云南中考数学总复习专题训练专题三　圆切线的相关证明及计算

云南中考数学总复习专题训练专题三　圆切线的相关证明及计算

专题三　圆切线的相关证明及计算 类型一 角平分线模型 ‎ (2019·云南省卷)如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE.‎ ‎(1)求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎(2)若AE＝6，∠D＝30°，求图中阴影部分的面积．‎ ‎【分析】(1)连接OC，先证明∠OAC＝∠OCA，结合AC平分∠BAE，得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；(2)分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影＝S△COD－S扇形OBC即可得到答案．‎ ‎【自主解答】‎ ‎1．(2019·营口)如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F.‎ ‎(1)求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎(2)若cos∠CAD＝，BF＝15，求AC的长．‎ ‎2．如图，半圆O的直径AB＝5，AC、AD为弦，且AC＝3，AD平分∠BAC，过D作AC延长线的垂线，垂足为E.‎ ‎(1)求证：DE为⊙O的切线；‎ ‎(2)求AD的长．‎ ‎3．(2019·聊城)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．‎ ‎(1)求证：AC是⊙O的切线；‎ ‎(2)已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．‎ ‎4．(2019·咸宁)如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.‎ ‎(1)求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎(2)若AB＝2，BC＝，求DE的长．‎ ‎5．(2019·原创)如图，在△ABC中，CA＝CB，∠CAB＝30°，⊙O经过点C，且直径AD在线段AB上，连接OC，OE平分∠AOC交弧AC于点E，连接AE，EC.‎ ‎(1)求证：CB是⊙O的切线；‎ ‎(2)若M在边AC上，OM＝CM＝2，求△ABC的面积．‎ ‎6．(2019·成都)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G.‎ ‎(1)求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎(2)设AB＝x，AF＝y，试用x，y的代数式表示线段AD的长；‎ ‎(3)若BE＝8，sin B＝，求DG的长．‎ 类型二 弦切角模型 ‎ (2019·云南省卷)如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠BAC.　‎ ‎(1)求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎(2)若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积．‎ ‎【自主解答】 ‎ ‎1．(2019·玉林)如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC＝∠B.‎ ‎(1)求证：AC是⊙O的切线；‎ ‎(2)点E是AB上一点，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝，⊙O的半径是4，求EC的长．‎ ‎2．(2019·齐齐哈尔)如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC.　‎ ‎(1)求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎(2)若BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．‎ ‎3．