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文档介绍
2020届天津市部分区高三上学期期末数学试题(解析版)
2020届天津市部分区高三上学期期末数学试题 一、单选题 1.设全集1,2,3,4,5,6,7,8,集合2,3,4,6,1,4,7,8,则( ) A.4 B.2,3,6 C.2,3,7 D.2,3,4,7 【答案】B 【解析】先求出再与取交集,即可得到答案. 【详解】 因为,2,3,4,6, 所以. 故选:B. 【点睛】 本题考查集合的交、补运算,考查基本运算求解能力,属于基础题. 2.抛物线的准线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】利用的准线方程为,能求出抛物线的准线方程. 【详解】 , 抛物线的准线方程为, 即,故选A . 【点睛】 本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质,意在考查对基础知识的掌握与应用,是基础题. 3.设,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】分别解两个不等式得到集合,,再利用集合间的关系,即可得到答案. 【详解】 解不等式得;, 解不等式得:, 因为是的真子集, 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 【点睛】 本题考查简易逻辑中的充分条件与必要条件,求解时要转化成集合间的关系进行判断,能使求解过程更清晰、明了. 4.直线与圆相交于、,则弦的长度为( ) A. B. C.2 D.4 【答案】B 【解析】先求圆心到直线的距离,再利用弦长公式,即可求得答案. 【详解】 圆心到直线的距离, 所以. 故选:B. 【点睛】 本题考查直线与圆相交弦的求解,考查基本运算求解能力,属于基础题. 5.已知数列中,,,记的前项和为,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据递推关系求得等比数列的通项公式,再求出前项和为,化简可得. 【详解】 ,, 数列是以为首项,为公比的等比数列, ,. 故选:D. 【点睛】 本题考查等比数列的通项公式与前项和公式,考查基本量运算,求解时要注意通过化简找到与的关系. 6.已知偶函数在区间,上单调递增,若,,,则,,的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据题意得在区间上单调递减,利用对数函数的图象与性质可得,从而利用函数的单调性可得答案. 【详解】 因为偶函数在区间,上单调递增, 所以在区间上单调递减. 因为,即, 因为, 所以,所以. 故选:A. 【点睛】 本题考查对数函数的图象与性质、函数的奇偶性与单调性,考查数形结合思想的应用和逻辑推理能力. 7.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,则下列说法正确的是( ) A. B.的最小正周期是 C.在区间,上单调递增 D.在区间,上单调递减 【答案】C 【解析】根据函数的平移变换求出的解析式,再一一对照选项验证是否成立. 【详解】 函数的图象向右平移个单位长度得:. 对A,,故A错误; 对B,最小正周期为,故B错误; 对C,当,因为是的子区间,故C正确; 对D,当,不是的子区间,故D错误; 故选:C. 【点睛】 本题考查三角函数的平移变换及三角函数的图象与性质,考查数形结合思想和运算求解能力. 8.已知双曲线:,的右焦点为,,点在的一条渐近线上,若是原点),且的面积为,则的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据三角形的面积及,求出点的坐标,再利用点 的坐标求渐近线的斜率,从而得到的值,再观察选项,即可得到答案. 【详解】 因为,所以点的横坐标等于, 因为的面积为,设点在第一象限, 所以, 所以,只有选项A符合. 故选:A. 【点睛】 本题考查三角形面积公式、双曲线的渐近线、双曲线的标准方程求法,考查基本运算求解能力,求解时只要得到的值,即可通过代入法选出答案,可减少运算量. 9.已知函数,若关于的方程恰有三个互不相同的实数解,则实数的取值范围是( ) A., B., C. D., 【答案】D 【解析】画出函数的图象,将问题转化为两个函数图象交点问题,求出直线与抛物线相切时的临界值,再结合图象得到的取值范围. 【详解】 函数的图象如图所示: 将直线代入得:, 当直线与抛物线相切时,或, 由于方程恰有三个互不相同的实数解, 所以两个函数的图象恰有三个不同的交点,所以. 故选:D. 【点睛】 本题以分段函数为载体,考查方程的根与两个函数图象交点的转化关系,考查数形结合思想的应用,求解时要注意借助函数的图象进行分析求解. 