中考数学动态几何专题复习

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中考数学动态几何专题复习 ‎ 图形的运动变化问题。‎ ‎ 【典型例题】‎ ‎ 例1. 已知；⊙O的半径为2,∠AOB＝60°，M为的中点，MC⊥AO于C,MD⊥OB于D，求CD的长。‎ ‎ 分析：连接OM交CD于E，‎ ‎ ∵∠AOB＝60°，且M为中点 ‎ ∴∠AOM＝30°，又∵OM＝OA＝2‎ ‎ ∴‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ 例2. 如图，AB是 ⊙O的直径，⊙O过AE的中点D，DC⊥BC，垂足为C。‎ ‎ （1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）‎ ‎ （2）若∠ABC为直角，其它条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形。（要求：写出6个结论即可，其它要求同（1））‎ ‎ 分析：（1）AB＝BE ‎ DC＝CE ‎ ∠A＝∠E ‎ DC为⊙O切线 ‎ （2）若∠ABC为直角 ‎ 则∠A＝∠E＝45°，DC＝BC ‎ DC∥AB，DC＝CE，BE为⊙O的切线 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例3. 在直径为AB的半圆内划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆上，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中DE在AB上，如图的设计方案是AC＝8，BC＝6。‎ ‎ （1）求△ABC中AB边上的高h；‎ ‎ （2）设DN＝x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？‎ ‎ 分析：（1）∵AB为半圆直径 ‎ ∴∠ACB＝90°‎ ‎ ∵AC＝8，BC＝6‎ ‎ ∴AB＝10‎ ‎ ∴△ABC中AB边上高h＝‎‎4.8m ‎ （2）设DN＝x，CM＝h＝4.8‎ ‎ 则MP＝x ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，水池面积最大。‎ ‎ ‎ ‎ 例4. 正方形ABCD的边长为‎6cm，M、N分别为AD、BC中点，将C折至MN上，落在P处，折痕BQ交MN于E，则BE＝______cm。‎ ‎ 分析：△BPQ≌△BCQ ‎ BP＝BC＝6‎ ‎ 连接PC，∵BP＝PC（M、N为中点）‎ ‎ ∴△BPC为等边三角形 ‎ ∴∠PBC＝60°，‎ ‎ 又∵‎ ‎ ∴在Rt△BEN中，BN＝3‎ ‎ ∴‎ ‎ ‎ ‎ 例5.一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是 。‎ ‎ 分析：A（0，1），B（3，3），则OA＝1‎ ‎ 过B作BM⊥x轴于M ‎ 则BM＝3，OM＝3‎ ‎ 又∵AC与CB为入射光线与反射光线 ‎ ∴∠AOC＝∠BCM ‎ ∴△AOC∽△BMC ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ 同理：BC ‎ ∴‎ ‎ ‎ ‎ 例6. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.‎ ‎ （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：‎ ‎ ①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE；‎ ‎ （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD－BE；‎ ‎ （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。‎ ‎ 分析：（1）AD⊥MN ‎ BE⊥MN ‎ ∴∠ADC＝∠CEB＝90°‎ ‎ ∴∠DAC＋∠DCA＝90°‎ ‎ 又∵∠ACB＝90°‎ ‎ ∴∠DCA＋∠ECB＝90°‎ ‎ ∴∠DAC＝∠ECB ‎ ∵AC＝BC ‎ ∴△ADC≌△CEB ‎ ∴DC＝BE ‎ AD＝CE ‎ ∴DE＝DC＋CE ‎ ＝BE＋AD ‎ （2）与（1）同理 ‎ △ADC≌△CEB ‎ ∴CD＝BE ‎ AD＝CE ‎ ∵DE＝CE－CD ‎ ＝AD－BE ‎ （3）当直线MN绕点C旋转到图3位置时 ‎ 与（1）（2）同理可知 ‎ CE＝AD，BE＝CD ‎ ∵DE＝CD－CE ‎ ＝BE－AD ‎ ‎ ‎ 例7. 把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）。‎ ‎ （1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；‎ ‎ （2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH＝，△GKH的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；‎ ‎ （3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由。