北京市中考数学试题解析

北京市中考数学试题解析

‎2016年北京市高级中等学校招生考试 数学试卷 一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。‎ ‎1. 如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为 ‎ （A） 45°‎ ‎ （B） 55°‎ ‎ （C） 125°‎ ‎ （D） 135°‎ 答案：B 考点：用量角器度量角。‎ 解析：由生活知识可知这个角小于90度，排除C、D，又OB边在50与60之间，所以，度数应为55°。‎ ‎2. 神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约28 000公里。将28 000用科学计数法表示应为 ‎ （A） （B） 28 （C） （D） 答案：C 考点：本题考查科学记数法。‎ 解析：科学记数的表示形式为形式，其中，n为整数，28000＝。故选C。‎ ‎3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 ‎ （A） a （B） （C） （D） 答案：D 考点：数轴，由数轴比较数的大小。‎ 解析：由数轴可知，－3＜a＜－2，故A、B错误；1＜b＜2，‎ ‎－2＜－b＜－1，即－b在－2与－1之间，所以，。‎ ‎4. 内角和为540的多边形是 答案：ｃ 考点：多边形的内角和。‎ 解析：多边形的内角和为，当n＝5时，内角和为540°，所以，选C。‎ ‎5. 右图是某个几何体的三视图，该几何体是 ‎ （A） 圆锥 （B） 三棱锥 ‎ ‎ （C） 圆柱 （D） 三棱柱 答案：D 考点：三视图，由三视图还原几何体。‎ 解析：该三视图的俯视为三角形，正视图和侧视图都是矩形，所以，这个几何体是三棱柱。‎ ‎6. 如果,那么代数的值是 ‎ （A） 2 （B）-2 （C） （D） 答案：A 考点：分式的运算，平方差公式。‎ 解析：＝＝＝＝2。‎ ‎7. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是 答案：D 考点：轴对称图形的辨别。‎ 解析：A、能作一条对称轴，上下翻折完全重合，B和C也能作一条对称轴，沿这条对称翻折，左右两部分完全重合，只有D不是轴对称图形。‎ ‎8. 在1-7月份，某种水果的每斤进价与出售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是 ‎ （A） 3月份 （B） 4月份 ‎ ‎（C） 5月份 （D） 6月份 答案：B 考点：统计图，考查分析数据的能力。‎ 解析：各月每斤利润：3月：7.5-4.5＝3元，‎ ‎4月：6-2.5＝3.5元，5月：4.5-2＝2.5元，‎ ‎6月：3-1.5＝1.5元，所以，4月利润最大，选B。‎ ‎9. 如图，直线,在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（－4，2），点B的坐标为（2，－4），则坐标原点为 ‎ （A） （B） （C） （D） 答案：A 考点：平面直角坐标系。‎ 解析：因为A点坐标为（－4,2），所以，原点在点A的右边，也在点A的下边2个单位处，‎ 从点B来看，B（2，－4），所以，原点在点B的左边，且在点B的上边4个单位处。如下图，O1符合。‎ ‎10. 为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增。计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%。为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单位：），绘制了统计图，如图所示，下面有四个推断：‎ ‎① 年用水量不超过180的该市居民家庭按第一档水价交费 ‎② 年用水量超过240的该市居民家庭按第三档水价交费 ‎③ 该市居民家庭年用水量的中位数在150-180之间 ‎④ 该市居民家庭年用水量的平均数不超过180‎ ‎（A） ①③ （B） ①④ （C）②③ （D）②④‎ 答案：B 考点：统计图，会用统计图中的数据分析问题。‎ 解析：年用水量不超过180的居民家庭有：0.25＋0.75＋1.5＋1＋0.5＝4（万），＝80%，‎ 所以，①正确；‎ 年用水量超过240的居民家庭有：0.15＋0.15＋0.05＝0.35（万），＝7%，故②不正确；‎ ‎30-120的有2.5万人，120－330的有2.5万人，中位数应该是120，故③不正确；‎ 由于中位数为120，用水量小于150的有3.5万人，所以该市居民家庭年用水量的平均数不超过180，④正确。‎ 二、填空题（本题共18分，每小题3分）‎ ‎11. 如果分式有意义，那么x的取值范围是 。‎ 答案：‎ 考点：分式的意义。‎ 解析：由分式的意义，知：，所以，‎ ‎12.右图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式： 。‎ 答案：（答案不唯一）‎ 考点：矩形的面积计算，用图形说明因式分解。‎ 解析：最大矩形的长为，宽为，所以，它的面积为；又最大矩形的面积为三个小矩形面积之和，三个小矩形的面积分别为：‎ ‎，所以，有 ‎13. 