中考数学动态几何专题复习

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中考数学动态几何专题复习

中考数学动态几何专题复习 ‎ 图形的运动变化问题。‎ ‎ 【典型例题】‎ ‎ 例1. 已知;⊙O的半径为2,∠AOB=60°,M为的中点,MC⊥AO于C,MD⊥OB于D,求CD的长。‎ ‎ 分析:连接OM交CD于E,‎ ‎ ∵∠AOB=60°,且M为中点 ‎ ∴∠AOM=30°,又∵OM=OA=2‎ ‎ ∴‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ 例2. 如图,AB是 ⊙O的直径,⊙O过AE的中点D,DC⊥BC,垂足为C。‎ ‎ (1)由这些条件,你能推出哪些正确结论?(要求:不再标注其他字母,找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中,不写推理过程,写出4个结论即可)‎ ‎ (2)若∠ABC为直角,其它条件不变,除上述结论外,你还能推出哪些新的正确结论?并画出图形。(要求:写出6个结论即可,其它要求同(1))‎ ‎ 分析:(1)AB=BE ‎ DC=CE ‎ ∠A=∠E ‎ DC为⊙O切线 ‎ (2)若∠ABC为直角 ‎ 则∠A=∠E=45°,DC=BC ‎ DC∥AB,DC=CE,BE为⊙O的切线 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例3. 在直径为AB的半圆内划出一块三角形区域,使三角形的一边为AB,顶点C在半圆上,现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN,其中DE在AB上,如图的设计方案是AC=8,BC=6。‎ ‎ (1)求△ABC中AB边上的高h;‎ ‎ (2)设DN=x,当x取何值时,水池DEFN的面积最大?‎ ‎ 分析:(1)∵AB为半圆直径 ‎ ∴∠ACB=90°‎ ‎ ∵AC=8,BC=6‎ ‎ ∴AB=10‎ ‎ ∴△ABC中AB边上高h=‎‎4.8m ‎ (2)设DN=x,CM=h=4.8‎ ‎ 则MP=x ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时,水池面积最大。‎ ‎ ‎ ‎ 例4. 正方形ABCD的边长为‎6cm,M、N分别为AD、BC中点,将C折至MN上,落在P处,折痕BQ交MN于E,则BE=______cm。‎ ‎ 分析:△BPQ≌△BCQ ‎ BP=BC=6‎ ‎ 连接PC,∵BP=PC(M、N为中点)‎ ‎ ∴△BPC为等边三角形 ‎ ∴∠PBC=60°,‎ ‎ 又∵‎ ‎ ∴在Rt△BEN中,BN=3‎ ‎ ∴‎ ‎ ‎ ‎ 例5.一束光线从y轴上点A(0,1)出发,经过x轴上点C反射后经过点B(3,3),则光线从A点到B点经过的路线长是 。‎ ‎ 分析:A(0,1),B(3,3),则OA=1‎ ‎ 过B作BM⊥x轴于M ‎ 则BM=3,OM=3‎ ‎ 又∵AC与CB为入射光线与反射光线 ‎ ∴∠AOC=∠BCM ‎ ∴△AOC∽△BMC ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ 同理:BC ‎ ∴‎ ‎ ‎ ‎ 例6. 在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.‎ ‎ (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:‎ ‎ ①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;‎ ‎ (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:DE=AD-BE;‎ ‎ (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明。