2018浙江高考压轴卷数学试题（解析版）

2018浙江高考压轴卷数学试题（解析版）

2018 浙江高考压轴卷数学 word 版含解析 数学 I 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页，选择题部分 1 至 2 页，非选择题部 分 3 至 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷 和答题纸规定的位置上。 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在 本试题卷上的作答一律无效。 参考公式： 球的表面积公式 锥体的体积公式 24S R  1 3V Sh 球的体积公式 其中 S 表示棱锥的底面面积，h 表示 棱锥的高 34 3V R  台体的体积公式 其中 R 表示球的半径 1 ( )3 a a b bV h S S S S    柱体的体积公式 其中 Sa，Sb 分别表示台体的上、下底 面积 V=Sh h 表示台体的高 其中 S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高 1.若集合 P={y|y≥0}，P∩Q=Q，则集合 Q 不可能是（ ） A．{y|y=x2，x∈R} B．{y|y=2x，x∈R} C．{y|y=lgx，x＞0} D．∅ 2.抛物线 y=﹣2x2 的准线方程是（ ） A． B． C． D． 3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ） A． B． C． D． 4.若存在实数 x，y 使不等式组 与不等式 x﹣2y+m≤0 都成立，则实数 m 的取值 范围是（ ） A．m≥0 B．m≤3 C．m≥l D．m≥3 5.不等式 2x2﹣x﹣1＞0 的解集是（ ） A．    1x2 1|x B．{x|x＞1}C．{x|x＜1 或 x＞2} D．    1x2 1x|x 或 6.在等比数列{an}中，a1=2，前 n 项和为 Sn，若数列{an+1}也是等比数列，则 Sn 等于（ ） A．2n+1﹣2 B．3n C．2n D．3n﹣1 7.定义在 R 上的奇函数 f（x）满足在（﹣∞，0）上为增函数且 f（﹣1）=0，则不等式 x•f （x）＞0 的解集为（ ） A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） 8.随机变量 X 的分布列如下表，且 E（X）=2，则 D（2X﹣3）=（ ） X 0 2 a P p A．2 B．3 C．4 D．5 9.已知平面α∩平面β=直线 l，点 A，C∈α，点 B，D∈β，且 A，B，C，D∉ l，点 M，N 分别是线段 AB，CD 的中点．（ ） A．当|CD|=2|AB|时，M，N 不可能重合 B．M，N 可能重合，但此时直线 AC 与 l 不可能相交 C．当直线 AB，CD 相交，且 AC∥l 时，BD 可与 l 相交 D．当直线 AB，CD 异面时，MN 可能与 l 平行 10.设 k∈R，对任意的向量 ， 和实数 x∈，如果满足 ，则有 成立，那么实数λ的最小值为（ ） A．1 B．k C． D． 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11.如右图，如果执行右面的程序框图，输入正整数 mn, ，满足 mn  ，那么输出的 P 等 于 。 12.若 x 是实数，y 是纯虚数，且满足 2 1 2x i y   ，则 _________, _________.x y  13.复数 1 i 2 i a  （ ,ia R 为虚数单位）为纯虚数,则复数 iz a  的模为 ．已知 2 3 1(1 )( ) ( )nx x x n Nx     的展开式中没有常数项,且 2 8n  ，则 n  . 14.已知角θ的终边过点（4，﹣3），则 tanθ= ， = ． 15.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D 是 BC 的中点，那么（ ﹣ ）• = ； 若 E 是 AB 的中点，P 是△ABC（包括边界）内任一点．则 的取值范围是 ． 16.