四川省巴中市2020届高三第一次诊断性数学（文）试题 Word版含解析

四川省巴中市2020届高三第一次诊断性数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 巴中市普通高中2017级“一诊”考试数学（文科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.‎ ‎1.复数z=在复平面内对应的点位于（　　）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标后即可得到答案．‎ ‎【详解】由题意得，‎ 所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的几何意义，属于基础题．‎ ‎2.已知集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 集合A,B分别表示抛物线，直线上的点构成的集合，其交点构成集合即为交集.‎ ‎【详解】由解得或，‎ ‎，‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集，求直线与抛物线交点，属于容易题.‎ ‎3.设，，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ - 24 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用相关知识分析各值的范围，即可比较大小.‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，对数函数的单调性，属于中档题.‎ ‎4.已知变量、之间的线性回归方程为，且变量、之间的一-组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（ ）‎ A. 可以预测，当时， B. ‎ C. 变量、之间呈负相关关系 D. 该回归直线必过点 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将的值代入回归直线方程可判断出A选项的正误；将的坐标代入回归直线方程可计算出实数的值，可判断出B选项的正误；根据回归直线方程的斜率的正负可判断出C选项的正误；根据回归直线过点可判断出D选项的正误.‎ ‎【详解】对于A选项，当时，，A选项正确；‎ - 24 -‎ 对于B选项，，，将点的坐标代入回归直线方程得，解得，B选项错误；‎ 对于C选项，由于回归直线方程的斜率为负，则变量、之间呈负相关关系，C选项正确；‎ 对于D选项，由B选项可知，回归直线必过点，D选项正确.故选B.‎ ‎【点睛】本题考查回归直线方程有关命题的判断，解题时要熟悉与回归直线有关的结论，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎5.已知点，，不共线，则“与的夹角为”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量数量积的性质,可判断与与的夹角为的推出关系，即可求解.‎ ‎【详解】当与的夹角为时 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，‎ ‎，‎ 化简得：，‎ ‎ ，，不共线，‎ 与的夹角为锐角，‎ 所以“与的夹角为”是“”的充分不必要条件，‎ 故选：A - 24 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了数量积的运算性质，充分不必要条件，属于中档题.‎ ‎6.下列关于函数和函数的结论，正确的是( )‎ A. 值域是 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦函数的值域，周期性分别分析即可.‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故A错误D正确，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故B,C错误，‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了正弦函数的值域，周期性，属于容易题.‎ ‎7.已知函数，则其导函数的图象大致是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ 求函数导数，观察图象，确定导函数的奇偶性，再利用导数确定导函数的单调性，即可求解.‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ ‎,‎ 即函数为奇函数，排除B,D选项，‎ 令，‎ 则，‎ 当时，，‎ 在上单调递减，‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了函数的导数，利用导数判定函数单调性，函数的奇偶性，属于中档题.‎ ‎8.设，为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中所有正确命题序号是( )‎ A. ③④ B. ②④ C. ①② D. ①③‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在①中，与相交或平行；在②中，或；在③中，由线面垂直的性质定定理得；在④中，由线面垂直的判定定理得．‎ ‎【详解】由，为空间两条不同的直线，、为空间两个不同的平面，知：‎ 在①中，若，，则与相交或平行，故①错误；‎ 在②中，若，，则或，故②错误；‎ - 24 -‎ 在③中，若，，则由线面垂直的性质定理得，故③正确；‎ 在④中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故④正确．‎ 故答案为：③④．‎ ‎【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎9.已知双曲线：（，）的一条渐近线的倾斜角为140°，则的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线方程，列出关系式，即可求解双曲线的离心率.‎ ‎【详解】渐近线的倾斜角为140°‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎10.函数、分别是定义在上的偶函数、奇函数，且，若关于的方程在区间内有解，则实数的最小值为( )‎ A. 4 B. C. 8 D. ‎ ‎【答案】B - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的奇偶性，构造方程可解的，原方程有解可转化为在有解，换元，求函数的最小值即可.‎ ‎【详解】,‎ ‎，‎ 又函数、分别是定义在上的偶函数、奇函数,‎ ‎,‎ ‎，，‎ ‎ 在有解，‎ 在内有解，‎ 令，是增函数，‎ 则，‎ 即在有解，‎ ‎，当且仅当时，等号成立，‎ 的最小值，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的运用，函数与方程，均值不等式，换元法，属于中档题.‎ ‎.‎ ‎11.