林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组统计数据：‎ 移植的棵数n ‎1 000‎ ‎1 500‎ ‎2 500‎ ‎4 000‎ ‎8 000‎ ‎15 000‎ ‎20 000‎ ‎30 000‎ 成活的棵数m ‎865‎ ‎1 356‎ ‎2 220‎ ‎3 500‎ ‎7 056‎ ‎13 170‎ ‎17 580‎ ‎26 430‎ 成活的频率 ‎0.865‎ ‎0.904‎ ‎0.888‎ ‎0.875‎ ‎0.882‎ ‎0.878‎ ‎0.879‎ ‎0.881‎ 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 。‎ 答案：0.881‎ 考点：频率估计概率。‎ 解析：用频率估计概率，数据越大，估计越准确，所以，移植幼树棵数越多，估算成活的概率越准确，因此0.881可作为估计值。‎ ‎14. 如图，小军、小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m,1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m,1.5m，则路灯的高为 m。‎ 答案：3‎ 考点：等腰三直角三角形判定与性质。‎ 解析：如下图，因为小军、小珠都身高与影长相等，所以，‎ ‎∠E＝∠F＝45°，所以，AB＝BE＝BF，设路灯的高AB为xm，‎ 则BD＝x－1.5，BC＝x－1.8，‎ 又CD＝2.7，所以，x－1.5＋x－1.8＝2.7，解得：x＝3（m）‎ ‎15. 百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“23 50”标示澳门面积，……，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等，则这个和为 。‎ 答案：505‎ 考点：考查学生的阅读能力，应用知识解决问题的能力。‎ 解析：1＋2＋3＋…＋100＝（1＋100）＋（2＋99）＋（3＋98）＋…＋（50＋51）＝5050，‎ 共10行，每一行的10个数之和相等，所以，每一行数字之和为：＝505。‎ ‎16. 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程。‎ 请回答：该作图的依据是 。‎ 答案： （1）到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在PQ的垂直平分线上）；（2）两点确定一条直线（AB垂直PQ）（其他正确依据也可以） ‎ 考点：线段的垂直平分线定理，尺规作图。‎ 解析：由作图可知，AP＝AQ，所以，点A在线段PQ的垂直平分线上，同理，点B也在线段PQ的垂直平分线上，所以，有AB⊥PQ。‎ 三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。‎ ‎17. 计算：.‎ 考点：实数的运算。‎ 解析：原式。‎ ‎18. 解不等式组： 考点：不等式组的求解。‎ 解析：。‎ ‎19. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分,交DC的延长线于点E.‎ ‎ 求证：DA=DE 考点：平行四边形的性质，两直线平行的性质，等角对等边。‎ 解析：‎ 证明： ‎ .‎ ‎20. 关于x的一元二次方程+(2m有两个不想等的实数根。‎ ‎ （1）求m的取值范围；‎ ‎ （2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根。‎ 考点：一元二次方程根的判别式及一元二次方程的求解。‎ 解析：（1）原方程有两个不相等实数根 ‎ 解得。‎ ‎（2），原方程为，即 。（m取其他值也可以）‎ ‎21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（－6，0）的直线与直线；y=2x相交于点B（m，4）。‎ ‎ （1）求直线的表达式；‎ ‎ （2）过动点P(n,0)且垂于x轴的直线与的交点分别为C,D,当点C位于点D上方时，写出n的取值范围。‎ 考点：函数图象，一次函数，不等式。‎ 解析：（1）点B在直线l2上 ，‎ 设l1的表达式为，由A、B两点均在直线l1上得到，，‎ 解得，则l1的表达式为。‎ ‎ （2）由图可知：，‎ 点C在点D的上方，所以，，解得：。‎ ‎22. 调查作业：了解你所住小区家庭5月份用气量情况。‎ ‎ 小天、小东和小芸三位同学住在同一小区，该小区共有300户家庭，每户家庭人数在2-5之间，这300户家庭的平均人数均为3.4.‎ ‎ 小天、小东、小芸各自对该小区家庭5月份用气量情况进行了抽样调查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3.