真题与高考等值卷（概率与统计）（理科数学）-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

真题与高考等值卷（概率与统计）（理科数学）-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

‎2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)‎ 三年高考真题与高考等值卷( 概率与统计 )(理科数学)‎ ‎1.事件与概率 ‎(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.‎ ‎(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.‎ ‎2.古典概型 ‎(1)理解古典概型及其概率计算公式.‎ ‎(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.‎ ‎3.随机数与几何概型 ‎(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.‎ ‎(2)了解几何概型的意义.‎ ‎4.随机抽样 ‎(1)理解随机抽样的必要性和重要性.‎ ‎(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.‎ ‎5.用样本估计总体 ‎(1)了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点.‎ ‎(2)理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差.‎ ‎(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并给出合理的解释.‎ ‎(4)会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想.‎ ‎(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.‎ ‎6.变量的相关性 ‎(1)会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系.‎ ‎(2)了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.‎ ‎7.概率 ‎（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重 要性.‎ ‎(2)理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.‎ ‎(3)了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.‎ ‎(4)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.‎ ‎(5)利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.‎ ‎8.统计案例 了解下列一些常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题.‎ ‎(1)独立性检验了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用.‎ ‎(2)回归分析了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.‎ ‎1．【2019年新课标3理科03】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（　　）‎ A．0.5 B．‎0.6 ‎C．0.7 D．0.8‎ ‎【解答】解：某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，‎ 其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，‎ 阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，‎ 作出维恩图，得：‎ ‎∴该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，‎ 则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：0.7．‎ 故选：C． 2．【2019年全国新课标2理科05】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（　　）‎ A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 ‎【解答】解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，‎ ‎7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，‎ 故选：A． 3．【2019年新课标1理科06】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，‎ 基本事件总数n＝26＝64，‎ 该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m20，‎ 则该重卦恰有3个阳爻的概率p．‎ 故选：A． 4．【2019年浙江07】设0＜a＜1．随机变量X的分布列是 X ‎0‎ a ‎1‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 则当a在（0，1）内增大时，（　　）‎ A．D（X）增大 B．D（X）减小 ‎ C．D（X）先增大后减小 D．D（X）先减小后增大 ‎【解答】解：E（X）＝‎0a1，‎ D（X）＝（）2（a）2（1）2‎ ‎[（a+1）2+（‎2a﹣1）2+（a﹣2）2]（a2﹣a+1）（a）2‎ ‎∵0＜a＜1，∴D（X）先减小后增大 故选：D． 5．【2018年新课标1理科03】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：‎ 则下面结论中不正确的是（　　　　）‎ A．新农村建设后，种植收入减少 ‎ B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 ‎ C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 ‎ D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 ‎【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为‎2a．‎ A项，种植收入37%×‎2a﹣60%a＝14%a＞0，‎ 故建设后，种植收入增加，故A项错误．‎ B项，建设后，其他收入为5%×‎2a＝10%a，‎ 建设前，其他收入为4%a，‎ 故10%a÷4%a＝2.5＞2，‎ 故B项正确．‎ C项，建设后，养殖收入为30%×‎2a＝60%a，‎ 建设前，养殖收入为30%a，‎ 故60%a÷30%a＝2，‎ 故C项正确．‎ D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为 ‎（30%+28%）×‎2a＝58%×‎2a，‎ 经济收入为‎2a，‎ 故（58%×‎2a）÷‎2a＝58%＞50%，‎ 故D项正确．‎ 因为是选择不正确的一项，‎ 故选：A． 6．【2018年新课标1理科10】如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（　　　　）‎ A．p1＝p2 B．p1＝p‎3 ‎C．p2＝p3 D．p1＝p2+p3‎ ‎【解答】解：如图：设BC＝2r1，AB＝2r2，AC＝2r3，‎ ‎∴r12＝r22+r32，‎ ‎∴SⅠ4r2r3＝2r2r3，SⅢπr12﹣2r2r3，‎ SⅡπr32πr22﹣SⅢπr32πr22πr12+2r2r3＝2r2r3，‎ ‎∴SⅠ＝SⅡ，‎ ‎∴P1＝P2，‎ 故选：A． 7．【2018年新课标2理科08】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（　　　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，‎ 从中选2个不同的数有45种，‎ 和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，‎ 则对应的概率P，‎ 故选：C． 8．【2018年新课标3理科08】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P（x＝4）＜P（X＝6），则p＝（　　　　）‎ A．0.7 B．‎0.6 ‎C．0.4 D．0.3‎ ‎【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足X～B（10，p），‎ P（x＝4）＜P（X＝6），可得，可得1﹣2p＜0．即p．‎ 因为DX＝2.4，可得10p（1﹣p）＝2.4，解得p＝0.6或p＝0.4（舍去）．‎ 故选：B． 9．【2018年浙江07】设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 则当p在（0，1）内增大时，（　　　　）‎ A．