‎ ‎ 分析:(1)AD⊥MN ‎ BE⊥MN ‎ ∴∠ADC=∠CEB=90°‎ ‎ ∴∠DAC+∠DCA=90°‎ ‎ 又∵∠ACB=90°‎ ‎ ∴∠DCA+∠ECB=90°‎ ‎ ∴∠DAC=∠ECB ‎ ∵AC=BC ‎ ∴△ADC≌△CEB ‎ ∴DC=BE ‎ AD=CE ‎ ∴DE=DC+CE ‎ =BE+AD ‎ (2)与(1)同理 ‎ △ADC≌△CEB ‎ ∴CD=BE ‎ AD=CE ‎ ∵DE=CE-CD ‎ =AD-BE ‎ (3)当直线MN绕点C旋转到图3位置时 ‎ 与(1)(2)同理可知 ‎ CE=AD,BE=CD ‎ ∵DE=CD-CE ‎ =BE-AD ‎ ‎ ‎ 例7. 把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG(其直角边长均为4)叠放在一起(如图①),且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转(旋转角α满足条件:0°<α<90°),四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分(如图②)。‎ ‎ (1)在上述旋转过程中,BH与CK有怎样的数量关系?四边形CHGK的面积有何变化?证明你发现的结论;‎ ‎ (2)连接HK,在上述旋转过程中,设BH=,△GKH的面积为,求与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;‎ ‎ (3)在(2)的前提下,是否存在某一位置,使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的?若存在,求出此时的值;若不存在,说明理由。‎ ‎ 分析:(1)在上述旋转过程中,BH=CK,四边形CHGK的面积不变. ‎ ‎ 证明:连结CG ‎ ∵△ABC为等腰直角三角形,O(G)为其斜边中点 ‎ ∴CG=BG,CG⊥AB ‎ ∴∠ACG=∠B=45°‎ ‎ ∵∠BGH与∠CGK均为旋转角,‎ ‎ ∴∠BGH=∠CGK ‎ ∴△BGH≌△CGK ‎ ∴BH=CK,S△BGH=S△CGK ‎ ∴S四边形CHGK=S△CHG+S△CGK ‎ =S△CHG+S△BGH=S△ABC ‎ =××4×4=4‎ ‎ 即:S四边形CHGK的面积为4,是一个定值,在旋转过程中没有变化 ‎ (2)∵AC=BC=4,BH=,‎ ‎ ∴CH=4-,CK=x ‎ 由S△GHK=S四边形CHGK-S△CHK,‎ ‎ 得=‎ ‎ ∴‎ ‎ ∵0°<α<90°,‎ ‎∴0<<4‎ ‎ (3)存在。‎ ‎ 根据题意,得 ‎ 解这个方程,得 ‎ 即:当或时,△GHK的面积均等于△ABC的面积的。‎ ‎ ‎ ‎ 例8. 经过⊙O内或⊙O外一点P作两条直线交⊙O于A上和C、D四点(在图⑤、⑥中,有重合的点),得到了如图①~⑥所表示的六种不同情况。‎ ‎ (1)在六种不同情况下,PA、PB、PC、PD四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来,首先写出这个式子,然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况,给出它的证明;‎ ‎ (2)已知⊙O的半径为一定值,若点 P是不在⊙O上的一个定点,请你过点 P任作一直线交⊙O于不重合的两点C、D,PC·PD的值是否为定值?为什么?由此你发现了什么结论?请你把这一结论用文字叙述出来。‎ ‎ 分析:(1)PA·PB=PC·PD ‎ 证明:连接AC、BD ‎ 则△ACP∽△DBP ‎ ∴‎ ‎ ∴AP·BP=CP·DP ‎(2)PC·PD的值为定值 ‎(当P在圆外时)‎ ‎ 借助图⑤,过P作⊙O切线PA 则 ‎(连接PO交⊙O于E,并延长交⊙O于F时)‎ ‎ 又有 ‎ ∴‎ ‎(当P在圆内时)借助图②,‎ 连接OP并延长分别交⊙O于E,F时 ‎ ‎ ‎ 例9. 如图所示,AB是半圆O的直径,点M是半径OA的中点,点P在线段AM上运动(不与点M重合),点 Q在半圆O上运动,且总保持 PQ=PO,过点 Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C。