如图，在直三棱柱中，，，则四棱锥 - 24 -‎ 的外接球的体积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接，由, , 都是以为斜边的直角三角形可知球的直径为，即可求解.‎ ‎【详解】连接,‎ ‎,,,‎ 平面,‎ 平面,‎ ‎,‎ ‎, , 都是以为斜边的直角三角形,‎ 是四棱锥的外接球的直径，‎ - 24 -‎ ‎，‎ 在中，可解得，‎ ‎，‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了四棱锥的外接球，利用直角三角形确定球的直径是关键，属于中档题.‎ ‎12.已知函数（），若方程恰有3个不同的根，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，当时显然方程有一个根，问题转化为当时，有2个根，即与的图象有2个交点，求出特殊位置相切时斜率即可求解.‎ ‎【详解】当时，即为，‎ 即，‎ 所以方程有1根，‎ 又方程恰有3个不同的根，‎ 所以当时，有2个根，‎ 即有2个根，‎ 所以与的图象有2个交点，‎ 设过原点与相切的直线切点为，‎ - 24 -‎ 则切线斜率，‎ 解得，‎ 所以，‎ 所以与有2个交点则需，‎ 即，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了函数与方程，由方程根的个数求参数，直线与曲线相切，属于中档题.‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数运算法则求解即可.‎ ‎【详解】,‎ 故答案为：0‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数的运算法则，属于容易题.‎ ‎14.已知，则________.‎ ‎【答案】-3.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两角差的正切公式展开，解关于的方程．‎ ‎【详解】因为，所以．‎ ‎【点睛】本题考查两角差正切公式的简单应用，注意公式的特点：分子是减号，分母是加号．‎ ‎15.已知抛物线：（）的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于 - 24 -‎ ‎，两点，交于点，若，则________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的定义，利用平行线分线段成比例，即可推导出所求结果.‎ ‎【详解】过P，Q分别作PM,QN垂直准线于,如图：‎ ‎，‎ ‎,‎ 由抛物线定义知，‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ - 24 -‎ ‎，‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的简单几何性质，属于中档题.‎ ‎16.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积“三斜公式”，设的三个内角的对边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为.若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件求出，代入求解即可.‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，考查了推理能力，计算能力，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 - 24 -‎ ‎17.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，是棱的中点.‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)在棱上是否存在点，使得平面？并说明理由.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)存在，理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证明平面，可得平面平面，由面面垂直的性质可证平面（2）取中点，连接，，根据平行四边形可得线线平行，即可证明线面平行.‎ ‎【详解】(1)由底面是矩形，知，‎ 又，平面 平面 又平面 平面平面 由，是棱的中点得：‎ 平面平面 ， 平面 平面 ‎(2)在棱上存在点，使得平面，且为的中点.‎ 证明如下：如图 - 24 -‎ 取中点，连接，‎ 在矩形中，，‎ 四边形平行四边形 平面，平面 平面.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质，线面平行的判定，属于中档题.‎ ‎18.已知各项均为正数的数列的前项和满足（）.‎ ‎(1)证明：数列是等差数列，并求其通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)证明见解析，；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据与的递推关系的关系求出通项公式即可（2）由（1）可知，利用分组求和的方法，根据等差数列和等比数列的求和公式即可求解.‎ ‎【详解】(1)由知：‎ 当时，有， ，解得 由， 两式相减，得：‎ ‎，化简得：‎ - 24 -‎ 变形得：‎ 对，有 ‎，即 故 数列是以1为首项，2为公差的等差数列 ‎(2)，‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，等差数列、等比数列的求和公式，分组求和，属于中档题.‎ ‎19.“绿水青山就是金山银山”，“建设美丽中国”已成为新时代中国特色社会主义生态文明建设的重要内容，某班在一次研学旅行活动中，为了解某苗圃基地的柏树幼苗生长情况，在这些树苗中随机抽取了120株测量高度（单位：），经统计，树苗的高度均在区间内，将其按，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.据当地柏树苗生长规律，高度不低于的为优质树苗.‎ - 24 -‎ ‎(1)求图中的值；‎ ‎(2)已知所抽取的这120株树苗来自于，两个试验区，部分数据如下列联表：‎ 试验区 试验区 合计 优质树苗 ‎20‎ 非优质树苗 ‎60‎ 合计 将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与，两个试验区有关系，并说明理由；‎ ‎(3)通过用分层抽样方法从试验区被选中的树苗中抽取5株，若从这5株树苗中随机抽取2株，求优质树苗和非优质树苗各有1株的概率.‎ 附：参考公式与参考数据：‎ 其中 ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎6.635‎ ‎7879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1)0.025；(2)没有，理由见解析；(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图计算即可（2）由题意完善列联表，计算，比较临界值即可得出结论（3）根据分层抽样抽出的5株树苗中优质树苗和非优质树苗分别为2株和3株，记2株优质树苗为、，记3株非优质树苗为、、，列出基本事件，利用古典概型求解即可.