四川省成都市2020届高三第一次诊断性检测理科数学(文)试题

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文档介绍

四川省成都市2020届高三第一次诊断性检测理科数学(文)试题

成都市2017级高中毕业班第一次诊断性检测 数 学(文科)‎ 第Ⅰ卷(选择题,共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数与(为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复平面的对称得到答案.‎ ‎【详解】数与(为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称,则 故选:‎ ‎【点睛】本题考查了复平面的对称问题,属于简单题.‎ ‎2.已知集合,,若,则实数的值为( )‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合并集的定义即可得到答案.‎ ‎【详解】集合,,且,所以或.‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查集合并集的基本运算,属于基础题.‎ ‎3.若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得到,再利用二倍角公式得到答案.‎ ‎【详解】,‎ 故选:‎ ‎【点睛】本题考查了二倍角公式,意在考查学生的计算能力.‎ ‎4.已知命题:,,则为( )‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用全称命题的否定定义得到答案.‎ ‎【详解】命题:,,则为: ,‎ 故选:‎ ‎【点睛】本题考查了全称命题的否定,意在考查学生的推断能力.‎ ‎5.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类"的问卷测试,测试结果发现这100名同学的得分都在[50,100]内,按得分分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图,则这100名同学的得分的中位数为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据频率分布直方图求得中位数即可.‎ ‎【详解】在频率分步直方图中,小正方形的面积表示这组数据的频率,中位数为:.‎ 故选:A ‎【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识,直方图中的各个矩形的面积代表了频率,所有各个矩形面积之和为1,也考查了中位数,属于基础题.‎ ‎6.设等差数列的前项和为,且,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将S9,S5转化为用a5,a3表达的算式即可得到结论.‎ ‎【详解】由等差数列的前项和为,==,且,∴=×3=.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的前n项和,等差中项的性质,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎7.已知是空间中两个不同的平面,是空间中两条不同的直线,则下列说法正确的是( )‎ A. 若,,且,则 B. 若,,且,则 C. 若,,且,则 D. 若,,且,则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案.‎ ‎【详解】由m∥α,n∥β,且α∥β,得m∥n或m与n异面,故A错误;‎ 由m∥α,n∥β,且α⊥β,得m∥n或m与n相交或m与n异面,故B错误;‎ 由m⊥α,α∥β,得m⊥β,又n∥β,则m⊥n,故C正确;‎ 由m⊥α,n∥β且α⊥β,得m∥n或m与n相交或m与n异面,故D错误.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断与应用,考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系的判定与应用,考查空间想象能力与思维能力,属于中档题.‎ ‎8.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),再把所得图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,则函数的解析式为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的图象平移变换和伸缩变换的应用求出结果即可.‎ ‎【详解】函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到的图象,‎ 再把所得图象向左平移个单位长度,得到函数f(x)=的图象.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数图象的平移和伸缩变换的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题.‎ ‎9.已知抛物线的焦点为,是抛物线上两个不同的点若,则线段的中点到轴的距离为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离,可求出横坐标之和,进而求出中点的横坐标,求出结果即可.‎ ‎【详解】由抛物线方程,得其准线方程为:,设,,‎ 由抛物线的性质得,,中点的横坐标为,‎ 线段的中点到轴的距离为:.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线定义的应用,属于基础题.‎ ‎10.已知,,,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a,b的大小关系,利用对数函数的单调性即可得出c<1.‎ ‎【详解】∵=,且==,∴,.∴‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了根式的运算性质、幂函数的单调性、对数函数的单调性,属于基础题.‎ ‎11.已知直线与双曲线:相交于不同的两点,,为双曲线的左焦点,且满足,(为坐标原点),则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示:为双曲线右焦点,连接,计算得到,再利用余弦定理得到,化简得到答案.‎ ‎【详解】如图所示:为双曲线右焦点,连接,根据对称性知 ‎,, ‎ 在和中,分别利用余弦定理得到:‎ ‎,‎ 两式相加得到 ‎ 故选: ‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的离心率,根据条件计算出是解题的关键.