‎ ‎ (1)当∠QPA=60°时,请你对ΔQCP的形状做出猜想,并给予证明。‎ ‎ (2)当QP⊥AB时,那么ΔQCP的形状是________三角形。‎ ‎(3)由(1)、(2)得出的结论,请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时,ΔQCP一定是____三角形。‎ ‎ 分析:(1)△QCP是等边三角形 ‎ 证明:连接OQ,则∵CQ为⊙O切线 ‎ ∴CQ⊥OQ,∴∠CQO=90°‎ ‎ ∵PQ=PO,∠QPC=60°‎ ‎ ∴∠POQ=∠PQO=30°‎ ‎ ∴∠C=90°-30°=60°‎ ‎ ∴∠CQP=∠C=∠QPC=60°‎ ‎ ∴△QPC是等边三角形 ‎ (2)等腰直角三角形 ‎ (3)等腰三角形 ‎ ‎ ‎ 例10. 如图甲、乙、丙,在图甲中,以 O为圆心,半径分别为R,r(R>r)的两个同心圆中,A、D为大⊙O上的任意两点,小圆O的割线 ABC与DEF都经过圆心O现在我们证明:AB·AC=DE·DF ‎ 证明:因为小⊙O的割线ABC与DEF都经过圆心O,所以 AB=R-r,AC=R+r,DF=R-r,DE=R+r,所以AB=DE,AC=DF,故AB·AC=DE·DF。‎ ‎ 阅读上述证明后,完成下列两题:‎ ‎ (1)将图甲变换成图乙(ABC不经过圆心O,DEF经过圆心O).求证:AB·AC=DE·DF ‎ (2)将图乙变换成图丙(ABC与DEF都不经过圆心O),请对图丙中有关线段之间存在的关系,做出合理猜想,并给予证明。‎ ‎ 分析:(1)连接AO并延长与小⊙O交于B'、C'两点 ‎ 可证得:而 ‎ ∴‎ ‎ (2)猜想AB·AC=DE·DF,连接DO交小⊙O于E'、F'‎ ‎ 由(1)得AB·AC=DE'·DF',而DE'·DF'=DE·DF ‎ 故猜想成立。‎ ‎ ‎ ‎【模拟试题】‎ 一、填空题:‎ ‎ 1. 方程的根是 。‎ ‎ 2. 已知a,b是方程的两根,则代数式的值是________。‎ ‎ 3. 已知二次函数的图象开口向上,且与y轴的负半轴相交。请你写出一个满足条件的二次函数的解析式: 。‎ ‎ 4. 抛物线与x轴分别交于A、B两点,则AB的长为________。‎ ‎ 5. 已知,AB是⊙O的弦,P是AB上的一点,AB=‎10cm,PA=‎4cm,OP=‎5cm,则⊙O的半径= 。‎ ‎ 6. 如图,直线TB与△ABC的外接圆相切于点B,AD∥BC,∠BAD=70°,∠ACB=40°,则∠TBC= 。‎ ‎ 7. 如图,AB为半圆O的直径,C、D是上的三等分点,若⊙O的半径为1,E为线段AB上任意一点,则图中阴影部分的面积为 。‎ ‎ 8. 已知r1、r2分别是⊙O1、⊙O2的半径,两圆有且只有一条公切线,O1O2 = 3, r1 = 5,‎ 则r2 = 。‎ ‎ 9. 一圆锥的母线长为‎6cm,它的侧面展开图的圆心角为120°,则这个圆锥的底面半径r为 cm。‎ ‎ 10. 某校九年级三班在体育毕业考试中,全班所有学生得分的情况如下表所示:‎ 分数段 ‎18分以下 ‎18—20分 ‎21—23分 ‎24—26分 ‎27—29分 ‎30分 人数 ‎2‎ ‎3‎ ‎12‎ ‎20‎ ‎18‎ ‎10‎ ‎ 那么该班共有 人,随机地抽取1人,恰好是获得30分的学生的概率是 .‎ ‎ ‎ 二、选择题:‎ ‎ 11. 已知关于x的一元二次方程有实数根,则k的取值范围是( )‎ ‎ A. k≤1 B. k≥‎1 C. k<1 D. k>1‎ ‎ 12. 使关于x的分式方程产生增根的a的值是 ( )‎ ‎ A. 2 B. -‎2 C. ±2 D. 与a无关 ‎ 13. 为适应国民经济持续协调的发展,自‎2004年4月18日起,全国铁路第五次提速,提速后火车由天津到上海的时间缩短了7.42小时,若天津到上海的路程为1326千米,提速前火车的平均速度为x千米/时,提速后火车的平均速度为y千米/时,则x、y应满足的关系式是( )‎ ‎ A. x-y= B. y-x=‎ ‎ C. D. ‎ ‎ 14. 