‎ ‎ 分析：（1）在上述旋转过程中，BH＝CK，四边形CHGK的面积不变. ‎ ‎ 证明：连结CG ‎ ∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点 ‎ ∴CG＝BG,CG⊥AB ‎ ∴∠ACG＝∠B＝45°‎ ‎ ∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，‎ ‎ ∴∠BGH＝∠CGK ‎ ∴△BGH≌△CGK ‎ ∴BH＝CK,S△BGH＝S△CGK ‎ ∴S四边形CHGK＝S△CHG＋S△CGK ‎ ＝S△CHG＋S△BGH＝S△ABC ‎ ＝××4×4＝4‎ ‎ 即：S四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化 ‎ （2）∵AC＝BC＝4，BH＝，‎ ‎ ∴CH＝4－，CK＝x ‎ 由S△GHK＝S四边形CHGK－S△CHK，‎ ‎ 得＝‎ ‎ ∴‎ ‎ ∵0°＜α＜90°，‎ ‎∴0＜＜4‎ ‎ （3）存在。‎ ‎ 根据题意，得 ‎ 解这个方程，得 ‎ 即：当或时，△GHK的面积均等于△ABC的面积的。‎ ‎ ‎ ‎ 例8. 经过⊙O内或⊙O外一点P作两条直线交⊙O于A上和C、D四点（在图⑤、⑥中，有重合的点），得到了如图①～⑥所表示的六种不同情况。‎ ‎ （1）在六种不同情况下，PA、PB、PC、PD四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来，首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况，给出它的证明；‎ ‎ （2）已知⊙O的半径为一定值，若点 P是不在⊙O上的一个定点，请你过点 P任作一直线交⊙O于不重合的两点C、D，PC·PD的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来。‎ ‎ 分析：（1）PA·PB＝PC·PD ‎ 证明：连接AC、BD ‎ 则△ACP∽△DBP ‎ ∴‎ ‎ ∴AP·BP＝CP·DP ‎（2）PC·PD的值为定值 ‎（当P在圆外时）‎ ‎ 借助图⑤，过P作⊙O切线PA 则 ‎（连接PO交⊙O于E,并延长交⊙O于F时）‎ ‎ 又有 ‎ ∴‎ ‎（当P在圆内时）借助图②，‎ 连接OP并延长分别交⊙O于E，F时 ‎ ‎ ‎ 例9. 如图所示，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点 Q在半圆O上运动，且总保持 PQ＝PO，过点 Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C。‎ ‎ （1）当∠QPA＝60°时，请你对ΔQCP的形状做出猜想，并给予证明。‎ ‎ （2）当QP⊥AB时，那么ΔQCP的形状是________三角形。‎ ‎（3）由（1）、（2）得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，ΔQCP一定是____三角形。‎ ‎ 分析：（1）△QCP是等边三角形 ‎ 证明：连接OQ，则∵CQ为⊙O切线 ‎ ∴CQ⊥OQ，∴∠CQO＝90°‎ ‎ ∵PQ＝PO，∠QPC＝60°‎ ‎ ∴∠POQ＝∠PQO＝30°‎ ‎ ∴∠C＝90°－30°＝60°‎ ‎ ∴∠CQP＝∠C＝∠QPC＝60°‎ ‎ ∴△QPC是等边三角形 ‎ （2）等腰直角三角形 ‎ （3）等腰三角形 ‎ ‎ ‎ 例10. 如图甲、乙、丙，在图甲中，以 O为圆心，半径分别为R，r（R＞r）的两个同心圆中，A、D为大⊙O上的任意两点，小圆O的割线 ABC与DEF都经过圆心O现在我们证明：AB·AC＝DE·DF ‎ 证明：因为小⊙O的割线ABC与DEF都经过圆心O，所以 AB＝R－r，AC＝R＋r，DF＝R－r，DE＝R＋r，所以AB＝DE，AC＝DF，故AB·AC＝DE·DF。‎ ‎ 阅读上述证明后，完成下列两题：‎ ‎ （1）将图甲变换成图乙（ABC不经过圆心O，DEF经过圆心O）．求证：AB·AC＝DE·DF ‎ （2）将图乙变换成图丙（ABC与DEF都不经过圆心O），请对图丙中有关线段之间存在的关系，做出合理猜想，并给予证明。‎ ‎ 分析：（1）连接AO并延长与小⊙O交于B'、C'两点 ‎ 可证得：而 ‎ ∴‎ ‎ （2）猜想AB·AC＝DE·DF，连接DO交小⊙O于E'、F'‎ ‎ 由（1）得AB·AC＝DE'·DF'，而DE'·DF'＝DE·DF ‎ 故猜想成立。‎ ‎ ‎ ‎【模拟试题】‎ 一、填空题：‎ ‎ 1. 方程的根是 。‎ ‎ 2. 已知a，b是方程的两根，则代数式的值是________。‎ ‎ 3. 已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的负半轴相交。请你写出一个满足条件的二次函数的解析式： 。‎ ‎ 4. 抛物线与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为________。‎ ‎ 5. 已知，AB是⊙O的弦，P是AB上的一点，AB＝‎10cm，PA＝‎4cm，OP＝‎5cm，则⊙O的半径＝ 。‎ ‎ 6. 如图，直线TB与△ABC的外接圆相切于点B，AD∥BC,∠BAD＝70°,∠ACB＝40°，则∠TBC＝ 。‎ ‎ 7. 如图，AB为半圆O的直径，C、D是上的三等分点，若⊙O的半径为1，E为线段AB上任意一点，则图中阴影部分的面积为 。‎ ‎ 8. 已知r1、r2分别是⊙O1、⊙O2的半径,两圆有且只有一条公切线,O1O2 ＝ 3, r1 ＝ 5,‎ 则r2 ＝ 。