冬季供暖就要开始，现分配出 5 名水暖工去 3 个不同的居民小区检查暖气管道，每名水 暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有 种． 17.求函数 y=lg（sin2x+2cosx+2）在 上的最大值 ，最小 值 ． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cos2A=3cos（B+C）+1． （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若 cosBcosC=﹣ ，且△ABC 的面积为 2 ，求 a． 19.( 本 题 满 分 15 分 ) 如 图 四 边 形 PABC 中 ， 90PAC ABC     ， 2 3, 4PA AB AC   ，现把 PAC 沿 AC 折起，使 PA 与平面 ABC 成 60 ，设此时 P 在 平面 ABC 上的投影为 O 点（O 与 B 在 AC 的同侧）， （1）求证：OB∥平面 PAC； （2）求二面角 P－BC－A 大小的正切值。 20.已知二次函数 f（x）=x2+ax+b+1，关于 x 的不等式 f（x）﹣（2b﹣1）x+b2＜1 的解集为 （b，b+1），其中 b≠0． （Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）令 g（x）= ，若函数φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）存在极值点，求实数 k 的取 值范围，并求出极值点． 2018 浙江高考压轴卷数学 word 版含解析 参考答案 1.【答案】C 【解析】集合 P={y|y≥0}，P∩Q=Q， ∴Q ⊆ P ∵A={y|y=x2，x ∈ R}={y|y≥0}，满足要求 B={y|y=2x，x ∈ R}={y|y＞0}，满足要求 C={y|y=lgx，x＞0}=R，不满足要求 D=∅ ，满足要求 故选 C ２．【答案】D 【解析】∵y=﹣2x2； ∴x2=﹣ y； ∴2p= ⇒ = ． 又因为焦点在 Y 轴上， 所以其准线方程为 y= ． 故选：D． 3.【答案】C 【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥， 其底面是边长为 1m 的正方形，故底面积为 1m2， 侧面均为直角三角形， 其中有两个是腰为 1m 的等腰直角三角形，面积均为： m2， 另外两个是边长分别为 1m， m， m 的直角三角形，面积均为： m2， 故几何体的表面积 S= ， 故选：C 4. 【答案】B 【解析】作出不等式组 表示的平面区域， 得到如图的△ABC 及其内部，其中 A（4，2），B（1，1），C（3，3） 设 z=F（x，y）=x﹣2y，将直线 l：z=x﹣2y 进行平移， 当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最大值，可得 z 最大值=F（4，2）=0 当 l 经过点 C 时，目标函数 z 达到最小值，可得 z 最小值=F（3，3）=﹣3 因此，z=x﹣2y 的取值范围为[﹣3，0]， ∵存在实数 m，使不等式 x﹣2y+m≤0 成立，即存在实数 m，使 x﹣2y≤﹣m 成立 ∴﹣m 大于或等于 z=x﹣2y 的最小值，即﹣3≤﹣m，解之得 m≤3 故选：B 5.【答案】D 【解析】不等式 2x2﹣x﹣1＞0， 因式分解得：（2x+1）（x﹣1）＞0， 解得：x＞1 或 x＜﹣ ， 则原不等式的解集为 ， 故选：D． 【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，是高考中常考的基本题型． 6.【答案】C 【解析】因数列{an}为等比，则 an=2qn﹣1， 因数列{an+1}也是等比数列， 则（an+1+1）2=（an+1）（an+2+1） ∴an+1 2+2an+1=anan+2+an+an+2 ∴an+an+2=2an+1 ∴an（1+q2﹣2q）=0 ∴q=1 即 an=2， 所以 sn=2n， 故选 C． 7.