(2019·曲靖二模)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作∠ADE＝∠A，交AC于点E.‎ ‎(1)求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎(2)若BC＝15，tan A＝，求DE的长．‎ ‎4．(2019·兰州)如图，AB为圆O的直径，C为圆O上的一点，D为BA延长线上的一点，∠ACD＝∠B.　‎ ‎(1)求证：DC为圆O的切线；‎ ‎(2)线段DF分别交AC，BC于点E，F，且∠CEF＝45°，圆O的半径为5，sin B＝，求CF的长．‎ 类型三 双切线模型 ‎ (2019·云南省卷)已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f.　‎ ‎(1)求证：PC是⊙O的切线；‎ ‎(2)设OP＝AC，求∠CPO的正弦值；‎ ‎(3)设AC＝9，AB＝15，求d＋f的取值范围．‎ ‎【分析】 (1)连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠OCA，由平行线的性质得到∠A＝∠BOP，∠ACO＝∠COP，等量代换得到∠COP＝∠BOP，由切线的性质得到∠OBP＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；(2)过O作OD⊥AC于D，根据相似三角形的性质得到CD·OP＝OC2，根据已知条件得到＝，由三角函数的定义即可得到结论；(3)连接BC，根据勾股定理得到BC＝＝12，分别讨论点M与点A重合时，与AB垂直时和与点B重合时d＋f的值，从而得到结论．‎ ‎【自主解答】‎ ‎1．(2019·曲靖)如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D.恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB＝∠ADC.　‎ ‎(1)判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)若PC＝，求四边形OCDB的面积．‎ ‎2．(2019·江西)如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD.‎ ‎(1)求证：AB为⊙O的切线；‎ ‎3．(2019·临沂)如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E.‎ ‎(1)求证：AC是⊙O的切线；‎ ‎(2)若BD＝，BE＝1，求阴影部分的面积．‎ ‎4．(2019·武汉)如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA＝PB.　‎ ‎(1)求证：PB是⊙O的切线；‎ ‎(2)若∠APC＝3∠BPC，求的值．‎ 参考答案 ‎【专题类型突破】‎ 类型一 ‎【例1】 (1)证明：如解图，连接OC，‎ ‎∵OA＝OC，‎ ‎∴∠OAC＝∠OCA，‎ ‎∵AC平分∠BAE，‎ ‎∴∠OAC＝∠CAE，‎ ‎∴∠OCA＝∠CAE，‎ ‎∴OC∥AE，‎ ‎∴∠OCD＝∠E，‎ ‎∵AE⊥DE，∴∠E＝90°，‎ ‎∴∠OCD＝90°，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ 又∵点C在圆O上，‎ ‎∴DE是圆O的切线；‎ ‎(2)解：∵在Rt△AED中，∠D＝30°，AE＝6，‎ ‎∴AD＝2AE＝12，‎ 在Rt△OCD中，∵∠D＝30°，‎ ‎∴DO＝2OC＝DB＋OB＝DB＋OC，‎ ‎∴DB＝OB＝OC＝AD＝4，DO＝8，‎ ‎∴CD＝＝＝4，‎ ‎∴S△OCD＝＝＝8，‎ ‎∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，‎ ‎∴∠DOC＝60°，‎ ‎∴S扇形OBC＝π·OC2＝π，‎ ‎∵S阴影＝S△COD－S扇形OBC，‎ ‎∴S阴影＝8－，‎ 即阴影部分的面积为8－.‎ 针对训练 ‎1．(1)证明：如解图，连接OC，‎ ‎∵点C是的中点，‎ ‎∴＝，∴OC⊥BE.‎ ‎∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BE，‎ ‎∴AD∥OC.