高考真题与高考等值卷（ 平面解析几何 ）（理科数学）-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

高考真题与高考等值卷（ 平面解析几何 ）（理科数学）-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

本章三年高考真题与高考等值卷( 平面解析几何 )(理科数学)‎ ‎1.直线与方程 ‎(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.‎ ‎(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.‎ ‎(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.‎ ‎(4)掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),‎ 了解斜截式与一次函数的关系.‎ ‎(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.‎ ‎(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.‎ ‎2.圆与方程 ‎(1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.‎ ‎(2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.‎ ‎(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.‎ ‎(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想.‎ ‎3.圆锥曲线 ‎(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.‎ ‎(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.‎ ‎(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.‎ ‎(4)了解圆锥曲线的简单应用.‎ ‎(5)理解数形结合的思想.‎ ‎4.曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.‎ ‎1．【2019年天津理科05】已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．若l与双曲线1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．‎ ‎∴F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，‎ ‎∵l与双曲线1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），‎ ‎∴|AB|，|OF|＝1，∴，∴b＝‎2a，‎ ‎∴c，‎ ‎∴双曲线的离心率为e．‎ 故选：D． 2．【2019年新课标3理科10】双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【解答】解：双曲线C：1的右焦点为F（，0），渐近线方程为：yx，不妨P在第一象限，‎ 可得tan∠POF，P（，），‎ 所以△PFO的面积为：．‎ 故选：A． 3．【2019年全国新课标2理科08】若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆1的一个焦点，则p＝（　　）‎ A．2 B．‎3 ‎C．4 D．8‎ ‎【解答】解：由题意可得：3p﹣p＝（）2，解得p＝8．‎ 故选：D． 4．【2019年全国新课标2理科11】设F为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 由题意，把x代入x2+y2＝a2，得PQ，‎ 再由|PQ|＝|OF|，得，即‎2a2＝c2，‎ ‎∴，解得e．‎ 故选：A． 5．【2019年新课标1理科10】已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（　　）‎ A．y2＝1 B．1 ‎ C．1 D．1‎ ‎【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，‎ 又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，‎ 又|BF1|+|BF2|＝‎2a，∴|BF2|，‎ ‎∴|AF2|＝a，|BF1|a，‎ 在Rt△AF2O中，cos∠AF2O，‎ 在△BF‎1F2中，由余弦定理可得cos∠BF‎2F1，‎ 根据cos∠AF2O+cos∠BF‎2F1＝0，可得0，解得a2＝3，∴a．‎ b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．‎ 所以椭圆C的方程为：1．‎ 故选：B． 6．【2019年北京理科04】已知椭圆1（a＞b＞0）的离心率为，则（　　）‎ A．a2＝2b2 B．‎3a2＝4b‎2 ‎C．a＝2b D．‎3a＝4b ‎【解答】解：由题意，，得，则，‎ ‎∴‎4a2﹣4b2＝a2，即‎3a2＝4b2．‎ 故选：B． 7．【2019年浙江02】渐进线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是（　　）‎ A． B．‎1 ‎C． D．2‎ ‎【解答】解：根据渐进线方程为x±y＝0的双曲线，可得a＝b，所以c 则该双曲线的离心率为 e，‎ 故选：C． ‎ ‎8．【2018年新课标1理科08】设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•（　　　　）‎ A．5 B．‎6 ‎C．7 D．8‎ ‎【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为的直线为：3y＝2x+4，‎ 联立直线与抛物线C：y2＝4x，消去x可得：y2﹣6y+8＝0，‎ 解得y1＝2，y2＝4，不妨M（1，2），N（4，4），，．‎ 则•（0，2）•（3，4）＝8．‎ 故选：D． 9．【2018年新课标1理科11】已知双曲线C：y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（　　　　）‎ A． B．‎3 ‎C．2 D．4‎ ‎【解答】解：双曲线C：y2＝1的渐近线方程为：y，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y，‎ 则：解得M（，），‎ 解得：N（），‎ 则|MN|3．‎ 故选：B． 10．【2018年新课标2理科05】双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（　　　　）‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x ‎【解答】解：∵双曲线的离心率为e，‎ 则，‎ 即双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，‎ 故选：A． 11．