【答案】A 【解析】根据题意，f（x）为奇函数且在（﹣∞，0）上为增函数，则 f（x）在（0，+∞）上 也是增函数， 若 f（﹣1）=0，得 f（﹣1）=﹣f（1）=0，即 f（1）=0， 作出 f（x）的草图，如图所示： 对于不等式 x•f（x）＞0， 有 x•f（x）＞0⇔ 或 ， 分析可得 x＜﹣1 或 x＞1， 即 x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）； 故选：A． 8.【答案】C 【解析】由题意可得： +p+ =1，解得 p= ， 因为 E（X）=2，所以： ，解得 a=3． D（X）=（0﹣2）2 +（2﹣2）2 +（3﹣2）2 =1． D（2X﹣3）=4D（X）=4． 故选：C． 9.【答案】B 【解析】对于 A，当|CD|=2|AB|时，若 A，B，C，D 四点共面且 AC∥BD 时，则 M，N 两点能 重合．故 A 不对； 对于 B，若 M，N 两点可能重合，则 AC∥BD，故 AC∥l，此时直线 AC 与直线 l 不可能相交， 故 B 对； 对于 C，当 AB 与 CD 相交，直线 AC 平行于 l 时，直线 BD 可以与 l 平行，故 C 不对； 对于 D，当 AB，CD 是异面直线时，MN 不可能与 l 平行，故 D 不对． 故选：B． 10.【答案】C 【解析】当向量 = 时，可得向量 ， 均为零向量，不等式成立； 当 k=0 时，即有 = ，则有 ， 即为 x| |≤λ| |， 即有λ≥x 恒成立，由 x≤1，可得λ≥1； 当 k≠0 时， ≠ ，由题意可得有 = | |， 当 k＞1 时， ＞| ﹣ |， 由| ﹣x |≤| ﹣ |＜| |，可得： ≤1，则有 ≥1，即λ≥k． 即有λ的最小值为 ． 故选：C． 11.【答案】 m nA 【解析】第一次循环： 1, 1, +1k p p n m= = = - ； 第二次循环： ( )( )2, 1 2k p n m n m= = - + - + ； 第三次循环： ( )( )( )3, 1 2 3k p n m n m n m= = - + - + - + ; … 第m次循环： ( )( ) ( ), 1 2 ... 1k m p n m n m n n= = - + - + - 此时结束循环，输出 ( )( ) ( )1 2 ... 1 m np n m n m n n A= - + - + - = 故答案为： m nA . 思路点拨：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序可知： 该程序的作用是利用循环计算并输出变量P的值，用表格对程序运行过程中各变 量的值进行分析即可． 12. 1 , 22x y i  13.【答案】 5,5 【解析】 考点：复数的概念和模的计算公式及二项式定理及运用． 14.【答案】 ，8． 【解析】∵角θ终边上一点 P（4，﹣3）， ∴由三角函数的定义可得 tanθ= ， ∴ = = =8， 故答案为： ，8． 15.【答案】2 ，[﹣9，9]. 【解析】∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D 是 BC 的中点，那么 = ， = + =16+4=20． ∴ = = = =2． 以 CA 所在的直线为 x 轴，以 CB 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 A 的坐标为（4， 0），B 的坐标为（0，2）， 由线段的中点公式可得点 D 的坐标为（0，1），点 E 的坐标为（2，1），设点 P 的坐标为（x， y）， 则由题意可得可行域为△ABC 及其内部区域，故有 ． 令 t= =（﹣4，1）•（x﹣2，y﹣1）=7﹣4x+y，即 y=4x+t﹣7． 故当直线 y=4x+t﹣7 过点 A（4，0）时，t 取得最小值为 7﹣16+0=﹣9， 当直线 y=4x+t﹣7 过点 B（0，2）时，t 取得最大值为 7﹣0+2=9， 故 t= 的取值范围是[﹣9，9]， 故答案为 2，[﹣9，9]． 16.【答案】150 【解析】根据题意，分配 5 名水暖工去 3 个不同的小区，要求 5 名水暖工都分配出去，且每 个小区都要有人去检查，5 人可以分为（2，2，1），（3，1，1）， 分组方法共有 +C5 3=25 种， 分别分配到 3 个不同的小区，有 A3 3 种情况， 由分步计数原理，可得共 25A3 3=150 种不同分配方案， 故答案为：150． 17.