‎ ‎∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，‎ ‎∴CD是⊙O的切线；‎ ‎(2)解：如解图，连接BC，‎ 在△AEF和△BCF中，‎ ‎∴△AEF∽△BCF，‎ ‎∴＝，‎ ‎∵cos∠CAD＝＝，‎ ‎∴＝＝.‎ BC＝BF＝12.‎ ‎∵cos∠CAD＝，∴tan∠CAD＝＝，‎ ‎∵点C是的中点，∴＝，∠BAC＝∠CAE，‎ 在Rt△ABC中，tan∠BAC＝tan∠CAE＝＝，‎ ‎∴AC＝BC＝16.‎ ‎2．(1)证明：∵AD平分∠CAB，‎ ‎∴∠CAD＝∠OAD，‎ ‎∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，‎ ‎∴∠ODA＝∠CAD，∴AC∥OD.‎ ‎∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，‎ ‎∴DE是⊙O的切线；‎ ‎(2)解：如解图，连接BC交OD于点F.‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∵AC＝3，AB＝5，‎ ‎∴由勾股定理可知BC＝4.‎ ‎∵OD∥AE，∴OD⊥BC，∴CF＝BF＝2，‎ ‎∵DE⊥AE，BC⊥AE，∴DE∥BC，‎ ‎∴四边形CEDF是矩形，‎ ‎∴DE＝CF＝2，又易得OF＝AC＝，‎ ‎∴CE＝DF＝DO－OF＝－＝1，∴AE＝4，‎ 在Rt△ADE中，AD＝＝＝2.‎ ‎3．(1)证明： 连接OE，如解图，‎ ‎∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB.‎ ‎∵BE平分∠ABC，‎ ‎∴∠OBE＝∠EBC.‎ ‎∴∠OEB＝∠EBC.∴OE∥BC.‎ 又∵∠C＝90°，‎ ‎∴∠OEA＝90°，即AC⊥OE.‎ 又∵OE是⊙O的半径，‎ ‎∴AC是⊙O的切线；‎ ‎(2)解： 在△BCE与△BED中，‎ ‎∵∠C＝∠BED＝90°，∠EBC＝∠DBE，　‎ ‎∴△BCE∽△BED.‎ ‎∴＝，‎ ‎∵BE＝4，BD是⊙O的直径，BD＝5，‎ ‎∴＝，BC＝，‎ 又∵OE∥BC，∴＝，‎ ‎∵AO＝AD＋2.5，AB＝AD＋5，‎ ‎∴＝，解得AD＝.‎ ‎4．(1)证明： 连接OD，如解图．‎ ‎∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.‎ ‎∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝45°.‎ ‎∴∠AOD＝90°.‎ ‎∵DE∥AC，‎ ‎∴∠ODE＝∠AOD＝90°，即OD⊥DE.‎ 又∵点D在⊙O上，‎ ‎∴DE是⊙O的切线；‎ ‎(2)解： 在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝，‎ ‎∴AC＝＝5，‎ ‎∴OD＝.‎ 过点C作CG⊥DE，垂足为G，‎ 则四边形ODGC为正方形，∴DG＝CG＝OD＝.‎ ‎∵DE∥AC，‎ ‎∴∠CEG＝∠ACB，∴tan∠CEG＝tan∠ACB，‎ ‎∴＝，即＝，‎ ‎∴GE＝，‎ ‎∴DE＝DG＋GE＝.‎ ‎5．(1)证明： ∵CA＝CB，OA＝OC，　‎ ‎∴∠B＝∠OCA＝∠OAC＝30°.　‎ ‎∴∠OCB＝180°－∠OAC－∠OCA－∠B＝90°，‎ ‎∴CB⊥CO，‎ ‎∵OC为⊙O的半径，‎ ‎∴CB是⊙O的切线；‎ ‎(2)解：如解图，过C点作CF⊥AB交AB于点F，则AF＝BF，‎ ‎∵OM＝CM＝2，∴∠MOC＝∠MCO＝30°，‎ ‎∵OA＝OC，∠CAB＝30°.‎ ‎∴∠AOC＝120°，‎ ‎∴∠AOM＝90°，‎ 在Rt△AOM中，AM＝2OM＝4，‎ ‎∴AC＝6，‎ 在Rt△ACF中，CF＝AC＝3，‎ AF＝CF＝3，‎ ‎∴AB＝2AF＝6，‎ ‎∴S△ABC＝×6×3＝9.‎ ‎6．(1)证明： 如解图，连接OD.‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD.‎ ‎∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.‎ ‎∴∠ODA＝∠CAD.‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∴∠ODB＝∠C＝90°，‎ 即OD⊥BC.‎ ‎∴BC是⊙O的切线；‎ ‎(2)解： 连接DF，如解图．‎ ‎∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD.‎ ‎∴∠ODF＝(180°－∠DOF)＝90°－∠DOF.‎ ‎∴∠FDC＝90°－∠ODF＝∠DOF.‎ ‎∵∠DAF＝∠DOF，∴∠FDC＝∠DAF.‎ ‎∴∠FDC＝∠ODA.‎ ‎∵∠ADB＝90°＋∠ODA，∠AFD＝90°＋∠FDC，‎ ‎∴∠ADB＝∠AFD.‎ ‎∵∠BAD＝∠DAF，‎ ‎∴△ABD∽△ADF.‎ ‎∴＝.‎ ‎∴AD2＝AB·AF＝xy.‎ ‎∴AD＝；‎ ‎(3)解： 如解图，连接EF.‎ 在Rt△BOD中，sinB＝＝.‎ 设⊙O的半径为r，∴＝，解得r＝5.‎ 经检验，r＝5是所列分式方程的解．‎ ‎∴AE＝10，AB＝18.‎ ‎∵AE是⊙O直径，∴∠AFE＝90°.‎ ‎∵∠C＝90°，‎ ‎∴EF∥BC.‎ ‎∴∠AEF＝∠B.‎ ‎∴sin∠AEF＝sin B＝，‎ ‎∴AF＝AE·sin∠AEF＝10×＝.‎ ‎∵OD∥AC，‎ ‎∴△AGF∽△DGO，‎ ‎∴＝＝＝，‎ ‎∴DG＝AD.‎ ‎∵AD＝＝＝，‎ ‎∴DG＝×＝.‎ 类型二 ‎【例2】 (1)证明： 如解图，连接OC.‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ 即∠ACO＋∠OCB＝90°.‎ ‎∵OA＝OC，‎ ‎∴∠ACO＝∠BAC.‎ ‎∵∠BCD＝∠BAC，‎ ‎∴∠ACO＝∠BCD.‎ ‎∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°.‎ ‎∴OC⊥CD.‎ 又∵OC是⊙O的半径，‎ ‎∴CD是⊙O的切线；‎ ‎(2)解：∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，‎ ‎∴∠BOC＝60°，OD＝2OC.‎ ‎∴∠AOC＝120°，∠A＝30°.‎ 设⊙O的半径为x，则OB＝OC＝x.‎ ‎∴x＋2＝2x.‎ 解得x＝2.‎ 如解图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，则AE＝CE，‎ 在Rt△OEA中，OE＝OA＝1，AE＝＝＝.‎ ‎∴AC＝2.‎ ‎∴S阴影＝S扇形OAC－S△OAC ‎＝－×2×1‎ ‎＝π－.‎ 针对训练 ‎1．(1)证明： ∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，‎ ‎∴∠B＋∠BAD＝90°，‎ ‎∵∠DAC＝∠B，‎ ‎∴∠DAC＋∠BAD＝90°，‎ ‎∴∠BAC＝90°，‎ ‎∴BA⊥AC，且AB是⊙O的直径，‎ ‎∴AC是⊙O的切线；‎ ‎(2)解：∵∠BCE＝∠B，‎ ‎∴EC＝EB，设EC＝EB＝x，‎ 在Rt△ABC中，tan∠B＝＝，AB＝8，‎ ‎∴AC＝4，‎ 在Rt△AEC中，∵EC2＝AE2＋AC2，‎ ‎∴x2＝(8－x)2＋42，‎ 解得x＝5，‎ ‎∴CE＝5.‎ ‎2．(1)证明： ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，‎ ‎∴∠A＋∠ABD＝90°，‎ 又∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC，　‎ ‎∴∠A＝∠DBC. ‎ ‎∴∠DBC＋∠ABD＝90°，‎ ‎∴AB⊥BC，‎ 又∵OB是⊙O的半径，‎ ‎∴BC是⊙O的切线；‎ ‎(2)解： 如解图，连接OD，‎ ‎∵BF＝BC＝2，∠ADB＝90°，‎ ‎∴∠CBD＝∠FBD.‎ 又∵OE∥BD，∴∠FBD＝∠OEB.‎ ‎∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE.‎ ‎∴∠CBD＝∠EBD＝∠OBE＝∠ABC＝30°，‎ ‎∴∠C＝60°.∴AB＝BC＝2，‎ ‎∴⊙O的半径为.‎ ‎∵∠OBD＝∠OBE＋∠EBD＝60°，OB＝OD，‎ ‎∴△OBD是等边三角形，∠BOD＝60°，‎ ‎∴阴影部分的面积为S扇形OBD－S△OBD＝π×3－××＝－.