【2018年新课标2理科12】已知F1，F2是椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF‎1F2为等腰三角形，∠F‎1F2P＝120°，则C的离心率为（　　　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），‎ 直线AP的方程为：y（x+a），‎ 由∠F‎1F2P＝120°，|PF2|＝|F‎1F2|＝‎2c，则P（‎2c，c），‎ 代入直线AP：c（‎2c+a），整理得：a＝‎4c，‎ ‎∴题意的离心率e．‎ 故选：D．‎ ‎ 12．【2018年新课标3理科06】直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（　　　　）‎ A．[2，6] B．[4，8] C．[，3] D．[2，3]‎ ‎【解答】解：∵直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，‎ ‎∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，得x＝﹣2，‎ ‎∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|2，‎ ‎∵点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，∴设P（2，），‎ ‎∴点P到直线x+y+2＝0的距离：‎ d，‎ ‎∵sin（）∈[﹣1，1]，∴d∈[]，‎ ‎∴△ABP面积的取值范围是：‎ ‎[，]＝[2，6]．‎ 故选：A． ‎ ‎13．【2018年新课标3理科11】设F1，F2是双曲线C：1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1||OP|，则C的离心率为（　　　　）‎ A． B．‎2 ‎C． D．‎ ‎【解答】解：双曲线C：1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为yx，‎ ‎∴点F2到渐近线的距离db，即|PF2|＝b，‎ ‎∴|OP|a，cos∠PF2O，‎ ‎∵|PF1||OP|，‎ ‎∴|PF1|a，‎ 在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2＝|PF2|2+|F‎1F2|2﹣2|PF2|•|F‎1F2|COS∠PF2O，‎ ‎∴‎6a2＝b2+‎4c2﹣2×b×‎2c‎4c2﹣3b2＝‎4c2﹣3（c2﹣a2），‎ 即‎3a2＝c2，‎ 即a＝c，‎ ‎∴e，‎ 故选：C． 14．【2018年浙江02】双曲线y2＝1的焦点坐标是（　　　　）‎ A．（，0），（，0） B．（﹣2，0），（2，0） ‎ C．（0，），（0，） D．（0，﹣2），（0，2）‎ ‎【解答】解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且a2＝3，b2＝1，‎ 由此可得c2，‎ ‎∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）‎ 故选：B． 15．【2018年上海13】设P是椭圆1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（　　　　）‎ A．2 B．‎2‎ C．2 D．4‎ ‎【解答】解：椭圆1的焦点坐标在x轴，a，‎ P是椭圆1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为‎2a＝2．‎ 故选：C． 16．【2018年天津理科07】已知双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2＝6，则双曲线的方程为（　　　　）‎ A．1 B．1 ‎ C．1 D．1‎ ‎【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线 y，即bx﹣ay＝0，F（c，0），‎ AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，‎ F是AB的中点，EF3，‎ EFb，‎ 所以b＝3，双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，‎ 可得：，解得a．‎ 则双曲线的方程为：1．‎ 故选：C．‎ ‎ 17．【2017年新课标1理科10】已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（　　　　）‎ A．16 B．‎14 ‎C．12 D．10‎ ‎【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，‎ 直线l2与C交于D、E两点，‎ 要使|AB|+|DE|最小，‎ 则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，‎ 又直线l2过点（1，0），‎ 则直线l2的方程为y＝x﹣1，‎ 联立方程组，则y2﹣4y﹣4＝0，‎ ‎∴y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，‎ ‎∴|DE|•|y1﹣y2|8，‎ ‎∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|＝16，‎ 方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为 θ，‎ 根据焦点弦长公式可得|AB|‎ ‎|DE|‎ ‎∴|AB|+|DE|，‎ ‎∵0＜sin22θ≤1，‎ ‎∴当θ＝45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，‎ 故选：A．‎ ‎ 18．【2017年新课标2理科09】若双曲线C：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为（　　　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay＝0，‎ 圆（x﹣2）2+y2＝4的圆心（2，0），半径为：2，‎ 双曲线C：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，‎ 可得圆心到直线的距离为：，‎ 解得：，可得e2＝4，即e＝2．‎ 故选：A． 19．【2017年新课标3理科05】已知双曲线C：1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为（　　　　）‎ A．1 B．1 ‎ C．1 D．1‎ ‎【解答】解：椭圆1的焦点坐标（±3，0），‎ 则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c＝3，‎ 双曲线C：1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为yx，‎ 可得，即，可得，解得a＝2，b，‎ 所求的双曲线方程为：1．‎ 故选：B． 20．【2017年新课标3理科10】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段A‎1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，则C的离心率为（　　　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：以线段A‎1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，‎ ‎∴原点到直线的距离a，化为：a2＝3b2．‎ ‎∴椭圆C的离心率e．