D（ξ）减小 B．D（ξ）增大 ‎ C．D（ξ）先减小后增大 D．D（ξ）先增大后减小 ‎【解答】解：设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是 E（ξ）＝012p；‎ 方差是D（ξ）‎ ‎＝﹣p2+p ‎，‎ ‎∴p∈（0，）时，D（ξ）单调递增；‎ p∈（，1）时，D（ξ）单调递减；‎ ‎∴D（ξ）先增大后减小．‎ 故选：D． 10．【2017年新课标1理科02】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，‎ 则黑色部分的面积S，‎ 则对应概率P，‎ 故选：B． 11．【2017年新课标3理科03】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．‎ 根据该折线图，下列结论错误的是（　　　　）‎ A．月接待游客量逐月增加 ‎ B．年接待游客量逐年增加 ‎ C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 ‎ D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：‎ 月接待游客量逐月有增有减，故A错误；‎ 年接待游客量逐年增加，故B正确；‎ 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；‎ 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；‎ 故选：A． 12．【2017年浙江08】已知随机变量ξi满足P（ξi＝1）＝pi，P（ξi＝0）＝1﹣pi，i＝1，2．若0＜p1＜p2，则（　　　　）‎ A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） ‎ B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2） ‎ C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） ‎ D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）‎ ‎【解答】解：∵随机变量ξi满足P（ξi＝1）＝pi，P（ξi＝0）＝1﹣pi，i＝1，2，…，‎ ‎0＜p1＜p2，‎ ‎∴1﹣p2＜1﹣p1＜1，‎ E（ξ1）＝1×p1+0×（1﹣p1）＝p1，‎ E（ξ2）＝1×p2+0×（1﹣p2）＝p2，‎ D（ξ1）＝（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1），‎ D（ξ2）＝（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2），‎ D（ξ1）﹣D（ξ2）＝p1﹣p12﹣（）＝（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0，‎ ‎∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．‎ 故选：A． 13．【2019年全国新课标2理科13】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为　　．‎ ‎【解答】解：∵经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，‎ 有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，‎ ‎∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：‎ ‎（10×0.97+20×0.98+10×0.99）＝0.98．‎ 故答案为：0.98． 14．【2019年新课标1理科15】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是　　．‎ ‎【解答】解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．‎ 设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，‎ 甲队以4：1获胜包含的情况有：‎ ‎①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：p1＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.036，‎ ‎②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：p2＝0.6×0.4×0.5×0.5×‎ ‎0.6＝0.036，‎ ‎③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，‎ ‎④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，‎ 则甲队以4：1获胜的概率为：‎ p＝p1+p2+p3+p4＝0.036+0.036+0.054+0.054＝0.18．‎ 故答案为：0.18． 15．【2019年江苏05】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是　　．‎ ‎【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：‎ ‎（6+7+8+8+9+10）＝8，‎ ‎∴该组数据的方差为：‎ S2[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]．‎ 故答案为：． 16．【2019年江苏06】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是　　．‎ ‎【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，‎ 基本事件总数n10，‎ 选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：‎ m7，‎ ‎∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p．‎ 故答案为：． 17．【2018年江苏03】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为　　　　．‎ ‎【解答】解：根据茎叶图中的数据知，‎ 这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，‎ 它们的平均数为（89+89+90+91+91）＝90．‎ 故答案为：90． 18．【2018年上海09】有编号互不相同的五个砝码，其中‎5克、‎3克、‎1克砝码各一个，‎2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为‎9克的概率是　　　　（结果用最简分数表示）．‎ ‎【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中‎5克、‎3克、‎1克砝码各一个，‎2克砝码两个，‎ 从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，‎ 所有的事件总数为：10，‎ 这三个砝码的总质量为‎9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，‎ 所以：这三个砝码的总质量为‎9克的概率是：，‎ 故答案为：． 19．【2017年江苏03】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取　　　　件．‎ ‎【解答】解：产品总数为200+400+300+100＝1000件，而抽取60件进行检验，抽样比例为，‎ 则应从丙种型号的产品中抽取30018件，‎ 故答案为：18 20．【2017年江苏07】记函数f（x）定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是　　　　．‎ ‎【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，‎ 则D＝[﹣2，3]，‎ 则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P，‎ 故答案为： 21．【2017年新课标2理科13】一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX＝　　　　．‎ ‎【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p＝0.02，n＝100，‎ 则DX＝npq＝np（1﹣p）＝100×0.02×0.98＝1.96．‎ 故答案为：1.96． 22．【2019年天津理科16】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．‎ ‎（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多‎2”‎，求事件M发生的概率．‎ ‎【解答】解：（I）甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，‎ 故X～B（3，），‎ 从而P（x＝k），k＝0，1，2，3．