‎ ‎3．(1)证明： 如解图，连接OD，‎ ‎∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，‎ ‎∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，‎ 又∵∠A＝∠ADE，‎ ‎∴∠ADE＋∠ODB＝∠A＋∠B＝90°，‎ ‎∴∠ODE＝180°－90°＝90°，‎ ‎∴DE⊥OD，‎ ‎∵OD为⊙O的半径，‎ ‎∴DE是⊙O的切线；‎ ‎(2)解： 在Rt△ABC中，tan A＝＝，‎ ‎∴＝，解得AC＝20，‎ ‎∵EC⊥BC，BC为⊙O的直径，∴EC是⊙O的切线，‎ 又∵∠A＝∠ADE，∴ED＝EA，∴ED＝AE＝CE，‎ ‎∴DE＝AC＝×20＝10.‎ ‎4．(1)证明： 如解图，连接OC，‎ ‎∵OB＝OC，‎ ‎∴∠OBC＝∠OCB，‎ ‎∵AB是圆O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠OCA＋∠OCB＝90°，‎ ‎∵∠ACD＝∠B，‎ ‎∴∠ACD＋∠OCA＝90°，‎ ‎∴OC⊥CD，且OC是圆O的半径，‎ ‎∴CD是圆O的切线；‎ ‎(2)解： ∵∠CEF＝45°，∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴CF＝CE.‎ ‎∵sin B＝＝，∴AC＝6，由勾股定理得，BC＝8，‎ ‎∵∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠COB，‎ ‎∴△CAD∽△BCD，‎ ‎∴＝＝，‎ 设AD＝3x，CD＝4x，‎ 在Rt△OCD中，OC2＋CD2＝OD2，即52＋(4x)2＝(5＋3x)2，‎ 解得x＝0(舍去)或x＝，‎ ‎∴AD＝，CD＝，‎ ‎∵∠CEF＝∠ACD＋∠CDE，∠CFE＝∠B＋∠BDF，‎ ‎∵∠ACD＝∠B，‎ ‎∴∠CDE＝∠BDF，‎ ‎∴△CDE∽△BDF，‎ ‎∴＝，即＝，‎ ‎∵CE＝CF，‎ ‎∴CF＝.‎ 类型三 ‎【例3】 (1)证明：如解图，连接OC，‎ ‎∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，‎ ‎∵AC∥OP，∴∠A＝∠BOP，∠ACO＝∠COP，‎ ‎∴∠COP＝∠BOP，‎ ‎∵PB是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠OBP＝90°，‎ 在△POC与△POB中，‎ ，‎ ‎∴△COP≌△BOP，‎ ‎∴∠OCP＝∠OBP＝90°，‎ ‎∵OC是⊙O的半径，‎ ‎∴PC是⊙O的切线；‎ ‎(2)解：如解图，过O作OD⊥AC于D，‎ ‎∴∠ODC＝∠OCP＝90°，CD＝AC，‎ ‎∵∠DCO＝∠COP，‎ ‎∴△ODC∽△PCO，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴CD·OP＝OC2，‎ ‎∵OP＝AC，‎ ‎∴AC＝OP，‎ ‎∴CD＝OP，‎ ‎∴OP·OP＝OC2，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴sin∠CPO＝＝；‎ ‎(3)解：如解图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴AC⊥BC，‎ ‎∵AC＝9，AB＝15，‎ ‎∴BC＝＝12，‎ 当M与A重合时，d＝0，f＝12.∴d＋f＝12，‎ 当CM⊥AB时，‎ d＝AM，f＝BM，‎ ‎∴d＋f＝AM＋BM＝15，‎ 当M与B重合时，‎ d＝9，f＝0，‎ ‎∴d＋f＝9，‎ ‎∴d＋f的取值范围是：9≤d＋f≤15.‎ 针对训练 ‎1．解： (1)PM是⊙O的切线．理由如下：‎ 如解图，连接DO并延长交PM于E，‎ ‎∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，‎ ‎∴OC＝DC，OB＝BD，‎ ‎∴OC＝OB＝DC＝BD，‎ ‎∴四边形OBDC为菱形，‎ ‎∴OC⊥BC，‎ ‎∴△OCD和△OBD都是等边三角形，‎ ‎∴∠COD＝∠BOD＝60°，‎ ‎∴∠COP＝∠EOP＝60°，‎ ‎∵∠MPB＝∠ADC，∠ADC＝∠ABC，‎ ‎∴∠MPB＝∠ABC，‎ ‎∴PM∥BC，‎ ‎∴OE⊥PM，‎ ‎∵CD是⊙O的切线，‎ ‎∴∠DCP＝90°，‎ 在△OPE和△OPC中，‎ ‎∴△POE≌△POC(AAS)，‎ ‎∴OE＝OC，‎ ‎∴PM是⊙O的切线；‎ ‎(2)由(1)得∠CPO＝30°，‎ ‎∴OC＝PC·tan30°＝×＝1，‎ S四边形OCDB＝2S△OCD＝2××1×＝，‎ ‎∴四边形OCDB的面积为.