【答案】lg4，lg 【解析】sin2x+2cosx+2=1﹣cos2x+2cosx+2=﹣（cosx﹣1）2+4， ∵ ，∴cosx∈[﹣ ，1]， 则当 cosx=1 时，sin2x+2cosx+2 取得最大值 4， 当 cosx=﹣ 时，sin2x+2cosx+2 取得最小值 ，即当 时，函数有意 义， 设 t=sin2x+2cosx+2，则 ≤t≤4， 则 lg ≤lgt≤lg4， 即函数的最大值为 lg4，最小值为 lg ， 故答案为：lg4，lg 18.【解析】（Ⅰ）由 cos2A=3cos（B+C）+1 得，2cos2A+3cosA﹣2=0， 即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0， 所以，cosA= 或 cosA=﹣2（舍去）， 因为 A 为三角形内角，所以 A= ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 cosA=﹣cos（B+C）= ， 则 cosBcosC﹣sinBsinC= ； 由 cosBcosC=﹣ ，得 sinBsinC= ， 由正弦定理，有 ， 即 b= ，c= ， 由三角形的面积公式， 得 S= = = ， 即 =2 ， 解得 a=4． 19.【解析】（1）连 AO，因为 PO  平面 ABC，得 PO CA 。 又因为CA PA ，得CA  平面 PAO，CA AO 。………………………………………3 分 因为 PAO 是 PA 与平面 ABC 的角， 60PAO   。 因为 2 3PA  ，得 3OA  。 在 OAB 中， 90 30 60OAB      ，故有OB OA ，………………………………6 分 从而有 / /OB AC ，得 / /OB 平面 PAC。 ……………………………………………………8 分 （2）过 O 作 BC 的垂线交 CB 延长线于 G 点，连 PG，则 PGO 是二面角 P－BC－A 的平 面角。 在 Rt PGO 中，易知 3 33, 2PO OG  ， 所以 2 3tan 3 POPGO OG    …………………………15 分 另解：（1）同上 （ 2 ） 以 OB 、 OA 、 OP 为 x 、 y 、 z 轴 ， 建 立 坐 标 系 ， 可 得 (0, 3,0), (3,0,0),C(4, 3,0), (0,0,3)A B P 。 可求得平面 ABC 的法向量是 (0,0,1)m  ，平面 PBC 的法向量是 (1, 3, 3) ，所以二面角 P－BC－A 大小 的余弦值是 3 21cos 71 7     ，即 2 3tan 3   20.【解析】（I）∵f（x）﹣（2b﹣1）x+b2＜1 的解集为（b，b+1）， 即 x2+（a﹣2b+1）x+b2+b＜0 的解集为（b，b+1）， ∴方程 x2+（a﹣2b+1）x+b2+b=0 的解为 x1=b，x2=b+1， ∴b+（b+1）=﹣（a﹣2b+1），解得 a=﹣2． （II）φ（x）得定义域为（1，+∞）． 由（I）知 f（x）=x2﹣2x+b+1，∴g（x）= =x﹣1+ ， ∴φ′（x）=1﹣ ﹣ = ， ∵函数φ（x）存在极值点，∴φ′（x）=0 有解， ∴方程 x2﹣（2+k）x+k﹣b+1=0 有两个不同的实数根，且在（1，+∞）上至少有一根， ∴△=（2+k）2﹣4（k﹣b+1）=k2+4b＞0． 解方程 x2﹣（2+k）x+k﹣b+1=0 得 x1= ，x2= （1）当 b＞0 时，x1＜1，x2＞1， ∴当 x∈（1， ）时，φ′（x）＜0，当 x∈（ ，+∞）时，φ′ （x）＞0， ∴φ（x）在（1， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增， ∴φ（x）极小值点为 ． （2）当 b＜0 时，由△=k2+4b＞0 得 k＜﹣2 ，或 k＞2 ， 若 k＜﹣2 ，则 x1＜1，x2＜1， ∴当 x＞1 时，φ′（x）＞0，∴φ（x）在（1，+∞）上单调递增，不符合题意； 若 k＞2 ，则 x ＞1，x2＞1， ∴φ（x）在（1， ）上单调递增，在（ ， ）上 单调递减，在（ ，+∞）单调递增， ∴φ（x）的极大值点为 ，极小值点为 ． 综上，当 b＞0 时，k 取任意实数，函数φ（x）极小值点为 ； 当 b＜0 时，k＞2 ，函数φ（x）极小值点为 ，极大值点为 ．