‎ E（X）＝32；‎ ‎（II）设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为Y，则Y～B（3，），‎ 且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}，由题意知{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且{X＝3}与{Y＝1}，{X＝2}与{Y＝0}相互独立，‎ 由（I）知，P（M）＝P（{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}＝P（{X＝3，Y＝1}+P{X＝2，Y＝0}‎ ‎＝P（X＝3）P（Y＝1）+P（X＝2）P（Y＝0） 23．【2019年新课标3理科17】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如图直方图：‎ 记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于‎5.5”‎，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．‎ ‎（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；‎ ‎（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．‎ ‎【解答】解：（1）C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于‎5.5”‎，‎ 根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．‎ 则由频率分布直方图得：‎ ‎，‎ 解得乙离子残留百分比直方图中a＝0.35，b＝0.10．‎ ‎（2）估计甲离子残留百分比的平均值为：‎ ‎2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05＝4.05．‎ 乙离子残留百分比的平均值为：‎ ‎3×0.05+4×0.1+5×0.15+6×0.35+7×0.2+8×0.15＝6． 24．【2019年全国新课标2理科18】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．‎ ‎（1）求P（X＝2）；‎ ‎（2）求事件“X＝4且甲获胜”的概率．‎ ‎【解答】解：（1）设双方10：10平后的第k个球甲获胜为事件Ak（k＝1，2，3，…），‎ 则P（X＝2）＝P（A‎1A2）+P（）‎ ‎＝P（A1）P（A2）+P（）P（）‎ ‎＝0.5×0.4+0.5×0.6＝0.5．‎ ‎（2）P（X＝4且甲获胜）＝P（A‎2A2A4）+P（）‎ ‎＝P（）P（A2）P（A3）P（A4）+P（A1）P（）P（A3）P（A4）‎ ‎＝（0.5×0.4+0.5×0.6）×0.5×0.4＝0.1． 25．【2019年新课标1理科21】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得﹣1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得﹣1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．‎ ‎（1）求X的分布列；‎ ‎（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api﹣1+bpi+cpi+1（i＝1，2，…，7），其中a＝P（X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）．假设α＝0.5，β＝0.8．‎ ‎（i）证明：{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列；‎ ‎（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．‎ ‎【解答】（1）解：X的所有可能取值为﹣1，0，1．‎ P（X＝﹣1）＝（1﹣α）β，P（X＝0）＝αβ+（1﹣α）（1﹣β），P（X＝1）＝α（1﹣β），‎ ‎∴X的分布列为：‎ ‎ X ‎﹣1‎ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ P ‎ （1﹣α）β αβ+（1﹣α）（1﹣β）‎ α（1﹣β）‎ ‎（2）（i）证明：∵α＝0.5，β＝0.8，‎ ‎∴由（1）得，a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1．‎ 因此pi＝0.4pi﹣1+0.5pi+0.1pi+1（i＝1，2，…，7），‎ 故0.1（pi+1﹣pi）＝0.4（pi﹣pi﹣1），即（pi+1﹣pi）＝4（pi﹣pi﹣1），‎ 又∵p1﹣p0＝p1≠0，∴{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）为公比为4，首项为p1的等比数列；‎ ‎（ii）解：由（i）可得，‎ p8＝（p8﹣p7）+（p7﹣p6）+…+（p1﹣p0）+p0，‎ ‎∵p8＝1，∴p1，‎ ‎∴P4＝（p4﹣p3）+（p3﹣p2）+（p2﹣p1）+（p1﹣p0）+p0p1．‎ P4表示最终认为甲药更有效的概率．‎ 由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理． 26．【2019年北京理科17】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：‎ ‎（0，1000]‎ ‎（1000，2000]‎ 大于2000‎ 仅使用A ‎18人 ‎9人 ‎3人 仅使用B ‎10人 ‎14人 ‎1人 ‎（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；‎ ‎（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意得：‎ 从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，‎ A，B两种支付方式都不使用的有5人，‎ 仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，‎ ‎∴A，B两种支付方式都使用的人数有：100﹣5﹣30﹣25＝40，‎ ‎∴从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率p0.4．‎ ‎（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，‎ 则X的可能取值为0，1，2，‎ 样本仅使用A的学生有30人，其中支付金额在（0，1000]的有18人，超过1000元的有12人，‎ 样本仅使用B的学生有25人，其中支付金额在（0，1000]的有10人，超过1000元的有15人，‎ P（X＝0），‎ P（X＝1），‎ P（X＝2），‎ ‎∴X的分布列为：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 数学期望E（X）1．‎ ‎（Ⅲ）不能认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，‎ 理由如下：‎ 从样本仅使用A的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，‎ 随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为p，‎ 虽然概率较小，但发生的可能性为．‎ 故不能认为认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化． 27．【2019年江苏25】在平面直角坐标系xOy中，设点集An＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，Bn＝{（0，1）‎ ‎，（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令Mn＝An∪Bn∪‎ ‎∁n．从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．‎ ‎（1）当n＝1时，求X的概率分布；‎ ‎（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．‎ ‎【解答】解：（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，‎ X的概率分布为P（X＝1）；P（X）；‎ P（X＝2）；P（X）；‎ ‎（2）设A（a，b）和B（c，d）是从Mn中取出的两个点，‎ 因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，‎ ‎①若b＝d，则AB≤n，不存在X＞n的取法；‎ ‎②若b＝0，d＝1，则AB，所以X＞n当且仅当AB，‎ 此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；‎ ‎③若b＝0，d＝2，则AB，所以X＞n当且仅当AB，‎ 此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；‎ ‎④若b＝1，d＝2，则AB，所以X＞n当且仅当AB，‎ 此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；‎ 综上可得当X＞n，X的所有值是或，‎ 且P（X），P（X），‎ 可得P（X≤n）＝1﹣P（X）﹣P（X）＝1．