‎ ‎2．(1)证明：如解图，过点O作OE⊥AB于点E，‎ ‎∵AD⊥BO于点D，‎ ‎∴∠D＝90°，‎ ‎∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∠AOD＋∠OAD＝90°.‎ ‎∵∠AOD＝∠BAD，‎ ‎∴∠ABD＝∠OAD.‎ 又∵BC为⊙O的切线，‎ ‎∴AC⊥BC，‎ ‎∴∠BOC＋∠OBC＝90°.‎ ‎∵∠BOC＝∠AOD，‎ ‎∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD.‎ 在△BOE和△BOC中，‎ ‎∴△BOE≌△BOC(AAS)．‎ ‎∴EO＝CO，‎ ‎∵EO⊥AB，‎ ‎∴AB为⊙O的切线；‎ ‎(2)解：∵∠ABC＋∠BAC＝90°，∠EOA＋∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠EOA＝∠ABC，‎ ‎∵tan∠ABC＝，BC＝6，‎ ‎∴AC＝BC·tan∠ABC＝8，‎ 在Rt△ABC中，‎ AB2＝AC2＋BC2，‎ ‎∴AB＝10.‎ ‎∵BC，BA都为圆外一点B引出的切线，‎ ‎∴BE＝BC＝6，‎ ‎∴AE＝4.‎ ‎∵tan∠ABC＝tan∠EOA＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴OE＝3，‎ ‎∴OB＝＝3.‎ ‎∵∠ABD＝∠OBC，∠D＝∠ACB＝90°，‎ ‎∴△ABD∽△OBC，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AD＝2.‎ ‎3．(1)证明： 如解图，过点O作OF⊥AC，垂足为点F，连接OA.‎ ‎∵△ABC是等腰三角形，点O是底边BC的中点，‎ ‎∴OA也是△ABC的高线，也是∠BAC的平分线，‎ ‎∵AB是⊙O的切线，‎ ‎∴OD⊥AB，‎ 又∵OF⊥AC，‎ ‎∴OF＝OD，即OF是⊙O的半径，‎ ‎∴AC是⊙O的切线；‎ ‎(2)解： 设⊙O半径为x，则在Rt△BOD中，OB＝x＋1，由勾股定理，得：‎ ‎(x＋1)2＝x2＋()2，解得x＝1，即OD＝OF＝1.‎ ‎∵sin∠BOD＝＝，∴∠BOD＝60°.‎ ‎∴∠AOD＝90°－∠BOD＝30°，‎ ‎∴AD＝AF＝OD·tan∠AOD＝.‎ ‎∴S阴影＝S四边形ADOF－S扇形DOF＝AD·OD·2－π×12＝－＝.‎ ‎4．(1)证明： 方法一：如解图，分别连接OB，OP，　‎ 在△OAP和△OBP中，‎ ，‎ ‎∴△OAP≌△OBP(SSS)，‎ ‎∴∠OBP＝∠OAP，‎ ‎∵PA是⊙O的切线，‎ ‎∴∠OBP＝∠OAP＝90°，且B在⊙O上，‎ ‎∴PB是⊙O的切线．‎ 方法二：如解图，连接OB.‎ ‎∵PA是⊙O的切线，‎ ‎∴∠PAO＝90°.‎ ‎∵OA＝OB，PA＝PB，‎ ‎∴∠OAB＝∠OBA，∠PAB＝∠PBA.‎ ‎∴∠PBO＝∠PAO＝90°，‎ ‎∴PB是⊙O的切线；‎ ‎(2)解： 连接BC，设AB与OP交于点F，‎ ‎∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，‎ ‎∵PA，PB是⊙O的切线，‎ ‎∴PO垂直平分AB，PO平分∠APB.‎ ‎∴OP∥BC，∴∠OPC＝∠PCB.‎ ‎∵∠APC＝3∠BPC，‎ ‎∴∠OPC＝∠CPB，‎ ‎∴∠PCB＝∠CPB.‎ ‎∴CB＝BP.‎ 设OF＝t，则CB＝BP＝2t，‎ ‎∵∠OPB＝∠BPF，∠OBP＝∠BFP，‎ ‎∴△POB∽△PBF，∴＝，即PB2＝PF·PO.‎ 即(2t)2＝PF·(PF＋t)．‎ 解得PF＝t(取正值)．‎ ‎∵PF∥BC，‎ ‎∴△PFE∽△CBE，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝＝.‎