把抛物线的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是,则有( )‎ ‎ A. b=3, c=7 B. b=-9, c=-15‎ ‎ C. b=3, c=3 D. b=-9, c=21 ‎ ‎ 15. 二次函数的图象如图所示,则下列关于a、b、c间的关系判断正确的为( )‎ ‎ A. ab<0 B. bc<0‎ ‎ C. a+b+c>0 D. a-b+c<0‎ ‎ 16. 已知点(-1,y1), (-3,y2), (-0.5,y3)在函数的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )‎ ‎ A.   B.   C.    D. ‎ ‎ 17. 下列语句中正确的有( )‎ ‎ A. 相等的圆心角所对的弧相等;‎ ‎ B. 平分弦的直径垂直于弦;‎ ‎ C. 长度相等的两条弧是等弧;‎ ‎ D. 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。‎ ‎ 18. 已知⊙O的半径为‎2cm,弦AB长为cm,则这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为( )‎ ‎ A. ‎1cm B. ‎2cm C. cm D. cm ‎ 19. 如图,⊙O中,弦AD∥BC,DA=DC,∠AOC=160°,则∠BCO等于( )‎ ‎ A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°‎ ‎ 20. 如图, PT是⊙O的切线, T为切点, PBA是割线, 交⊙O 于A、B两点,与直径CT交于点D, 已知CD=2, AD=3, BD=4, 那么PB等于( )‎ ‎ A. 6 B. C. 20 D. 7‎ ‎ ‎ 三、解答题:‎ ‎ 21.解方程 ‎ (1)‎ ‎ (2)‎ ‎ 22. 如图,AB是⊙O的直径,CD切⊙O于E,AC⊥CD于C,BD⊥CD于D,交⊙O于F,连结AE,EF。‎ ‎ (1)试说明:AE是∠BAC的平分线;‎ ‎ (2)若∠ABD=60°。问:AB与EF是否平行?请说明理由。‎ ‎ 23. 如图,已知⊙O的半径为2,弦AB的长为,点C与点D分别是劣弧与优弧上的任一点(点C、D均不与A、B重合)。‎ ‎ (1) 求∠ACB;‎ ‎ (2)求△ABD的最大面积。‎ ‎【试题答案】‎ 一、填空题 ‎ 1. ,‎ ‎ 2. ‎ ‎ 3. (此题答案不惟一,只要,都正确)‎ ‎ 4. ‎ ‎ 5. 7 6. 30°‎ ‎ 7. 8. 2或8‎ ‎ 9. 2 10. 65,‎ 二、选择题 ‎ 11. A 12. C 13. C 14. A 15. D 16. C 17. D 18. A 19. C 20. C ‎ 21. (1),‎ ‎ (2)检验:是原方程的解。‎ ‎ 22. 连BE ‎ (1)∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=90°‎ ‎ ∴∠EAB+∠ABE=90°‎ ‎ ∵AC⊥CD,∴∠CAE+∠CEA=90°‎ ‎ 又∵CD与⊙O相切,∴∠CEA=∠ABE,‎ ‎ ∴∠CAE=∠BAE,即AE平分∠CAB。‎ ‎ (2)∵∠ABD=60°,∵BD⊥CD,AC⊥CD ‎ ∴AC∥BD,∴∠BAC=120°,∴∠BAE=60°‎ ‎ ∵∠DFE=∠BAE=60°‎ ‎ ∴∠DFE=∠DBA,∴AB∥EF ‎ 23. (1)连OA、OB,过O作OE⊥AB于E点 ‎ ∴‎ ‎ ∵OA=2,∴‎ ‎ ∴∠AOE=60°,即∠AOB=120°‎ ‎ ∴∠D=60°,∴∠D+∠C=180°‎ ‎ ∴∠C=120°,∴∠ACB=120°‎ ‎ (2)要使△ABD的面积最大,∵‎ ‎ ∴D在上最高点,即过D作AB的垂线DE,‎ ‎ ∴DE经过O点,在Rt△AOE中,OA=2,AE=‎ ‎ ∴OE=1,∴DE=3‎ ‎ ∴‎ ‎ 即 ‎ ‎
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