二、填空题 10.是虚数单位,若复数满足,则________. 【答案】 【解析】利用复数的除法运算,求得. 【详解】 . 故答案为:. 【点睛】 本题考查复数的四则运算,考查基本运算求解能力,属于基础题. 11.的展开式中含项的系数是________(用数字作答). 【答案】 【解析】根据二项展开式得,进而得到时会出现项,再计算其系数. 【详解】 , 当时,即, 所以. 故答案为:. 【点睛】 本题考查二项式定理展开式的通项,考查基本运算求解能力,属于基础题. 12.已知,,且,则的最小值是_______. 【答案】 【解析】利用1的代换,将求式子的最小值等价于求的最小值,再利用基本不等式,即可求得最小值. 【详解】 因为, 等号成立当且仅当. 故答案为:. 【点睛】 本题考查1的代换和基本不等式求最值,考查转化与化归思想的运用,求解时注意一正、二定、三等的运用,特别是验证等号成立这一条件. 13.已知半径为2的球的球面上有、、、不同的四点,是边长为3的等边三角形,且平面为球心,与在平面的同一侧),则三棱锥的体积为______. 【答案】 【解析】作出三棱锥内接于球的图形,再求出三棱锥的高,最后代入体积公式即可得到答案. 【详解】 如图所示,点为的中心,则, ,所以, 所以. 故答案为:. 【点睛】 本题考查三棱锥与球的内接问题、体积的求法,考查空间想象能力和运算求解能力,准确画出图形求出三棱锥的高是解题的关键. 14.设是等差数列,若,,则_______;若,则数列的前项和________. 【答案】 【解析】利用等差数列通项公式求得,进而求得;求出再利用分组求和法及裂项相消法求. 【详解】 由题意得:. 因为, 所以,,, 所以. 故答案为:;. 【点睛】 本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法及及裂项相消法求和,考查方程思想的运用,考查基本运算求解能力,裂项相消求和的关键是对通项进行改写. 15.设点、、、为圆上四个互不相同的点,若 ,且,则_______. 【答案】 【解析】根据得到过圆的圆心,再利用向量的加法法则得,由向量数量积的几何意义得到等式,最后求得的值. 【详解】 因为,所以, 所以过圆的圆心, 所以, 因为在向量方向上的投影为:,代入上式得: . 故答案为:. 【点睛】 本题考查向量与圆知识的交会、向量的垂直、加法法则、数量积的几何意义等知识,考查方程思想的运用,求解时注意向量几何意义的灵活运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力. 三、解答题 16.在中,内角、、所对的边分别为、、.已知. ⑴求证:、、成等差数列; ⑵若,,求和的值. 【答案】(1)证明见解析(2), 【解析】(1)根据两角和的正弦公式、诱导公式得到,再利用正弦定理证得,从而证明结论成立; (2)利用余弦定理,再由(1),联立求得 的值;由正弦定理求得,再利用倍角公式求得的值. 【详解】 (1)因为, 所以. 由于在中,,所以, 所以. 由正弦定理,得. 所以成等差数列. (2)在中,, 由余弦定理,得, 即. 由(1)知,所以,解得. 由正弦定理,得. 在中,因为于,所以, 所以. 所以. 【点睛】 本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形,考查方程思想的运用和运算求解能力,求的值时,注意角这一条件的应用. 17.每年的12月4日为我国“法制宣传日”.天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果,现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求:每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答,所抽取的4个问题全部答对的学生将在全校给予表彰. ⑴求各个年级应选取的学生人数; ⑵若从被选取的10名学生中任选3人,求这3名学生分别来自三个年级的概率; ⑶若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题,另外3道题回答不对,记表示该名学生答对问题的个数,求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】(1)高一年级应选取人,高二年级应选取人,高三年级应选取人.(2)(3)详见解析 【解析】(1)利用分层抽样求得各年级应抽取的人数; (2)利用计算原理求得基本事件的总数为,再求出所求事件的基本事件数,再代入古典概型概率计算公式; (3)随机变量的所有可能取值为,利用超几何分计算(),最后求得期望值. 