2009年北京市高考数学试卷(文科)答案与解析

2009年北京市高考数学试卷(文科)答案与解析

‎2009年北京市高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）‎ ‎1．（5分）（2009•北京）设集合，则A∪B=（　　）‎ A．{x|﹣1≤x＜2} B． C．{x|x＜2} D．{x|1≤x＜2}‎ ‎【考点】并集及其运算；一元二次不等式的解法．菁优网版权所有 ‎【分析】根据题意，分析集合B，解x2≤1，可得集合B，再求AB的并集可得答案．‎ ‎【解答】解：∵，B={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}，‎ ‎∴A∪B={x|﹣1≤x＜2}，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法．属于基础知识、基本运算的考查．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2009•北京）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=﹣，如果∥，那么（　　）‎ A．k=1且c与d同向 B．k=1且c与d反向 C．k=﹣1且c与d同向 D．k=﹣1且c与d反向 ‎【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件，再检验k=﹣1是否满足条件，从而选出应选的选项．‎ ‎【解答】解：∵=（1，0），=（0，1），若k=1，‎ 则=+=（1，1），=﹣=（1，﹣1），‎ 显然，与不平行，排除A、B．‎ 若k=﹣1，则=﹣+=（﹣1，1），=﹣=（1，﹣1），‎ 即∥ 且与反向，排除C，‎ 故选 D．‎ ‎【点评】本题考查平行向量的坐标表示，当两个向量平行时，一个向量的坐标等于另一个向量坐标的若干倍．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2009•北京）若（a，b为理数），则a+b=（　　）‎ A．33 B．29 C．23 D．19‎ ‎【考点】二项式定理的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用二项式定理的展开式将二项式展开，利用组合数公式化简展开式，列出方程求出a，b，求出a+b．‎ ‎【解答】解：∵‎ ‎=，‎ 由已知，得，‎ ‎∴a+b=17+12=29．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查二项式定理的展开式；要熟练掌握公式．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2009•北京）为了得到函数的图象，只需把函数y=lgx的图象上所有的点（　　）‎ A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 ‎【考点】对数函数的图像与性质．菁优网版权所有 ‎【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查函数图象的平移变换．属于基础知识、基本运算的考查．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2009•北京）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（　　）‎ A．8 B．24 C．48 D．120‎ ‎【考点】计数原理的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】本题需要分步计数，首先选择2和4排在末位时，共有A21种结果，再从余下的其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43种结果，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数．‎ ‎【解答】解：由题意知本题需要分步计数，‎ ‎2和4排在末位时，共有A21=2种排法，‎ 其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43=4×3×2=24种排法，‎ 根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24=48（个）．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查分步计数原理，是一个数字问题，这种问题是最典型的排列组合问题，经常出现限制条件，并且限制条件变化多样，是一个易错题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2009•北京）“”是“”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】充要条件．菁优网版权所有 ‎【专题】简易逻辑．‎ ‎【分析】当α=时，cos2；反之，当时，，k∈Z，或．所以“”是“”的充分而不必要条件．‎ ‎【解答】解：当α=时，cos2，‎ 反之，当时，可得⇒，k∈Z，或⇒，‎ ‎“”是“”的充分而不必要条件．‎ 故应选：A．‎ ‎【点评】本题考查充分条件、必要条件、充分条件，解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2009•北京）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【考点】直线与平面平行的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；作图题；压轴题．‎ ‎【分析】画出图象，利用线段的关系，角的三角函数，求解即可．‎ ‎【解答】解：依题意，BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离，‎ ‎∠B1AB=60°，BB1=1×tan60°=，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念，属于基础知识、基本运算的考查．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2009•北京）设D是正△P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是△P1P2P3的中心，若集合S={P|P∈D，|PP0|≤|PPi|，i=1，2，3}，则集合S表示的平面区域是（　　）‎ A．三角形区域 B．四边形区域 C．五边形区域 D．六边形区域 ‎【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题；数形结合．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是二元一次不等式（组）与平面区域，要求集合S={P|P∈D，|PP0|≤|PPi|，i=1，2，3}，表示的平面区域的形状，我们要先根据集合中点P满足的性质，找出所表示区域的边界，进而判断出区域各边界围成的图形形状．‎ ‎【解答】解：如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，‎ 若|PP0|=|PPi|‎ 当i=1时，P点落在P1P0的垂直平分线上，又由P∈D，故P点的轨迹为ED；‎ 当i=2时，P点落在P2P0的垂直平分线上，又由P∈D，故P点的轨迹为AF；‎ 当i=3时，P点落在P3P0的垂直平分线上，又由P∈D，故P点的轨迹为BC；‎ 故满足条件集合S={P|P∈D，|PP0|≤|PPi|，i=1，2，3}，‎ 则集合S表示的平面区域是六边形ABCDEF，‎ 故选D ‎【点评】本题主要考查集合与平面几何基础知识．