‎ ‎ 9. 一圆锥的母线长为‎6cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径r为 cm。‎ ‎ 10. 某校九年级三班在体育毕业考试中，全班所有学生得分的情况如下表所示：‎ 分数段 ‎18分以下 ‎18—20分 ‎21—23分 ‎24—26分 ‎27—29分 ‎30分 人数 ‎2‎ ‎3‎ ‎12‎ ‎20‎ ‎18‎ ‎10‎ ‎ 那么该班共有 人，随机地抽取1人，恰好是获得30分的学生的概率是 .‎ ‎ ‎ 二、选择题：‎ ‎ 11. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）‎ ‎ A. k≤1 B. k≥‎1 C. k＜1 D. k＞1‎ ‎ 12. 使关于x的分式方程产生增根的a的值是 （ ）‎ ‎ A. 2 B. －‎2 C. ±2 D. 与a无关 ‎ 13. 为适应国民经济持续协调的发展，自‎2004年4月18日起，全国铁路第五次提速，提速后火车由天津到上海的时间缩短了7.42小时，若天津到上海的路程为1326千米，提速前火车的平均速度为x千米/时，提速后火车的平均速度为y千米/时，则x、y应满足的关系式是（ ）‎ ‎ A. x－y＝ B. y－x＝‎ ‎ C. D. ‎ ‎ 14. 把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则有（ ）‎ ‎ A. b＝3， c＝7 B. b＝－9， c＝－15‎ ‎ C. b＝3， c＝3 D. b＝－9， c＝21 ‎ ‎ 15. 二次函数的图象如图所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的为（ ）‎ ‎ A. ab＜0 B. bc＜0‎ ‎ C. a＋b＋c＞0 D. a－b＋c＜0‎ ‎ 16. 已知点（－1，y1）, (－3，y2), (－0.5，y3)在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）‎ ‎ A. 　 B.　　 C. 　 　D. ‎ ‎ 17. 下列语句中正确的有（ ）‎ ‎ A. 相等的圆心角所对的弧相等；‎ ‎ B. 平分弦的直径垂直于弦；‎ ‎ C. 长度相等的两条弧是等弧；‎ ‎ D. 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。‎ ‎ 18. 已知⊙O的半径为‎2cm，弦AB长为cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为（ ）‎ ‎ A. ‎1cm B. ‎2cm C. cm D. cm ‎ 19. 如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA＝DC,∠AOC＝160°，则∠BCO等于（ ）‎ ‎ A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°‎ ‎ 20. 如图， PT是⊙O的切线, T为切点, PBA是割线, 交⊙O 于A、B两点,与直径CT交于点D, 已知CD＝2, AD＝3, BD＝4, 那么PB等于（ ）‎ ‎ A. 6 B. C. 20 D. 7‎ ‎ ‎ 三、解答题：‎ ‎ 21.解方程 ‎ （1）‎ ‎ （2）‎ ‎ 22. 如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，连结AE，EF。‎ ‎ （1）试说明：AE是∠BAC的平分线；‎ ‎ （2）若∠ABD＝60°。问：AB与EF是否平行？请说明理由。‎ ‎ 23. 如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为，点C与点D分别是劣弧与优弧上的任一点（点C、D均不与A、B重合）。‎ ‎ （1） 求∠ACB；‎ ‎ （2）求△ABD的最大面积。‎ ‎【试题答案】‎ 一、填空题 ‎ 1. ，‎ ‎ 2. ‎ ‎ 3. （此题答案不惟一，只要，都正确）‎ ‎ 4. ‎ ‎ 5. 7 6. 30°‎ ‎ 7. 8. 2或8‎ ‎ 9. 2 10. 65，‎ 二、选择题 ‎ 11. A 12. C 13. C 14. A 15. D 16. C 17. D 18. A 19. C 20. C ‎ 21. （1），‎ ‎ （2）检验：是原方程的解。‎ ‎ 22. 连BE ‎ （1）∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°‎ ‎ ∴∠EAB＋∠ABE＝90°‎ ‎ ∵AC⊥CD，∴∠CAE＋∠CEA＝90°‎ ‎ 又∵CD与⊙O相切，∴∠CEA＝∠ABE，‎ ‎ ∴∠CAE＝∠BAE，即AE平分∠CAB。‎ ‎ （2）∵∠ABD＝60°，∵BD⊥CD，AC⊥CD ‎ ∴AC∥BD，∴∠BAC＝120°，∴∠BAE＝60°‎ ‎ ∵∠DFE＝∠BAE＝60°‎ ‎ ∴∠DFE＝∠DBA，∴AB∥EF ‎ 23. （1）连OA、OB，过O作OE⊥AB于E点 ‎ ∴‎ ‎ ∵OA＝2，∴‎ ‎ ∴∠AOE＝60°，即∠AOB＝120°‎ ‎ ∴∠D＝60°，∴∠D＋∠C＝180°‎ ‎ ∴∠C＝120°，∴∠ACB＝120°‎ ‎ （2）要使△ABD的面积最大，∵‎ ‎ ∴D在上最高点，即过D作AB的垂线DE，‎ ‎ ∴DE经过O点，在Rt△AOE中，OA＝2，AE＝‎ ‎ ∴OE＝1，∴DE＝3‎ ‎ ∴‎ ‎ 即 ‎ ‎