‎ 表1 抽样调查小区4户家庭5月份用气量统计表 （单位：）‎ 家庭人数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 用气量 ‎14‎ ‎19‎ ‎21‎ ‎26‎ 表2 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表 （单位：）‎ 家庭人数 ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ 用气量 ‎10‎ ‎11‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎15‎ ‎17‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎18‎ ‎18‎ ‎18‎ ‎20‎ ‎22‎ 表3 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表 （单位：）‎ 家庭人数 ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ 用气量 ‎10‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎17‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎20‎ ‎22‎ ‎26‎ ‎31‎ ‎28‎ ‎31‎ 根据以上材料回答问题：‎ 小天、小东和小芸三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该小区家庭5月份用气量情况，并简要说明其他两位同学抽样调查地不足之处。‎ 考点：抽样调查，分析数据，解决问题的能力。‎ 解析：小芸，小天调查的样本容量较少；小东抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为，远远偏离了平均人数的3.4，所以他的数据抽样有明显问题；小芸抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为，说明小芸抽样数据质量较好，因此小芸的抽样调查的数据能较好的反映出该小区家庭5月份用气量情况。‎ ‎23. 如图，在四边形ABCD中，,AC=AD,M,N分别为AC,AD的中点，连接BM,MN,BN.‎ ‎ (1)求证：BM=MN;‎ ‎ (2),AC平分,AC=2,求BN的长。‎ 考点：三角形的中位线定理，勾股定理。‎ 解析：（1）证明：在中，M、N分别是AC、CD的中点 ‎ 在中，M是AC的中点 又 。‎ ‎（2）解：且AC平分 ‎ ‎ 由（1）知， ‎ ‎ 而由（1）知， 。‎ ‎24. 阅读下列材料：‎ 北京市正围绕“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心“的定位，深入实施”人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略。“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业。‎ ‎2011年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的12.1%。2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2189.2亿元，占地区生产总值的12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业。2013年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比上年增长9.1%。文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位。2014年，北京市文化创意产业实现增加值2749.3亿元，占地区生产总值的13.1%，创历史新高。2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%。‎ ‎ （以上数据来源于北京市统计局）‎ 根据以上材料解答下列问题：‎ ‎（1）用折线图将2011-2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据；‎ ‎（2）根据绘制的折线图中提供的信息，预估 2016年北京市文化创意产业实现增加值约 亿元，你的预估理由 。‎ 考点：考查学生的阅读能力，处理数据的能力。‎ 解析：（1）如下图：‎ ‎（2）3440（预估值在3376~3563之间都可以），近三年平均增长率作为预测2016年数据的依据（只要给出符合预测数据的合理的预测方法即可）‎ ‎25. 如图，AB为于点D，过点D作的切线，交BA的延长线于点E.‎ ‎ (1) 求证：AC∥DE: ‎ ‎ (2) 连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路。‎ 考点：圆的切线的性质定理，垂径定理，多边形面积的计算。‎ 解析：（1）证明：ED与相切于D ‎ ‎ F为弦AC的中点 ， ‎（2）解：①四边形DFAE为直角梯形，上底为AF，下底为DE，高为DF，有条件比较容易在直角三角形DOE中计算出DE长为，DF=，AF=，所以可以求出四边形DFAE的面积为；‎ ‎②在三角形CDF中，，且DF=a/2, FC=AF=，进而可以求解在三角形CDF的面积为；‎ ‎③四边形ACDE就是由四边形DFAE和三角形CDF组成的，进而可以得到四边形ACDE的面积就等于他们的面积和，为 ‎（本题也可以通过证明四边形ACDE为平行四边形，进而通过平行四边形面积公式求解，主要思路合理即可）。