本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力．属于创新题型．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）‎ ‎9．（5分）（2009•北京）若sinθ=﹣，tanθ＞0，则cosθ=　　．‎ ‎【考点】同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有 ‎【分析】根据sin2θ+cos2θ=1可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知，θ在第三象限，‎ ‎∴，‎ ‎∴cosθ=．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】本题主要考查简单的三角函数的运算．属于基础知识、基本运算的考查．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2009•北京）若数列{an}满足：a1=1，an+1=2an（n∈N*），则a5=　16　；前8项的和S8=　255　．（用数字作答）‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先根据a1=1，an+1=2an通过分别求出a1，a2，a3，a4，a5；通过an+1=2an可推知数列为等比数列，根据求和公式进而求得S8．‎ ‎【解答】解：a1=1，a2=2a1=2，a3=2a2=4，a4=2a3=8，a5=2a4=16，‎ ‎∵an+1=2an，即=2‎ ‎∴数列{an}为等比数列，首项为1，公比为2．‎ ‎∴，‎ ‎∴故答案为：16，255．‎ ‎【点评】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题．属于基础知识、基本运算的考查．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2009•北京）（文）若实数x，y满足则s=x+y的最大值为　9　．‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数s=x+y的最大值．‎ ‎【解答】解：满足约束条件的可行域，如图中阴影所示，‎ 由图易得：当x=4，y=5时，s=x+y=4+5=9为最大值．‎ 故答案为：9．‎ ‎【点评】在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2009•北京）已知函数若f（x）=2，则x=　log32　．‎ ‎【考点】函数的图象与图象变化．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】要求若f（x）=2时，对应自变量x的值，我们可根据构造方程，然后根据分段函数的分段标准进行分类讨论，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由⇒x=log32，‎ 无解，‎ 故答案：log32．‎ ‎【点评】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值．属于基础知识、基本运算的考查．分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2009•北京）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=　2　，∠F1PF2的大小为　120°　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】第一问用定义法，由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解．‎ ‎【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，‎ ‎∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．‎ 在△F1PF2中，‎ cos∠F1PF2‎ ‎=‎ ‎==﹣，‎ ‎∴∠F1PF2=120°．‎ 故答案为：2；120°‎ ‎【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，这类题是常考类型，难度不大，考查灵活，特别是对曲线的定义和性质考查的很到位．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2009•北京）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”，给定S={1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有　6　个．‎ ‎【考点】元素与集合关系的判断．菁优网版权所有 ‎【专题】新定义；集合．‎ ‎【分析】列举几个特殊的集合体会孤立元的意义是解本题的关键．‎ ‎【解答】解：依题意可知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．‎ 因此，符合题意的集合是：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}共6个．‎ 故答案为：6．‎ ‎【点评】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力．属于创新题型．列举时要有一定的规律，可以从一端开始，做到不重不漏．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分80分）‎ ‎15．（12分）（2009•北京）已知函数f（x）=2sin（π﹣x）cosx．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．菁优网版权所有 ‎【专题】三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】（1）先将函数f（x）化简为f（x）=sin2x，再由T=可得答案．‎ ‎（2）先由x的范围确定2x的范围，再根据三角函数的单调性可求出最值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π﹣x）cosx=2sinxcosx=sin2x，‎ ‎∴函数f（x）的最小正周期为π．‎ ‎（Ⅱ）由﹣≤2x≤π，‎ ‎∴﹣≤sin2x≤1，‎ ‎∴f（x）在区间上的最大值为1，最小值为﹣．‎ ‎【点评】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力．‎ ‎　‎ ‎16．（14分）（2009•北京）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．‎ ‎（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；‎ ‎（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；证明题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；‎ ‎（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，‎ ‎∵PD⊥底面ABCD，‎ ‎∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，‎ ‎∴平面AEC⊥平面PDB．