‎ ‎12.已知定义在上的函数满足,当时,.若关于的方程有三个不相等的实数根,则实数的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的单调性和对称性画出函数图像,过定点,计算直线和曲线相切的情况计算斜率得到答案.‎ ‎【详解】当时,‎ 函数在上单调递减,在上单调递增,且 ‎,函数关于对称,过定点 ‎ 如图所示,画出函数图像:‎ 当与相切时,设切点为 ‎ 则 根据对称性考虑左边图像,根据图像验证知是方程唯一解,此时 故答案为 故选: ‎ ‎【点睛】本题考查了零点问题,对称问题,函数的单调性,画出函数图像是解题的关键.‎ 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.‎ ‎13.已知实数满足约束条件,则的最大值为_______.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值.‎ ‎【详解】作出实数x,y满足约束条件对应的平面区域如图:(阴影部分)‎ ‎ ‎ 由得y=﹣x+z,平移直线y=﹣x+z,‎ 由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时,直线y=﹣x+z的截距最大,此时z最大.‎ 由,解得A(2,2),代入目标函数z=x+2y得z=2×2+2=6.‎ 故答案为:6.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值,利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法,属于基础题.‎ ‎14.设正项等比数列满足,,则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知条件转化为基本量a1,q的方程组,解方程组得到a1,q,进而可以得到an.‎ ‎【详解】在正项等比数列中,,,‎ 得,解得,∴an==3•3n﹣1=3n.‎ 故答案为:3n ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,主要考查计算能力,属于基础题.‎ ‎15.已知平面向量,满足,,且,则向量与的夹角的大小为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得到,计算得到答案.‎ ‎【详解】设向量与的夹角为,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了向量的夹角,意在考查学生的计算能力.‎ ‎16.如图,在边长为2的正方形中,边,的中点分别为,,现将,,分别沿,,折起使点,,重合,重合后记为点,得到三棱锥.则三棱锥的外接球体积为____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两两垂直得到,代入体积公式计算得到答案.‎ ‎【详解】易知两两垂直,‎ 将三棱锥放入对应的长方体内得到 ‎ ‎ ‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题,将三棱锥放入对应的长方体是解题的关键.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在中,角的对边分别为,且.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若的面积为,且,求的周长.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知条件结合余弦定理可求cosA的值,进而根据同角三角函数基本关系式可求sinA的值.‎ ‎(2)利用三角形的面积公式可求bc的值,由正弦定理化简已知等式可得b=3c,解得b,c的值,根据余弦定理可求a的值,即可求解三角形的周长.‎ 详解】(1)∵,∴由余弦定理可得2bccosA=bc,∴cosA=,‎ ‎∴在△ABC中,sinA==.‎ ‎(2)∵△ABC的面积为,即bcsinA=bc=,∴bc=6,‎ 又∵sinB=3sinC,由正弦定理可得b=3c,∴b=3,c=2,则a2=b2+c2﹣2bccosA=6,‎ ‎,所以周长为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理,同角三角函数基本关系式,三角形的面积公式,正弦定理在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.‎ ‎18.某公司有l000名员工,其中男性员工400名,采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查,将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”,计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人.‎ ‎(Ⅰ)完成下列列联表,并判断是否有 把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关;‎ 属于“追光族”‎ 属于“观望者”‎ 合计 女性员工 男性员工 合计 ‎100‎ ‎(Ⅱ)已知被抽取的这l00名员工中有6名是人事部的员工,这6名中有3名属于“追光族”现从这6名中随机抽取3名,求抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的概率.‎ 附:,其中.‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(Ⅰ)表见解析,没有的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性別”有关.(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)完善列联表,计算得到结论.‎ ‎(Ⅱ)设人事部的这6名中的3名“追光族”分别为“,,”,3名“观望者”分别为“,,,列出所有情况计算得到答案.‎ 详解】(Ⅰ)由题,列联表如下:‎ 属于“追光族”‎ 属于“观望者”‎ 合计 女性员工 ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ 男性员工 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 合计 ‎40‎ ‎60‎ ‎100‎ ‎∵,‎ ‎∴没有的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性別”有关.‎ ‎(Ⅱ)设人事部的这6名中的3名“追光族”分别为“,,”,3名“观望者”分别为“,,”.