‎ ‎28．【2018年新课标1理科20】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．‎ ‎（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点p0．‎ ‎（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．‎ ‎（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求 EX；‎ ‎（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？‎ ‎【解答】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），‎ 则f（p），‎ ‎∴，‎ 令f′（p）＝0，得p＝0.1，‎ 当p∈（0，0.1）时，f′（p）＞0，‎ 当p∈（0.1，1）时，f′（p）＜0，‎ ‎∴f （p）的最大值点p0＝0.1．‎ ‎（2）（i）由（1）知p＝0.1，‎ 令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），‎ X＝20×2+25Y，即X＝40+25Y，‎ ‎∴E（X）＝E（40+25Y）＝40+25E（Y）＝40+25×180×0.1＝490．‎ ‎（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，‎ ‎∵E（X）＝490＞400，‎ ‎∴应该对余下的产品进行检验． 29．【2018年新课标2理科18】如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．‎ 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：99+17.5t．‎ ‎（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；‎ ‎（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）根据模型①：30.4+13.5t，‎ 计算t＝19时，30.4+13.5×19＝226.1；‎ 利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；‎ 根据模型②：99+17.5t，‎ 计算t＝9时，99+17.5×9＝256.5；．‎ 利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；‎ ‎（2）模型②得到的预测值更可靠；‎ 因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，‎ 而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，‎ 从2010年到2016年间递增的幅度较大些，‎ 所以，利用模型②的预测值更可靠些． 30．【2018年新课标3理科18】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：‎ ‎（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；‎ ‎（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：‎ 超过m 不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 ‎（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？‎ 附：K2，‎ P（K2≥k）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，‎ 第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间，‎ 第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间，‎ 所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；‎ ‎（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，‎ 排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m80；‎ 由此填写列联表如下； ‎ 超过m 不超过m 总计 第一种生产方式 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 第二种生产方式 ‎5‎ ‎15‎ ‎20‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎（3）根据（2）中的列联表，计算 K210＞6.635，‎ ‎∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异． 31．【2018年北京理科17】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：‎ 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 ‎140‎ ‎50‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎800‎ ‎510‎ 好评率 ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ ‎0.25‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．‎ 假设所有电影是否获得好评相互独立．‎ ‎（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；‎ ‎（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；‎ ‎（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk＝‎1”‎表示第k类电影得到人们喜欢．“ξk＝‎0”‎表示第k类电影没有得到人们喜欢（k＝1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，‎ 总的电影部数为140+50+300+200+800+510＝2000部，‎ 第四类电影中获得好评的电影有：200×0.25＝50部，‎ ‎∴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：‎ P（A）0.025．‎ ‎（Ⅱ）设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”，‎ 第四类获得好评的有：200×0.25＝50部，‎ 第五类获得好评的有：800×0.2＝160部，‎ 则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率：‎ P（B）0.35．‎ ‎（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：‎ ξk，‎ 则ξk服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：‎ 第一类电影：‎ ξ1‎ ‎ 1‎ ‎ 0‎ ‎ P ‎ 0.4‎ ‎ 0.6‎ E（ξ1）＝1×0.4+0×0.6＝0.4，‎ D（ξ1）＝（1﹣0.4）2×0.4+（0﹣0.4）2×0.6＝0.24．‎ 第二类电影：‎ ξ2‎ ‎ 1‎ ‎ 0‎ ‎ P ‎ 0.2‎ ‎ 0.8‎ E（ξ2）＝1×0.2+0×0.8＝0.2，‎ D（ξ2）＝（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8＝0.16．‎ 第三类电影：‎ ξ3‎ ‎ 1‎ ‎ 0‎ ‎ P ‎ 0.15‎ ‎ 0.85‎ E（ξ3）＝1×0.15+0×0.85＝0.15，‎ D（ξ3）＝（1﹣0.15）2×0.15+（0﹣0.15）2×0.85＝0.1275．‎ 第四类电影：‎ ξ4‎ ‎ 1‎ ‎ 0‎ ‎ P ‎ 0.25‎ ‎ 0.75‎ E（ξ4）＝1×0.25+0×0.75＝0.15，‎ D（ξ4）＝（1﹣0.25）2×0.25+（0﹣0.25）2×0.75＝0.1875．‎ 第五类电影：‎ ξ5‎ ‎ 1‎ ‎ 0‎ ‎ P ‎ 0.2‎ ‎ 0.8‎ E（ξ5）＝1×0.2+0×0.8＝0.2，‎ D（ξ5）＝（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8＝0.16．‎ 第六类电影：‎ ξ6‎ ‎ 1‎ ‎ 0‎ ‎ P ‎ 0.1‎ ‎ 0.9‎ E（ξ6）＝1×0.1+0×0.9＝0.1，‎ D（ξ5）＝（1﹣0.1）2×0.1+（0﹣0.1）2×0.9＝0.09．