【物理】2019届一轮复习人教版天体运动的“四类热点”问题学案
专题强化五 天体运动的“四类热点”问题
专题解读 1.本专题是万有引力定律在天体运行中的特殊运用，同步卫星是与地球(中心)相对静止的卫星；而双星或多星模型有可能没有中心天体，近年来常以选择题形式在高考题中出现.
2.学好本专题有助于学生加深万有引力定律的灵活应用，加深力和运动关系的理解.
3.需要用到的知识：牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动规律等.
一、卫星的轨道
1.赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种.
2.极地轨道：卫星的轨道过南、北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星.
3.其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道.
所有卫星的轨道平面一定通过地球的球心.
自测1 (多选)可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道( )
A.与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面同心圆
B.与地球表面上某一经线所决定的圆是共面同心圆
C.与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D.与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的
答案 CD
解析 人造地球卫星运行时，由于地球对卫星的引力提供它做圆周运动的向心力，而这个力的方向必定指向圆心，即指向地心，也就是说人造地球卫星所在轨道圆的圆心一定要和地球的中心重合，不可能是地轴上(除地心外)的某一点，故A错误；由于地球同时绕着地轴在自转，所以卫星的轨道平面也不可能和经线所决定的平面共面，所以B错误；相对地球表面静止的卫星就是地球的同步卫星，它必须在赤道平面内，且距地面有确定的高度，这个高度约为三万六千千米，而低于或高于这个轨道的卫星也可以在赤道平面内运动，不过由于它们公转的周期和地球自转周期不同，就会相对于地面运动，C、D正确.
二、地球同步卫星的特点
相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星.同步卫星有以下“七个一定”的特点：
(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面.
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h.
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同.
(4)高度一定：由G＝m(R＋h)得地球同步卫星离地面的高度h＝－R ≈3.6×107 m.
(5)速率一定：v＝≈3.1×103 m/s.
(6)向心加速度一定：由G＝man得an＝＝gh＝0.23 m/s2，即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度.
(7)绕行方向一定：运行方向与地球自转方向一致.
自测2 (多选)北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS)，建立后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星.关于这些卫星，以下说法正确的是( )
A.5颗同步卫星的轨道半径都相同
B.5颗同步卫星的运行轨道必定在同一平面内
C.导航系统所有卫星的运行速度一定大于第一宇宙速度
D.导航系统所有卫星中，运行轨道半径越大的，周期越小
答案 AB
解析 所有同步卫星的轨道都位于赤道平面，轨道半径和运行周期都相同，选项A、B正确；卫星绕地球做匀速圆周运动，有G＝m，v＝，故卫星运行轨道半径越大，运行速度越小，只有在地球表面附近运行的卫星速度最大，称为第一宇宙速度，其他卫星运行速度都小于第一宇宙速度，选项C错误；由G＝mr得T2＝，则轨道半径r越大，周期越大，选项D错误.
三、卫星变轨
1.当卫星的速度突然增大时，G
m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小.当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v＝可知其运行速度比原轨道时增大，但重力势能、机械能均减小.
自测3 “嫦娥三号”探测器由“长征三号乙”运载火箭从西昌卫星发射中心发射，首次实现月球软着陆和月面巡视勘察.如图1所示，假设“嫦娥三号”
在环月圆轨道和椭圆轨道上运动时，只受到月球的万有引力，则( )
图1
A. 若已知“嫦娥三号”环月圆轨道的半径、运动周期和引力常量，则可以算出月球的密度
B. “嫦娥三号”由环月圆轨道变轨进入环月椭圆轨道时，应让发动机点火使其加速
C. “嫦娥三号”在环月椭圆轨道上P点的速度大于Q点的速度
D.“嫦娥三号”在环月圆轨道上的运行速率比月球的第一宇宙速度小
答案 D
解析 由G＝mr，可得月球的质量M＝，由于月球的半径未知，无法求得月球的体积，故无法计算月球的密度，A错误；“嫦娥三号”在环月圆轨道上P点减速，使万有引力大于运行所需向心力，做近心运动，才能进入环月椭圆轨道，B错误；“嫦娥三号”在环月椭圆轨道上P点向Q点运动过程中，距离月球越来越近，月球对其引力做正功，故速度增大，即P点的速度小于Q点的速度，C错误；卫星离月球表面越高其速度越小，第一宇宙速度是星球表面附近卫星的环绕速度，故“嫦娥三号”在环月圆轨道上的运行速率比月球的第一宇宙速度小，D正确.
命题点一 近地卫星、同步卫星和赤道上物体的运行问题
1.解决同步卫星问题的“四点”注意
(1)基本关系：要抓住G＝ma＝m＝mrω2＝mr.
(2)重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析.
(3)物理规律：
①不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期.
②不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径.
③不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方的特定的点上.
(4)重要条件：
①地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球表面半径约为6.4×103 km，表面重力加速度g约为9.8 m/s2.
②月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天.
③人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103 km，运行周期最小为T＝84.8 min，运行速度最大为v＝7.9 km/s.
2.两个向心加速度
卫星绕地球运行的向心加速度
物体随地球自转的向心加速度
产生原因
由万有引力产生
由万有引力的一个分力(另一分力为重力)产生
方向
指向地心
垂直且指向地轴
大小
a＝(地面附近a近似等于g)
a＝rω2，r为地面上某点到地轴的距离，ω为地球自转的角速度
特点
随卫星到地心的距离的增大而减小
从赤道到两极逐渐减小
3.两种周期
(1)自转周期是天体绕自身某轴线转动一周所需的时间，取决于天体自身转动的快慢.
