数学理卷·2017届湖北省襄阳市优质高中高三1月联考（2017

数学理卷·2017届湖北省襄阳市优质高中高三1月联考（2017

襄阳市优质高中2017届高三联考试题 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1.已知集合，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知是关于的方程的一个根，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.设向量，且与的方向相反，则实数的值为 ‎ A. B. C. 或 D.的值不存在 ‎4.下列说法错误的是（ ）‎ ‎ A. 若，则 ‎ B. “”是的充分不必要条件 ‎ C. 命题“若，则”的否命题是“若，则” ‎ D.已知，则为假命题 ‎5.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知成等差数列，成等比数列，则的值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.已知某几何体的三视图如图所示（正视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的表面积是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知函数，则函数的大致图象为 ‎10.已知，在矩形中，,点P为矩形ABCD内一点，则使得的概率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知函数是偶函数，则下列结论可能成立的是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.抛物线的焦点为F,准线为，A,B是抛物线上的两个动点，且满足，设线段AB的中点M在上的投影为N，则的最大值是 ‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅰ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示.若某高校A专业对视力的要求在以上，则该班学生中能报A专业的人数为 . ‎ ‎14.已知函数的图象经过点，且相邻两条对称轴的距离为 ‎，则函数在上的单调递减区间为 .‎ ‎15.将三项式展开，当时，得到以下等式：‎ 观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数（不足3个数的，缺少的数记为0）的和，第行共有个数，若在的展开式中，项的系数为75，则实数的值为 . ‎ ‎16.若，对任意的，都有，且.设表示整数的个位数字，则 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17.（本题满分12分）在中，角的的对边分别为 ‎ （1）若成等比数列，，求的值；‎ ‎ （2）若成等差数列，且，设，的周长为，求的最大值.‎ ‎18.（本题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展新机遇，2016年双11期间，某网络购物平台推销了A,B,C三种商品，某网购者决定抢购这三种商品，假设该名网购者都参与了A,B,C三种商品的抢购，抢购成功与否相互独立，且不重复抢购同一种商品，对A,B,C三件商品抢购成功的概率分别为，已知三件商品都被抢购成功的概率为，至少有一件商品被抢购成功的概率为.‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）若购物平台准备对抢购成功的A,B,C三件商品进行优惠减免，A商品抢购成功减免2百元，B商品抢购成功减免4比百元，C商品抢购成功减免6百元.求该名网购者获得减免总金额（单位：百元）的分别列和数学期望.‎ ‎19.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，为棱的中点，异面直线与所成的角为.‎ ‎ （1）在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；‎ ‎ （2）若二面角的大小为，求二面角的余弦值.‎ ‎20.（本题满分12分）已知椭圆的一个焦点为，其左顶点A在圆上.‎ ‎ （1）求椭圆的方程；‎ ‎ （2）直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为（点与点不重合），且直线与轴的交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.‎ ‎21.（本题满分12分）已知函数 ‎ （1）试判断的单调性；‎ ‎ （2）若在区间上有极值，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当时，若有唯一的零点，试求的值.（注：为取整函数，表示不超过的最大整数，如；以下数据供参考：）‎ 请考试在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ‎ （1）求曲线C的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；‎ ‎ （2）设直线与曲线交于两点，若点的直角坐标为，试求当时，的值.