‎ ‎∴方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系为：‎ Dξ6＜Dξ3＜Dξ2＝Dξ5＜Dξ4＜Dξ1． 32．【2018年天津理科16】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．‎ ‎（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？‎ ‎（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．‎ ‎（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；‎ ‎（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3：2：2，‎ 从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．‎ ‎（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．‎ ‎（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，‎ 随机变量X的取值为：0，1，2，3，，k＝0，1，2，3．‎ 所以随机变量的分布列为：‎ ‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎ 2‎ ‎3‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 随机变量X的数学期望E（X）；‎ ‎（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，‎ 设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C为抽取的3人中，‎ 睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，‎ 则：A＝B∪C，且P（B）＝P（X＝2），P（C）＝P（X＝1），‎ 故P（A）＝P（B∪C）＝P（X＝2）+P（X＝1）．‎ 所以事件A发生的概率：． 33．【2017年江苏26】已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k＝1，2，3，…，m+n）．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ m+n ‎（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；‎ ‎（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）．‎ ‎【解答】解：（1）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，‎ 则p＝p（A2）＝P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）‎ ‎ ‎ ‎．‎ 证明：（2）∵X的所有可能取值为，…，，‎ P（x），k＝n，n+1，n+2，…，n+m，‎ ‎∴E（X）（）‎ ‎ ‎ ‎•（）‎ ‎，‎ ‎∴E（X）．‎ ‎34．【2017年新课标1理科19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．‎ ‎（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；‎ ‎（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；‎ ‎（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：‎ ‎9.95‎ ‎10.12‎ ‎9.96‎ ‎9.96‎ ‎10.01‎ ‎9.92‎ ‎9.98‎ ‎10.04‎ ‎10.26‎ ‎9.91‎ ‎10.13‎ ‎10.02‎ ‎9.22‎ ‎10.04‎ ‎10.05‎ ‎9.95‎ 经计算得9.97，s0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16．‎ 用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．‎ 附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.997416≈0.9592，0.09．‎ ‎【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，‎ 则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974＝0.0026，‎ 因为P（X＝0）（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，‎ 所以P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝0.0408，‎ 又因为X～B（16，0.0026），‎ 所以E（X）＝16×0.0026＝0.0416；‎ ‎（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．‎ ‎（ⅱ）由9.97，s≈0.212，得μ的估计值为9.97，σ的估计值为0.212，由样本数据可以看出一个 零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查．‎ 剔除之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为 ‎（16×9.97﹣9.22）＝10.02，‎ 因此μ的估计值为10.02．‎ ‎2＝16×0.2122+16×9.972≈1591.134，‎ 剔除之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为 ‎（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，‎ 因此σ的估计值为0.09． 35．【2017年新课标2理科18】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：‎ ‎（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于‎50kg，新养殖法的箱产量不低于‎50kg”，估计A的概率；‎ ‎（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：‎ 箱产量＜‎‎50kg 箱产量≥‎‎50kg 旧养殖法 新养殖法 ‎（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．‎ 附：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ K2．‎ ‎【解答】解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于‎50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于‎50kg”，‎ 由P（A）＝P（BC）＝P（B）P（C），‎ 则旧养殖法的箱产量低于‎50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5＝0.62，‎ 故P（B）的估计值0.62，‎ 新养殖法的箱产量不低于‎50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5＝0.66，‎ 故P（C）的估计值为，‎ 则事件A的概率估计值为P（A）＝P（B）P（C）＝0.62×0.66＝0.4092；‎ ‎∴A发生的概率为0.4092；‎ ‎（2）2×2列联表：‎ ‎ ‎ ‎ 箱产量＜‎‎50kg ‎ 箱产量≥‎‎50kg ‎ 总计 ‎ 旧养殖法 ‎ ‎ 62‎ ‎ 38‎ ‎ 100‎ ‎ 新养殖法 ‎ ‎ 34‎ ‎ 66‎ ‎ 100‎ ‎ 总计 ‎ 96‎ ‎ 104‎ ‎ 200‎ 则K215.705，‎ 由15.705＞6.635，‎ ‎∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；‎ ‎（3）由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于‎50kg的直方图的面积：‎ ‎（0.004+0.020+0.044）×5＝0.34，‎ 箱产量低于‎55kg的直方图面积为：‎ ‎（0.004+0.020+0.044+0.068）×5＝0.68＞0.5，‎ 故新养殖法产量的中位数的估计值为：5052.35（kg），‎ 新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）． 36．【2017年新课标3理科18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10，15）‎ ‎[15，20）‎ ‎[20，25）‎ ‎[25，30）‎ ‎[30，35）‎ ‎[35，40）‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．