【详解】 (1)由题意,知高一、高二、高三年级的人数之比为,由于采用分层抽样方法从中选取人,因此,高一年级应选取人,高二年级应选取人,高三年级应选取人. (2)由(1)知,被选取的名学生高一、高二、高三年级分别有人、人、人,所以,从这名学生任选名,且名学生分别来自三个年级的概率为. (3)由题意知,随机变量的所有可能取值为, 且服从超几何分布,(). 所以,随机变量的分布列为 1 2 3 4 所以,随机变量的数学期望为 . 【点睛】 本题考查统计中的分层抽样、古典概型、超几何分布,考查统计与概率思想的应用,考查数据处理能力,求解的关键是确定随机变量的概率模型. 18.如图,在三棱柱中,、分别为、的中点,,,. ⑴求证:平面; ⑵求二面角的正弦值; ⑶已知为棱上的点,若,求线段的长度. 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【解析】(1)证明,,再根据,从而得到线面垂直的证明; (2)以点为坐标原点,分别以的方向为轴的正方向,利用向量法求得二面角的余弦值,再利用同角三角函数的基本关系求得正弦值; (3)结合(2)中,求得点,再求的值,从而求得线段的长度. 【详解】 (1)在三角形中,且为的中点, 所以.① 在中,,. 连接,在中,, 所以. 又,所以,所以.② 又因为,③ 由①②③,得平面. (2)以点为坐标原点,分别以的方向为轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系, 则, 所以. 设为平面的法向量, 则有即 令,得所以. 易得,且为平面的法向量, 所以,, 所以. 故所求二面角的正弦值为 (3)由(2)知. 设点,则. 又,, 所以,从而 即点. 所以. 所以. 【点睛】 本题考查线面垂直的判定定理、向量法求空间角及空间中线段的长度,考查空间想象能力和运算求解能力,求解时注意空间直角坐标系建立的适当性. 19.设椭圆的左、右焦点分别为,、,,点在椭圆上,为原点. ⑴若,,求椭圆的离心率; ⑵若椭圆的右顶点为,短轴长为2,且满足为椭圆的离心率). ①求椭圆的方程; ②设直线:与椭圆相交于、两点,若的面积为1,求实数的值. 【答案】(1)(2)①② 【解析】(1)由题意得,利用勾股定理得,再利用椭圆的定义得到的关系,从而求得离心率; (2)①由,得,求出后,即可得到椭圆的方程; ②设点,将直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理和弦长公式求得关于的解析式,再由点到直线的距离公式,得到面积,从而求得的值. 【详解】 (1)连接.因为, 所以是等边三角形,所以. 又,所以,所以. 于是,有, 所以,即所求椭圆的离心率为. (2)①由,得, 整理,得. 又因为,所以,. 故所求椭圆的方程为. ②依题意,设点. 联立方程组 消去,并整理得. 则,() 且, 所以. 又点到直线的距离为, 所以. 因为,所以,解得. 经验证满足()式, 故所求实数. 【点睛】 本题考查椭圆的离心率、椭圆方程的求解、直线与椭圆的位置关系、弦长公式等的综合运用,考查函数与方程思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力. 20.已知函数为自然对数的底数). ⑴当时,求曲线在点,处的切线方程; ⑵讨论的单调性; ⑶当时,证明. 【答案】(1)(2)见解析(3)证明见解析 【解析】(1)当时,,利用导数的几何意义求得切线方程; (2)对函数进行求导得,对分和两种情况进行分类讨论,研究导数值的正负,从而得到函数的单调区间; (3)证明不等式成立等价于证明成立,再构造函数进行证明. 【详解】 (1)当时,. 所以, 所以,又. 所以曲线在点处的切线方程为, 即. (2)易得(). ①当时,,此时在上单调递增; ②当时,令,得. 则当时,,此时在上单调递增; 当时,,此时在上单调递减. 综上所述,当时,函数在区间上单调递增; 当时,函数在区间上单调递增,在区间上单调递减. (3)由(2)知,当时,在处取得最大值, 即 , 则等价于,即, 即.(※) 令,则.不妨设(), 所以(). 从而,当时,;当时,, 所以函数在区间上单调递增;在区间上单调递减. 故当时. 所以当时,总有. 即当时,不等式(※)总成立, 故当时,成立. 【点睛】 本题考查利用导数的几何意义求切线方程、讨论函数的单调性、证明不等式,考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想的综合运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,证明不等式的关键是先将问题进行等价转化,再构造函数利用导数研究新函数的性质.查看更多