则从人事部的这6名中随机抽取3名的所有可能情况有“;;;;;;;;;;;;;;;;;;;”共20种.‎ 其中,抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的所有可能情况有“;;;;;;;;”共9种.‎ ‎∴抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的概率.‎ ‎【点睛】本题考查了列联表,概率的计算,意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎19.如图,在四棱锥中,平面,底面为菱形,且,,分别为,的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面;‎ ‎(Ⅱ)点在棱上,且,证明:平面.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)证明和得到平面.‎ ‎(Ⅱ)根据相似得到证明平面.‎ ‎【详解】(Ⅰ)如图,连接.∵底面为菱形,且,‎ ‎∴三角形为正三角形.‎ ‎∵为的中点,∴.又∵平面,平面,‎ ‎∴.‎ ‎∵,平面,∴平面.‎ ‎(Ⅱ)连接交于点,连接.‎ ‎∵为的中点,∴在底面中,,∴.‎ ‎∴,∴在三角形中,.‎ 又∵平面,平面,‎ ‎∴平面.‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直和线面平行,意在考查学生的空间想象能力和推断能力.‎ ‎20.已知函数,,为函数的导函数.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性;‎ ‎(Ⅱ)当时,证明对任意的都成立.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)求导得到讨论,,和四种情况得到答案.‎ ‎(Ⅱ)要证明即,求导得到函数 得到证明.‎ ‎【详解】(Ⅰ).‎ ‎∵,,‎ ‎∴当时,,函数在内单调递减,在内单调递增;‎ 当时,,函数在内单调递增,‎ 在内单调递减,在内单调递增;‎ 当时,,函数在内单调递增;‎ 当时,,函数在内单调递增,在内单调递减,‎ 在内单调递增.‎ ‎(Ⅱ)当时,,,.‎ ‎∴.‎ 令,则.‎ 令,∵函数在内单调递增,,,‎ ‎∴存在唯一的,使得.‎ ‎∵当时,;当时,;‎ ‎∴函数在内单调递减,在内单调递增.‎ 又∵,,‎ ‎∴,即对任意的都成立.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性,恒成立问题,将恒成立问题转化为函数的最值是解题的关键 ‎21.已知椭圆:右焦点为,过点的直线(不与轴重合)与椭圆相交于,两点,直线:与轴相交于点,为线段的中点,直线与直线的交点为.‎ ‎(Ⅰ)求四边形(为坐标原点)面积的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)证明直线与轴平行.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)令直线:,联立方程利用韦达定理得到,,,换元带入化简得到答案.‎ ‎(Ⅱ)直线的方程为,令得,.代入(Ⅰ)中式子化简得到答案.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由题,,令直线:,,.‎ 联立消去,得.‎ ‎∵,,,‎ ‎∴.‎ ‎∴四边形的面积.‎ 令,∴,∴.‎ ‎∵(当且仅当即时取等号),∴.‎ ‎∴四边形面积的取值范围为.‎ ‎(Ⅱ)∵,,∴.‎ ‎∴直线的斜率,直线的方程为.‎ 令得,.……①‎ 由(Ⅰ),,.‎ ‎∴,.‎ 化简①,得.‎ ‎∴直线与轴平行.‎ ‎【点睛】本题考查了面积的范围,直线的平行问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ 请考生在第22,23题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.‎ ‎22.在平面直角坐标系中,已知是曲线:上的动点,将绕点顺时针旋转得到,设点的轨迹为曲线.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线,的极坐标方程;‎ ‎(2)在极坐标系中,点,射线与曲线,分别相交于异于极点的两点,求的面积.‎ ‎【答案】(1)曲线:,曲线:;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意,点Q的轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,写出其普通方程,再结合ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得曲线C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(2)在极坐标系中,设A,B的极径分别为ρ1,ρ2,求得|AB|=|ρ1﹣ρ2|,再求出M(3,)到射线的距离h=,即可求得△MAB的面积.‎ ‎【详解】(1)由题意,点Q的轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,则曲线C2:,‎ ‎∵ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ,曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ;‎ ‎(2)在极坐标系中,设A,B极径分别为ρ1,ρ2,‎ 又点到射线的距离为 的面积 ‎【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程,考查参数方程化普通方程,考查计算能力,属于中档题.‎ ‎23.已知函数 ‎(1)解不等式;‎ ‎(2)若,求证:‎ ‎【答案】(1);(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)原不等式可化为:|x﹣3|≥4﹣|2x+1|,即|2x+1|+|x﹣3|≥4,分段讨论求出即可;‎ ‎(2)由基本不等式得的最小值,转化为|x+|﹣f(x)≤恒成立即可.‎ ‎【详解】(1)原不等式化为,即 ‎①时,不等式化为,解得;‎ ‎②时,不等式化为,解得,;‎ ‎③时,不等式化为,解得,.‎ 综上可得:原不等式解集为.‎ ‎(2),‎ 当且仅当且时取等号.又,‎ ‎,‎ 当且仅当时取等号.‎ ‎【点睛】考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质,利用分类讨论的思想结合绝对值的性质和基本不等式的应用,属于中档题.‎ ‎ ‎
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