‎ ‎（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；‎ ‎（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？‎ ‎【解答】解：（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，‎ P（X＝200）0.2，‎ P（X＝300），‎ P（X＝500）0.4，‎ ‎∴X的分布列为：‎ ‎ X ‎ 200‎ ‎ 300‎ ‎ 500‎ ‎ P ‎ 0.2‎ ‎ 0.4‎ ‎ 0.4‎ ‎（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，‎ ‎∴只需考虑200≤n≤500，‎ 当300≤n≤500时，‎ 若最高气温不低于25，则Y＝6n﹣4n＝2n；‎ 若最高气温位于区间[20，25），则Y＝6×300+2（n﹣300）﹣4n＝1200﹣2n；‎ 若最高气温低于20，则Y＝6×200+2（n﹣200）﹣4n＝800﹣2n，‎ ‎∴EY＝2n×0.4+（1200﹣2n）×0.4+（800﹣2n）×0.2＝640﹣0.4n，‎ 当200≤n≤300时，‎ 若最高气温不低于20，则Y＝6n﹣4n＝2n，‎ 若最高气温低于20，则Y＝6×200+2（n﹣200）﹣4n＝800﹣2n，‎ ‎∴EY＝2n×（0.4+0.4）+（800﹣2n）×0.2＝160+1.2n．‎ ‎∴n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元． 37．【2017年上海19】根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn（单位：辆），其中an，bn＝n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．‎ ‎（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；‎ ‎（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn＝﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？‎ ‎【解答】解：（1）∵an，bn＝n+5‎ ‎∴a1＝5×14+15＝20‎ a2＝5×24+15＝95‎ a3＝5×34+15＝420‎ a4＝﹣10×4+470＝430‎ b1＝1+5＝6‎ b2＝2+5＝7‎ b3＝3+5＝8‎ b4＝4+5＝9‎ ‎∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4＝20+95+420+430＝965，‎ 前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4＝6+7+8+9＝30，‎ ‎∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30＝935．‎ ‎（2）令an≥bn，显然n≤3时恒成立，‎ 当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n，‎ ‎∴第42个月底，保有量达到最大．‎ 当n≥4，{an}为公差为﹣10等差数列，而{bn}为等差为1的等差数列，‎ ‎∴到第42个月底，单车保有量为39+5354239+53542＝8782．‎ S42＝﹣4×16+8800＝8736．‎ ‎∵8782＞8736，‎ ‎∴第42个月底单车保有量超过了容纳量． 38．【2017年北京理科17】为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．‎ ‎（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；‎ ‎（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；‎ ‎（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）‎ ‎【解答】解：（1）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，‎ 答：从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：‎ p．‎ ‎（2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，‎ 可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，‎ P（ξ＝0），‎ P（ξ＝1），‎ P（ξ＝2），‎ ‎∴ξ的分布列如下：‎ ξ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答：E（ξ）1．‎ ‎（3）答：由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大． 39．【2017年天津理科16】‎ 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．‎ ‎（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；‎ 则P（X＝0）＝（1）×（1）（1），‎ P（X＝1）（1）×（1）+（1）（1）+（1）×（1），‎ P（X＝2）＝（1）（1）（1），‎ P（X＝3）；‎ 所以，随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 随机变量X的数学期望为E（X）＝0123；‎ ‎（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，‎ 则所求事件的概率为 P（Y+Z＝1）＝P（Y＝0，Z＝1）+P（Y＝1，Z＝0）‎ ‎＝P（Y＝0）•P（Z＝1）+P（Y＝1）•P（Z＝0）‎ ‎ ‎ ‎；‎ 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为． ‎ ‎1、对古典概型每年都会考查，主要考查实际背景的可能事件，通常与互斥事件、对立事件一起考查．在高考中单独命题时，通常以选择题、填空题形式出现，属于中低档题；与统计等知识结合在一起考查时，以解答题形式出现，属中档题.‎ ‎2、以理解几何概型的概念、概率公式为主，会求一些简单的几何概型的概率，常与平面几何、线性规划、不等式的解集、定积分等知识交汇考查．在高考中多以选择、填空题的形式考查，难度为中档.‎ ‎3、以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主，经常以频率分布直方图为载体，结合频率与概率，考查离散型随机变量、离散型随机变量分布列的求法．在高考中以解答题的形式进行考查，难度多为中档或较难.‎ ‎ 1．如图是1990年-2017年我国劳动年龄（15-64岁）人口数量及其占总人口比重情况：‎ 根据图表信息，下列统计结论不正确的是（　　）‎ A．2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大 B．2010年后我国人口数量开始呈现负增长态势 C．2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值 D．我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：A选项，2000年我国劳动年龄人口数量增幅约为6000万，是图中最大的，2000年我国劳动年龄人口数量占总人口比重的增幅约为，也是最多的．故A对．‎ B选项，2010年到2011年我国劳动年龄人口数量有所增加，故B错．‎ C选项，从图上看，2013年的长方形是最高的，即2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值，C对，‎ D选项，我国劳动年龄人口占总人口比重最大为11年，约为，最小为92年，约为，故极差超过．D对．‎ 故选：B．‎ ‎2．一试验田某种作物一株生长果个数服从正态分布，且 ‎，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量，且服从二项分布，则的方差为（　　）‎ A．3 B．‎2.1 ‎C．0.3 D．0.21‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵，且，‎ 所以 ‎∴，‎ ‎∴，‎ 的方差为．‎ 故选B．‎ ‎3．小张刚参加工作时月工资为元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来他加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的拆线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少元，则目前小张的月工资为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由条形图可知，刚参加工作的月就医费为：元 则目前的月就医费为：元 目前的月工资为：元 本题正确选项：‎ ‎4．若是从集合中随机选取的两个不同元素，则使得函数是奇函数的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 从集合中随机选取的两个不同元素共有 种 要使得函数是奇函数，必须都为奇数共有 种 则函数是奇函数的概率为 ‎ 故选B ‎5．