‎ ‎（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，‎ 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，‎ ‎∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，‎ ‎∴O，E分别为DB、PB的中点，‎ ‎∴OE∥PD，，‎ 又∵PD⊥底面ABCD，‎ ‎∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，‎ 在Rt△AOE中，，‎ ‎∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．‎ ‎【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎17．（13分）（2009•北京）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．‎ ‎（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；‎ ‎（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果．‎ ‎（2）由题意知变量的可能取值，根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，‎ ‎∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，‎ ‎∴事件A的概率为 ‎（Ⅱ）由题意可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）‎ 事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k=0，1，2，3，4），‎ ‎∴，‎ ‎∴即ξ的分布列是 ‎ ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ P ‎∴ξ的期望是 ‎【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．‎ ‎　‎ ‎18．（14分）（2009•北京）设函数f（x）=x3﹣3ax+b（a≠0）．‎ ‎（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值点．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）已知函数的解析式f（x）=x3﹣3ax+b，把点（2，f（2））代入，再根据f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求出a，b的值；‎ ‎（2）由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据极值点的值讨论函数的增减性及其增减区间；‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣3a，‎ ‎∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）∵f′（x）=3（x2﹣a）（a≠0），‎ 当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，此时函数f（x）没有极值点．‎ 当a＞0时，由，‎ 当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，‎ 当时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，‎ 当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，‎ ‎∴此时是f（x）的极大值点，是f（x）的极小值点．‎ ‎【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）（2009•北京）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由离心率和准线方程求的a和c，再根据b2=c2﹣a2求得b，进而可得双曲线的方程．‎ ‎（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），直线方程与双曲线方程联立根据韦达定理表示出x0和y0，把点M代入圆的方程气的m．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意，得，解得，‎ ‎∴b2=c2﹣a2=2，‎ ‎∴所求双曲线C的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），‎ 由得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0（判别式△＞0），‎ ‎∴=m，y0=x0+m=2m，‎ ‎∵点M（x0，y0）在圆x2+y2=5上，‎ ‎∴m2+（2m）2=5，∴m=±1．‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力 ‎　‎ ‎20．（13分）（2009•北京）设数列{an}的通项公式为an=pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．‎ ‎（Ⅰ）若，求b3；‎ ‎（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{bm}的前2m项和公式；‎ ‎（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm=3m+2（m∈N*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．菁优网版权所有 ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先得出an，再解关于n的不等式，利用正整数的条件得出具体结果；‎ ‎（Ⅱ）先得出an，再解关于n的不等式，根据{bn}的定义求得bn再求得S2m；‎ ‎（Ⅲ）根据bm的定义转化关于m的不等式恒成立问题．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意，得，‎ 解，得．‎ ‎∴成立的所有n中的最小正整数为7，即b3=7．‎ ‎（Ⅱ）由题意，得an=2n﹣1，‎ 对于正整数m，由an≥m，得．‎ 根据bm的定义可知 当m=2k﹣1时，bm=k（k∈N*）；‎ 当m=2k时，bm=k+1（k∈N*）．‎ ‎∴b1+b2+…+b2m=（b1+b3+…+b2m﹣1）+（b2+b4+…+b2m）=（1+2+3+…+m）+[2+3+4+…+（m+1）]=．‎ ‎（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn+q≥m及p＞0得．‎ ‎∵bm=3m+2（m∈N*），根据bm的定义可知，对于任意的正整数m都有，‎ 即﹣2p﹣q≤（3p﹣1）m＜﹣p﹣q对任意的正整数m都成立．‎ 当3p﹣1＞0（或3p﹣1＜0）时，得（或），这与上述结论矛盾！‎ 当3p﹣1=0，即时，得，‎ 解得．（经检验符合题意）‎ ‎∴存在p和q，使得bm=3m+2（m∈N*）；p和q的取值范围分别是，．‎ ‎【点评】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题．‎