‎ ‎26. 已知y是x的函数，自变量x的取值范围,下表是y与x的几组对应值 x ‎…‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎1.98‎ ‎3.95‎ ‎2.63‎ ‎1.58‎ ‎1.13‎ ‎0.88‎ ‎…‎ 小腾根据学校函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究。‎ 下面是小腾的探究过程，请补充完整：‎ ‎（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点。根据描出的点，画出该函数的图象；‎ ‎（2）根据画出的函数图象，写出：‎ ‎①x＝4对应的函数值y约为 ；‎ ‎②该函数的一条性质： 。‎ 考点：函数图象，开放式数学问题。‎ 解析：‎ ‎（1）如下图：‎ ‎（2）①2（2.1到1.8之间都正确）‎ ‎②该函数有最大值（其他正确性质都可以）。‎ ‎27. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点为A,B.‎ ‎ (1)求抛物线的顶点坐标；‎ ‎ （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点。‎ ‎①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；‎ ‎②若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围。‎ 考点：二次函数的图象及其性质。‎ 解析：（1）解：将抛物线表达式变为顶点式，则抛物线顶点坐标为(1,-1)。‎ ‎（2）解：①时，抛物线表达式为，因此A、B的坐标分别为(0,0)和(2,0)，则线段AB上的整点有(0,0)，(1,0)，(2,0)共3个；‎ ‎②抛物线顶点为(1,-1)，则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令，得到A、B两点坐标分别为，‎ 即5个整点是以(1,0)为中心向两侧分散，进而得到，。‎ ‎28. 在等边中，‎ ‎ （1）如图1， P,Q是BC边上两点，AP=AQ,,求的度数；‎ ‎ （2）点P,Q是BC边上的两个动点（不与点B,C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的的对称点为M，连接AM,PM.‎ ‎①依题意将图2补全；‎ ‎②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P、Q运动的过程中，始终有PA=PM。小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：‎ 想法1:要证明PA=PM，只需证是等边三角形。‎ 想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP,要证PA=PM，只需证 想法3: 将线段BP绕点 B顺时针旋转60，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK,PM=CK…….‎ 请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）‎ 考点：三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理。‎ 解析：（1）解： 又 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 。‎ ‎（2）①下图；②利用想法1证明：连接AQ，首先应该证明，‎ 得到，然后由得到，进而得到;‎ 接着利用 AB=AC ，得到，‎ 从而得到AP=AM，进而得到PA=PM。（利用其他想法的线索证明也可以）‎ ‎29. 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（点Q的坐标为（），且， 某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”。下图为点P，Q 的“相关矩形”的示意图。‎ ‎（1）已知点A的坐标为（1，0），‎ ‎①若点B的坐标为（3，1）求点A，B的“相关矩形”的面积；‎ ‎②点C在直线x=3上，若点A,C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；‎ ‎（2）的半径为，点M的坐标为（m,3）。若在上存在一点N，使得点M,N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围。‎ 考点：一次函数，函数图象，应用数学知识解决问题的能力。‎ 解析：‎ ‎（1）解：①；②C的坐标可以为 (3,2)或者(3,-2)，设AC的表达式为,‎ ‎ 将A、C分别代入AC的表达式得到 ‎ 或 ，解得 或 ，‎ 则直线AC的表达式为 或 。‎ ‎ （2）解：易得随着m的变化，所有可能的点M都在直线y=3上；‎ 对于圆上任何一点N，符合条件的M和N必须在k=1或者-1的直线上，‎ 因此可以得到m的范围为 或者 。‎