某企业的一种商品的产量与单位成本数据如下表：‎ 产量（万件）‎ 单位成本（元/件）‎ 若根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在线性回归方程上 ‎ ‎ 则解得 ‎ 故选B ‎6．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在的同学有人，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由频率分布直方图可知，支出在的同学的频率为：‎ 本题正确选项：‎ ‎7．某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设为“恰好抽到2幅不同种类”‎ 某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，‎ 现从中随机抽取2幅进行展览，基本事件总数，‎ 恰好抽到2幅不同种类包含的基本事件个数，‎ 则恰好抽到2幅不同种类的概率为．‎ 故选：B．‎ ‎8．若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（ ）‎ A．0.18 B．‎0.32 ‎C．0.36 D．0.64‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设305路车和202路车的进站时间分别为、，设所有基本事件为 ,“进站时间的间隔不超过2分钟”为事件，则,画出不等式表示的区域如图中阴影区域，则，则.‎ 选.‎ ‎9．一个盒子中放有大小相同的4个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设个白球编号为：；个黑球为：‎ 从中任取两个球的所有可能结果为：、、、、、、、、、，共种 所取的两个球不同色的有：、、、，共种 所求概率为：‎ 本题正确结果：‎ ‎10．已知某中学高三理科班学生共有800人参加了数学与物理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001,002，003,…,800进行编号。如果从第8行第7列的数开始向右读，请问检测的第5个人的编号是:____________(如图摘取了第7行至第9行)。‎ ‎【答案】175‎ ‎【解析】‎ 由随机数表，从第8行第7列的数开始向右读，所取数据依次是：785, 667,199,507,175，…，‎ 所以检测的第5个人的编号是175.‎ 故答案为175‎ ‎11．为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为_______．‎ ‎【答案】48‎ ‎【解析】‎ 由题得频率分布直方图左边三组的频率和为 所以全团抽取的人数为：＝48.‎ 故答案为：48‎ ‎12．某中学高二年级的甲、乙两个班各选出5名学生参加数学竞赛，在竞赛中他们取得成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83分，乙班5名学生成绩的中位数是86．若从成绩在85分及以上的学生中随机抽2名，则至少有1名学生来自甲班的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意,根据茎叶图可知， 解得，‎ 成绩在85分及以上的学生一共有5名，其中甲班有2名，乙班有3名，‎ 随机抽取2名，至少有1名来自甲班的概率：．‎ 故答案为：．‎ ‎13．已知随机变量服从正态分布且，则_____________‎ ‎【答案】0.76‎ ‎【解析】‎ 随机变量服从正态分布,‎ 则曲线的对称轴为，，‎ 由可得，‎ 则 故答案为：0.76．‎ ‎14．将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于10的概率为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 所有的基本事件可能如下：‎ 共有36种，点数之和大于10的有（5,6），（6,5），（6,6），共3种，所求概率为：P＝.‎ 故答案为：‎ ‎15．某省确定从2021年开始，高考采用“”的模式，取消文理分科，即“‎3”‎包括语文、数学、外语，为必考科目；“‎1”‎表示从物理、历史中任选一门；“2则是从生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目.某高中从高一年级2000名学生（其中女生900人）中，采用分层抽样的方法抽取名学生进行调查.‎ ‎（1）已知抽取的名学生中含男生110人，求的值及抽取到的女生人数；‎ ‎（2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目）.下表是根据调查结果得到的列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；‎ 性别 选择物理 选择历史 总计 男生 ‎50‎ 女生 ‎30‎ 总计 ‎（3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，再从这6名学生中抽取2人，对“物理”的选课意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率.‎ 附：，其中.‎ ‎ ‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎ ‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1），； （2）有的把握认为选择科目与性别有关； （3）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为，所以，女生人数为.‎ ‎（2）列联表为：‎ 性别 选择物理 选择历史 总计 男生 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 女生 ‎30‎ ‎60‎ ‎90‎ 总计 ‎90‎ ‎110‎ ‎200‎ 的观测值，‎ 所以有的把握认为选择科目与性别有关.‎ ‎（3）从90个选择物理的学生中采用分层抽样的方法抽6名，这6名学生中有4名男生，记为，，，；2名女生记为，.‎ 抽取2人所有的情况为、、、、、、、、、、、、、、，共15种，选取的2人中至少有1名女生情况的有、、、、、、、、‎ ‎，共9种，‎ 故所求概率为.‎ ‎16．某单位举办2020年杭州亚运会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“亚运会会徽”或“五环”图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“五环”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行.‎ ‎（Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“五环”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列及的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）设“会徽”卡有张，因为从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是，所以有，，所以“五环”图案卡片的张数为4，故抽奖者获奖的概率为；‎ ‎（Ⅱ）由题意可知本题中的离散型随机变量服从二项分布，即，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎.‎ ‎17．李克强总理在2018年政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力.某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：‎ 单价（千元）‎ 销量（百件）‎ 已知.‎ ‎（1）若变量具有线性相关关系，求产品销量（百件）关于试销单价（千元）的线性回归方程；‎ ‎（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”.现从个销售数据中任取个子，求“好数据”个数的分布列和数学期望.‎ ‎（参考公式：线性回归方程中的估计值分别为.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）由，可求得，‎ 故，，，，‎ 代入可得， ‎ ‎，‎ 所以所求的线性回归方程为． ‎ ‎（2）利用（1）中所求的线性回归方程可得，当时，；当 时，；当时，；当时，；当时，；当时，． ‎ 与销售数据对比可知满足的共有4个“好数据”：、、、 ‎ 于是的所有可能取值为 ‎ ‎，，， ‎ ‎∴ 的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以．‎ ‎18．‎ 为了调查煤矿公司员工的饮食习惯与月收入之间的关系，随机抽取了30名员工，并制作了这30人的月平均收入的频率分布直方图和饮食指数表（说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主）．其中月收入4000元以上员工中有11人饮食指数高于70.‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎21‎ ‎25‎ ‎32‎ ‎33‎ ‎36‎ ‎37‎ ‎42‎ ‎43‎ ‎44‎ ‎45‎ ‎45‎ ‎58‎ ‎58‎ ‎59‎ ‎61‎ ‎66‎ ‎74‎ ‎75‎ ‎76‎ ‎77‎ ‎77‎ ‎78‎ ‎78‎ ‎82‎ ‎83‎ ‎85‎ ‎86‎ ‎90‎ ‎（Ⅰ）是否有95%的把握认为饮食习惯与月收入有关系？若有请说明理由，若没有，说明理由并分析原因；‎ ‎（Ⅱ）以样本中的频率作为概率，从该公司所有主食蔬菜的员工中随机抽取3人，这3人中月收入4000元以上的人数为，求的分布列与期望；‎ ‎（Ⅲ）经调查该煤矿公司若干户家庭的年收入（万元）和年饮食支出（万元）具有线性相关关系，并得到关于的回归直线方程：.若该公司一个员工与其妻子的月收入恰好都为这30人的月平均收入（该家庭只有两人收入），估计该家庭的年饮食支出费用.‎ 附：‎ ‎.‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（Ⅰ）有；（Ⅱ）；（Ⅲ）3.0552万元.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）根据频率分布直方图，月收入4000元以上的人数，‎ 所以完成下列列联表如下：‎ 月收入4000元以下 月收入4000元以上 合计 ‎ 主食蔬菜 ‎8‎ ‎10‎ ‎18‎ 主食肉类 ‎1‎ ‎11‎ ‎12‎ 合计 ‎9‎ ‎21‎ ‎30‎ 所以，故有95%的把握认为饮食习惯与月收入有关系.‎ ‎（Ⅱ）从公司所有主食蔬菜中的员工中任选1人， 该人月收入4000元以上的概率.‎ 可取0，1，2，3.‎ 所以.‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅲ）根据频率分布直方图，（百元）.‎ 所以（万元），故该家庭的年饮食支出费用约为3.0552万元.‎ ‎19．（理）某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表，规定：三级为合格等级，为不合格等级.‎ 百分制 ‎85分及以上 ‎70分到84分 ‎60分到69分 ‎60分以下 等级 为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示.，‎ ‎（1）求和频率分布直方图中的的值；‎ ‎（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；‎ ‎（3）在选取的样本中，从两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记表示所抽取的名学生中为等级的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】（1）；，（2）（3）分布列见解析，期望为 ‎【解析】‎ ‎（1）；，‎ ‎（2）设至少有1人成绩是合格等级的事件为 ‎（3）由题意可知等级的学生人数为人，等级的学生人数为3人，故的取值为 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以的分布列为：‎ ‎20．某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.‎ ‎（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；‎ ‎（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；‎ 男 女 合计 网购迷 ‎20‎ 非网购迷 ‎45‎ 合计 ‎100‎ ‎（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：‎ 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 ‎80‎ ‎40‎ ‎16‎ ‎24‎ 乙 ‎90‎ ‎60‎ ‎18‎ ‎12‎ 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望.‎ 附：观测值公式：‎ 临界值表：‎ ‎0.01‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1) 中位数估计为17.5千元. (2)见解析；(3) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为， ‎ 后2个小矩形的面积之和为，所以中位数位于区间内.‎ 设直方图的面积平分线为，则，得，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.‎ ‎（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为，‎ 所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人.‎ 所以补全的列联表如下：‎ 男 女 合计 网购迷 ‎15‎ ‎20‎ ‎35‎ 非网购迷 ‎45‎ ‎20‎ ‎65‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 因为，查表得，‎ 所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.‎ ‎（3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为，.‎ 设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为，，据题意，，.‎ 所以，.‎ 因为，则，所以的数学期望为.‎ ‎21．某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场由5名专家组成评委给每位参赛选手评分，场外观众也可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分需要综合考虑专家评分和观众评分.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表.另有约数万名场外观众参与评分，将观众评分按照分组，绘成频率分布直方图如下图.‎ ‎（Ⅰ）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；‎ ‎（Ⅱ）从现场专家中随机抽取2人，求其中评分高于9分的至少有1人的概率；‎ ‎（Ⅲ）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分.‎ 方案一：计算所有专家与观众评分的平均数作为该选手的最终得分；‎ 方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分.‎ 请直接写出与的大小关系.‎ ‎【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由频率分布直方图可知0.2+0.5+a=1,解得，‎ 某场外观众评分不小于9的概率是． ‎ ‎（Ⅱ）设“从现场专家中随机抽取2人，其中评分高于9分的至少有1人”为事件Q．‎ 因为基本事件有共10种，‎ 事件Q的对立事件只有1种，‎ 所以. ‎ ‎（Ⅲ）．‎ ‎22．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员每隔测量一次茶水温度，得到下表的一组数据。‎ 时间 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 水温 ‎85‎ ‎79‎ ‎75‎ ‎71‎ ‎68‎ ‎（1）从表中所给的5个水温数据中任取2个，记表示这2个数据中高于的个数，求的分布列和数学期望.‎ ‎（2）在室温下，设茶水温度从开始，经过后的温度为，根据这些数据的散点图，可用回归方程近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，其中，为比例系数，为温度的衰减比例，且的估计值.为第分钟对应的水温.根据表中数据求：‎ ‎（i）温度关于时间的回归方程（保留2位小数）；‎ ‎（ii）刚泡好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到最佳饮用口感？（保留整数，参考数据：，.）‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) （i）（ii）大约.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）解：由题意可知，高于的数据有3个，随机变量可能取值为0，1，2.‎ ‎，，，‎ 分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 所以.‎ ‎（2）（i）根据实际情况可知，当时，，代入回归方程得到从而求出回归方程，再令，利用给出的数据可算出对应的的值.‎ 计算每分钟的值与上一分钟值的比值，可知：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎60‎ ‎54‎ ‎50‎ ‎46‎ ‎43‎ ‎0.90‎ ‎0.93‎ ‎0.92‎ ‎0.93‎ 所以，‎ 故回归方程为：.‎ ‎（ii）将代入，得 ‎，所以，两边取对数：‎ 得：，‎ 由参考数据知：，.‎ 所以，，‎ 所以，‎ 所以，泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约. ‎