的面积 S2=4πr2,S1∶S2=3∶2. 10. 平面α截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α的距离为 2,则此球的体积为 ( ) A. 6π B.4 3π C.4 6π D.6 3π 11.已知长方体的长、宽、高分别是 3,4,5,且它的 8 个顶点都在同一球面上,则这个球的 表面积是( ) A.25π B.50π C. 125π D.都不对 B 由题意知球为长方体的外接球.设球的半径为 R,则(2R)2=32+42+52,∴R2=25 2 ,∴S 球 =4πR2=4π×25 2 =50π. 12.一个空间几何体的三视图如图 L135 所示,其中正视图为等腰直角三角形,侧视图与俯 视图均为正方形,则该几何体的体积和表面积分别为( ) 图 L135 A.64,48+16 2 B.32,48+16 2 C.64 3 ,32+16 2 D.32 3 ,48+16 2 B 由三视图可知,该几何体是一个三棱柱,其直观图如图所示. 体积 V=1 2 ×4×4×4=32,表面积 S=2×1 2 ×42+4×(4+4+4 2)=48+16 2. 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E、F 分别为线段 AA1、B1C 上的点,则三棱锥 D1-EDF 的体积为________. 14.一个正四棱台,其上、下底面均为正方形,边长分别为 8 cm 和 18 cm,侧棱长为 13 cm, 则其表面积为________. 解析:由已知可得正四棱台侧面梯形的高为 h= 132- 18-8 2 2=12 (cm), 所以 S 侧=4×1 2 ×(8+18)×12=624 (cm2),S 上底=8×8=64(cm2),S 下底=18×18=324(cm2), 于是表面积为 S=624+64+324=1 012(cm2). 答案:1 012 cm2 15. 圆柱形容器的内壁底半径是 10 cm,有一个实心铁球浸没于容器的水中,若取出这个铁 球,测得容器的水面下降了5 3 cm,则这个铁球的表面积为________ cm2. 解析:设该铁球的半径为 r,则由题意得4 3 πr3=π×102×5 3 ,解得 r3=53,∴r=5,∴这个铁 球的表面积 S=4π×52=100π(cm2). 答案:100π 16.球内切于正方体的六个面,正方体的棱长为 a,则球的表面积为________. 答案:πa2 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.如图是某几何体的三视图. (1)画出它的直观图(不要求写画法); (2)求这个几何体的表面积和体积. 解:(1)这个几何体的直观图如图所示. (2)这个几何体是一个简单组合体,它的下部是一个圆柱(底面半径为 1,高为 2),它的上部 是一个圆锥(底面半径为 1,母线长为 2,高为 3),所以所求表面积为 S=π×12+2π×1×2 +π× 1×2=7π,体积为 V=π×12×2+1 3 ×π×12× 3=2π+ 3 3 π. 18.已知正三棱锥 V-ABC 的正视图、俯视图如图所示,其中 VA=4,AC=2 3,求该三棱锥的 表面积. 解:由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示, 且 VA=VB=VC=4,AB=BC=AC=2 3. 取 BC 的中点 D,连接 VD, 则 VD⊥BC,有 VD= VB2-BD2= 42- 3 2= 13, 则 S△VBC=1 2 ×VD×BC=1 2 × 13×2 3= 39, S△ABC=1 2 ×(2 3)2× 3 2 =3 3, 所以,三棱锥 V-ABC 的表面积为 3S△VBC+S△ABC=3 39+3 3=3( 39+ 3). 19. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为多少? 该几何体的体积 V=2V 球+V 长方体 =2×4 3 π 3 2 3+6×1×3 =18+9π. 20.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中 r=1,l =3,试求该组合体的表面积和体积. 解:该组合体的表面积 S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π,该组合体的体积 V=4 3 πr3+πr2l=4 3 π×13+ π×12×3=13π 3 . 21.(2012·潍坊高一检测)用两个平行平面去截半径为 R 的球面,两个截面圆的半径为 r1= 24 cm,r2=15 cm,两截面间的距离为 d=27 cm,求球的表面积. ∴S 球=4πR2=2 500π(cm2). 22.如图所示,在四边形 ABCD 中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2 2,AD=2, 求四边形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周所成的几何体的表面积及体积. 解:易知所得的几何体是由一个圆台截去一个圆锥所得的组合体, 且 CE=DE=AD=2,BC=5,则 S 表面=S 圆台底面+S 圆台侧面+S 圆锥侧面=π×52+π×(2+5)×5+π× 2×2 2=60π+4 2π, V=V 圆台-V 圆锥=1 3 π(22+2×5+52)×4-1 3 π×22×2=148 3 π.查看更多