(2)公转周期是运行天体绕中心天体做圆周运动一周所需的时间，T＝2π，取决于中心天体的质量和运行天体到中心天体的距离.
例1 (2017·江西鹰潭模拟)有a、b、c、d四颗卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b在地面附近近地轨道上正常运行，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，设地球自转周期为24 h，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如图2所示，则下列关于卫星的说法中正确的是( )
图2
A.a的向心加速度等于重力加速度g
B.c在4 h内转过的圆心角为
C.b在相同的时间内转过的弧长最长
D.d的运动周期可能是23 h
答案 C
解析 同步卫星的运行周期与地球自转周期相同，角速度相同，则a和c
的角速度相同，根据a＝ω2r知，c的向心加速度大，由＝ma知，c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度约为g，故a的向心加速度小于重力加速度g，选项A错误；由于c为同步卫星，所以c的周期为24 h，因此4 h内转过的圆心角为θ＝，选项B错误；由四颗卫星的运行情况可知，b运行的线速度是最大的，所以其在相同的时间内转过的弧长最长，选项C正确；d的运行周期比c要长，所以其周期应大于24 h，选项D错误.
例2 (2016·全国卷Ⅰ·17)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯.目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍.假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A.1 h B.4 h C.8 h D.16 h
答案 B
解析 地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开普勒第三定律＝k可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由数学几何关系可作出它们间的位置关系如图所示.
卫星的轨道半径为r＝＝2R
由＝得＝.
解得T2≈4 h.
变式1 (2016·四川理综·3)国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.如图3所示，1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上.设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )
图3
A.a2＞a1＞a3 B.a3＞a2＞a1
C.a3＞a1＞a2 D.a1＞a2＞a3
答案 D
解析 由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，根据a＝ω2r，r2>r3，则a2>a3；由万有引力定律和牛顿第二定律得，G＝ma，由题目中数据可以得出，r1a2>a3，选项D正确.
命题点二 卫星变轨问题
1.变轨原理及过程
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上.如图4所示.
图4
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2.变轨过程各物理量分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同.
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1ωA，而ωB＝ωA，则ωC>ωB，又根据v＝ωr，rC＝rB，得vC>vB，故B项正确，A项错误.对卫星C有G＝mCωC2rC，又ωC>ωB，对物体B有G>mBωB2rB，若B突然脱离电梯，B将做近心运动，D项正确，C项错误.
5.(多选)如图3所示，A表示地球同步卫星，B为运行轨道比A低的一颗卫星，C为地球赤道上某一高山山顶上的一个物体，两颗卫星及物体C的质量都相同，关于它们的线速度、角速度、运行周期和所受到的万有引力的比较，下列关系式正确的是( )
图3
A.vB>vA>vC B.ωA>ωB>ωC
C.FA>FB>FC D.TA＝TC>TB
答案 AD
解析 A为地球同步卫星，故ωA＝ωC，根据v＝ωr可知，vA>vC，再根据G＝m得到v＝，可见vB>vA，所以三者的线速度关系为vB>vA>vC，故选项A正确；由同步卫星的含义可知TA＝TC，再由G＝m2r，可知TA>TB，因此它们的周期关系为TA＝TC>TB，由ω＝可知它们的角速度关系为ωB>ωA＝ωC，所以选项D正确，B错误；由F＝G可知FAω2
C.GM＝ω22(L－R)L2 D.Gm＝ω12R3
答案 C
解析 双星系统中两颗星的角速度相同，ω1＝ω2，则A、B项错误.由＝mω22(L－R)，得GM＝ω22(L－R)L2，C项正确.由＝Mω12R，得Gm＝ω12RL2，D项错误.
11.如图5所示，A是地球的同步卫星.另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h.已知地球半径为R，地球自转的角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地心.
图5
(1)求卫星B的运行周期.
(2)若卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
答案 见解析
解析 (1)根据万有引力定律和牛顿第二定律，
对卫星B有：G＝m(R＋h)
对地球表面上的物体：G＝m′g
联立解得TB＝2π
(2)由题意得(ωB－ω0)t＝2π
又ωB＝，解得t＝.
12.(2018·安徽安庆模拟)发射宇宙飞船的过程要克服引力做功，已知将质量为m的飞船在距地球中心无限远处移到距地球中心为r处的过程中，引力做功为W＝，飞船在距地球中心为r处的引力势能公式为Ep＝－，式中G为引力常量，M为地球质量.若在地球的表面发射一颗人造地球卫星，发射的速度很大，此卫星可以上升到离地心无穷远处(即地球引力作用范围之外)，这个速度称为第二宇宙速度(也称逃逸速度).
(1)试推导第二宇宙速度的表达式.
(2)已知逃逸速度大于真空中光速的天体叫黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M＝1.98×1030 kg，求它可能的最大半径？
答案 (1)v＝ (2)2.93×103 m
解析 (1)设距地心无穷远处的引力势能为零，地球的半径为R，第二宇宙速度为v，所谓第二宇宙速度，就是卫星摆脱中心天体束缚的最小发射速度.
则卫星由地球表面上升到离地球表面无穷远的过程，根据机械能守恒定律得Ek＋Ep＝0
即mv2－G＝0
解得v＝
(2)由题意知v>c，即>c
得R<＝ m≈2.93×103 m
则该黑洞可能的最大半径为2.93×103 m.