‎ ‎22.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 （1） 若，恒有成立，求实数的取值范围；‎ （2） 若，使得成立，试求实数的取值范围.‎ 襄阳市优质高中2017届高三联考试题 数学（理科）（参考答案）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D A B D A C D A D B B ‎13、20 14、 15、1 16、6‎ ‎17、解：（Ⅰ） ‎ 由成等比数列，得． …………………………………2分 又由正弦定理，得 ‎ ‎　 ‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………4分 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………６分 ‎（Ⅱ）由角成等差数列，得．　　　　 ‎ 又，由正弦定理，及得 ‎ ‎ ∴　　　　　 ………………８分 ‎∴周长 ‎　　　　　 ‎ ‎　　 ………………10分 ‎ ‎∵ ∴当即时　‎ 所以周长的最大值为6．　　　 ………………１２分 ‎18、解：（Ⅰ）由题意，得，　 ‎ 因为，解得． …………………4分 ‎（Ⅱ）由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量（单位：百元），‎ 则的值可以为0，2，4，6，8，10，12． …………………5分 而；；‎ ‎ ；；‎ ‎；；‎ ‎． …………………9分 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ 于是有 ‎…12分 ‎19、解：（I）延长交直线于点， ‎ ‎∵点为的中点，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵∥，即∥．∴四边形为平行四边形，即∥．‎ ‎∵，∴，∴∥，‎ ‎∵平面，∴∥平面， …………4分 ‎ ‎∵，平面，∴平面，故在平面内可以找到一点，使得直线∥平面 ………………………6分　　 　　‎ ‎（II）法一、‎ 如图所示，∵，异面直线与所成的角为，即⊥ 又，‎ ‎∴⊥平面． ‎ 又即⊥‎ ‎∴⊥平面 ‎ ‎∴⊥．‎ 因此是二面角的平面角，其大小为．‎ ‎∴． ……………………8分 ‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则．‎ ‎∴，，，‎ ‎∴，，，‎ 易知平面的法向量为 设平面的法向量为，则，可得：．‎ 令，则，∴． …………………………10分 设二面角的平面角为，‎ 则=． ‎ ‎ ∴ 二面角的余弦值为． ………………１２分 法二、同法一可得⊥平面， ‎ 过点作交的延长线于，连接 ‎∵⊥平面 平面 ‎∴ 又，∴平面 ‎∴∴即为二面角的平面角．……………10分 在中 ‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴ 二面角的余弦值为． ………………１２分 ‎20、解：（Ⅰ ）∵椭圆的左顶点在圆上，∴‎ 又∵椭圆的一个焦点为，∴ ∴‎ ‎∴椭圆的方程为　　　 ………………４分 ‎（Ⅱ ）设，则直线与椭圆方程联立 化简并整理得， ‎ ‎∴， ………………５分 由题设知 ∴直线的方程为 令得 ‎ ∴点　　 ………………７分 ‎　………………９分 ‎（当且仅当即时等号成立）‎ ‎∴的面积存在最大值，最大值为1.　　　 ………………１２分 ‎21、解：（Ⅰ），‎ ‎①当时，，∴函数在区间上单调递减；‎ ‎②当时，由，解得 当时，，此时函数g（x）单调递减；当时，，此时函数单调递增．　　 ………………３分 ‎（Ⅱ），其定义域为．‎ ‎，　　　 ………………４分 令，，‎ 当时，恒成立，∴在上为增函数，‎ 又，‎ ‎∴函数在内至少存在一个变号零点，且也是的变号零点，此时在区间内有极值．　 ………………５分 当时，，即时，恒成立，‎ ‎∴函数在单调递减，此时函数无极值 …………………6分 　 ‎ 综上可得：在区间内有极值时实数的取值范围是 ……７分 ‎（Ⅲ）∵时，函数的定义域为 由（Ⅱ）可知：知时，，∴．‎ 又在区间上只有一个极小值点记为，‎ 且时，，函数单调递减，时，，函数单调递增， ‎ 由题意可知：即为．　 …………………………９分 ‎∴，∴消去可得：，‎ 即 令，则在区间上单调递增 又∵‎ 由零点存在性定理知 ‎ ‎∴ ∴ ．　　 ………………１２分　‎ ‎22、解：（Ⅰ）曲线：，可以化为，，‎ 因此，曲线的直角坐标方程为………………４分 它表示以为圆心、为半径的圆．　 ………………５分 ‎（Ⅱ）法一：当时，直线的参数方程为(为参数) ‎ 点在直线上，且在圆内，把 代入中得 ………………6分 设两个实数根为，则两点所对应的参数为，‎ 则， ………………8分 ‎　 ………………１０分 法二：由（Ⅰ）知圆的标准方程为 即圆心的坐标为半径为，点在直线上，且在圆内 ………………6分 圆心到直线的距离 ………………8分 所以弦的长满足 ‎ ‎ ………………１０分 ‎23、解：（Ⅰ）由知，‎ 欲使，恒有成立，则需满足……………4分 所以实数的取值范围为　　 ………………５分 ‎（Ⅱ）由题意得 ……………6分 使得成立 ‎ ‎ 即有 ……………8分 又可等价转化为或或 所以实数的取值范围为　　 ……………１０分