‎ - 24 -‎ ‎【详解】(1)根据频率直方图数据，有，解得：.‎ ‎(2)根据频率直方图可知，样本中优质树苗棵树有 列联表如下：‎ 试验区 试验区 合计 优质树苗 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 非优质树苗 ‎60‎ ‎30‎ ‎90‎ 合计 ‎70‎ ‎50‎ ‎120‎ 可得；‎ 所以，没有99.9%的把握认为优质树苗与两个试验区有关系 注：也可由得出结论 ‎(3)由(2)知：试验区选中的树苗中优质树苗有20株，非优质树苗有30‎ 故用分层抽样在这50株抽出的5株树苗中优质树苗和非优质树苗分别为2株和3株 记2株优质树苗为、，记3株非优质树苗为、、‎ 则从这5株树苗中随机抽取2株的共有以下10种不同结果：‎ ‎，，，，，，，，，，‎ 其中，优质树苗和非优质树苗各有1株的共有以下共6种不同结果：‎ ‎，，，，，‎ 优质树苗和非优质树苗各有1株的概率为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，独立性检验，古典概型，属于中档题.‎ - 24 -‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)当时，求函数的单调区间及极值；‎ ‎(2)当时，求证：.‎ ‎【答案】(1)的单调增区间为，单调减区间为；，没有极小值；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求函数的导数，利用导数求函数的单调区间、极值即可（2）构造函数，利用导数，分类讨论求函数的最小值，转化为最小值不小于0即可，也可构造函数后变换主元为求其最大值也可证明.‎ ‎【详解】(1)当时，，在上单调递减 由得：‎ 当时，；当时，‎ 函数的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎，但没有极小值.‎ ‎(2)证明：‎ 证法一 令 ‎①当时，，故 ‎②当时，在上是增函数 由得：‎ 当时，，在上单调递减 当时，，在上单调递增 - 24 -‎ 由知：‎ ‎，于是 ‎，即 综上所述，当时，.‎ 证法二 即，其中，‎ 以为主元，设，，则 当时，.‎ 由知对任意成立.‎ 令，则在上单调递减 又 当时，；当时，‎ 对任意，都有，即 综上所述，当时，.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数求函数单调区间及极值，利用导数证明不等式恒成立，属于难题.‎ ‎21.在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足直线与的斜率之积为.记点的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求的方程，并说明是什么曲线；‎ - 24 -‎ ‎(2)若，是曲线上的动点，且直线过点，问在轴上是否存在定点，使得？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1)，椭圆；(2)存在，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）写出斜率，根据斜率之积为建立方程，化简即可（2）假设存在的定点，分MN斜率存在或不存在两种情况讨论，设，，当MN斜率存在时，联立方程可求出，根据两角相等可得，化简即可求出m,验证MN斜率不存在时也成立即可.‎ ‎【详解】(1)由题意得：‎ 化简得：‎ 曲线的方程为 是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆（不含左、右顶点）‎ ‎(2)假设存在的定点符合题意 由题意知：直线的斜率分别为，‎ 由题意及(1)知：直线与直线均不重合.‎ 当直线的斜率存在时 设其方程为，，‎ 由，得直线的倾斜角互补，故 - 24 -‎ 又 ‎①‎ 由消去，整理得：.‎ 又，②‎ 代②入①得：③‎ 当时，又不恒为０‎ 当且仅当时，③式成立，即定点满足题意.‎ 当直线的斜率不存在时，点满足，也符合题意.‎ 综上所述，在 轴上存在定点，使得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系，定点问题，属于难题.‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.选修4－4：坐标系与参数方程:在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数，)．在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.‎ ‎(1)当时，求与的交点的极坐标；‎ ‎(2)直线与曲线交于两点，且两点对应的参数互为相反数，求的值．‎ - 24 -‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为，联立解出方程组即可；（2）把直线的参数方程代入曲线，根据结合韦达定理可得结果.‎ 试题解析：（1）由，可得，‎ 所以，即，‎ ‎当时，直线的参数方程（为参数），化为直角坐标方程为，‎ 联立解得交点或，‎ 化为极坐标为，‎ ‎（2）把直线的参数方程代入曲线，得，‎ 可知，，‎ 所以．‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.‎ ‎(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) {x|x≥4或x≤1}；(2) [－3，0].‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围 - 24 -‎ 试题解析：（1）当a＝－3时，f（x）＝‎ 当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；‎ 当2＜x＜3时，f（x）≥3无解；‎ 当x≥3时，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4.‎ 所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． 6分 ‎（2）f（x）≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.‎ 当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|（4－x）－（2－x）≥|x＋a|‎ ‎－2－a≤x≤2－a，‎ 由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，‎ 故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．‎ 考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数 - 24 -‎ ‎ ‎ - 24 -‎