‎ 故选：A． 21．【2017年浙江02】椭圆1的离心率是（　　　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：椭圆1，可得a＝3，b＝2，则c，‎ 所以椭圆的离心率为：．‎ 故选：B． 22．【2017年上海16】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1和C2：x21．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值．记Ω＝{（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且w}，则Ω中元素个数为（　　　　）‎ A．2个 B．4个 C．8个 D．无穷个 ‎【解答】解：椭圆C1：1和C2：x21．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，‎ 可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α，β＜2π，‎ 则6cosαcosβ+6sinαsinβ＝6cos（α﹣β），‎ 当α﹣β＝2kπ，k∈Z时，w取得最大值6，‎ 则Ω＝{（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且w}中的元素有无穷多对．‎ 另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2＝36，9u2+v2＝9，‎ 由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）＝324≥（3mu+3nv）2，‎ 当且仅当mv＝9nu，取得最大值6，‎ 显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确．‎ 故选：D． 23．【2017年天津理科05】已知双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（　　　　）‎ A．1 B．1 ‎ C．1 D．1‎ ‎【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e，ca，‎ 则双曲线为等轴双曲线，即a＝b，‎ 双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，‎ 则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k，‎ 则1，c＝4，则a＝b＝2，‎ ‎∴双曲线的标准方程：；‎ 故选：B． ‎ ‎24．【2019年新课标3理科15】设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF‎1F2为等腰三角形，则M的坐标为　　．‎ ‎【解答】解：设M（m，n），m，n＞0，椭圆C：1的a＝6，b＝2，c＝4，‎ e，‎ 由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，‎ ‎△MF‎1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝‎2c或|MF2|＝‎2c，‎ 即有‎6m＝8，即m＝3，n；‎ ‎6‎m＝8，即m＝﹣3＜0，舍去．‎ 可得M（3，）．‎ 故答案为：（3，）． 25．【2019年新课标1理科16】已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，•0，则C的离心率为　　．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵，且•0，∴OA⊥F1B，‎ 则F1B：y，‎ 联立，解得B（，），‎ 则，，‎ ‎∴‎4c2，‎ 整理得：b2＝‎3a2，∴c2﹣a2＝‎3a2，即‎4a2＝c2，‎ ‎∴，e．‎ 故答案为：2． 26．【2019年江苏07】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x21（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是　　．‎ ‎【解答】解：∵双曲线x21（b＞0）经过点（3，4），‎ ‎∴，解得b2＝2，即b．‎ 又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y．‎ 故答案为：y． 27．【2019年浙江12】已知圆C的圆心坐标是（0，m），半径长是r．若直线2x﹣y+3＝0与圆C相切于点A（﹣2，﹣1），则m＝　　，r＝　　．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得m＝﹣2．‎ ‎∴圆心为（0，﹣2），则半径r．‎ 故答案为：﹣2，． 28．【2019年浙江15】已知椭圆1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是　　．‎ ‎【解答】解：椭圆1的a＝3，b，c＝2，e，‎ 设椭圆的右焦点为F'，连接PF'，‎ 线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆，‎ 连接AO，可得|PF'|＝2|AO|＝4，‎ 设P的坐标为（m，n），可得‎3m＝4，可得m，n，‎ 由F（﹣2，0），可得直线PF的斜率为 ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎ 29．【2018年江苏08】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为　　　　．‎ ‎【解答】解：双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线yx的距离为c，‎ 可得：b，‎ 可得，即c＝‎2a，‎ 所以双曲线的离心率为：e．‎ 故答案为：2． 30．【2018年新课标3理科16】已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝‎ ‎　　　　．‎ ‎【解答】解：∵抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），‎ ‎∴过A，B两点的直线方程为y＝k（x﹣1），‎ 联立可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2＝0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则 x1+x2，x1x2＝1，‎ ‎∴y1+y2＝k（x1+x2﹣2），y1y2＝k2（x1﹣1）（x2﹣1）＝k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]＝﹣4，‎ ‎∵M（﹣1，1），‎ ‎∴（x1+1，y1﹣1），（x2+1，y2﹣1），‎ ‎∵∠AMB＝90°，∴•0‎ ‎∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣1）（y2﹣1）＝0，‎ 整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2＝0，‎ ‎∴1+242＝0，‎ 即k2﹣4k+4＝0，‎ ‎∴k＝2．‎ 故答案为：2 31．【2018年浙江17】已知点P（0，1），椭圆y2＝m（m＞1）上两点A，B满足2，则当m＝　　　　时，点B横坐标的绝对值最大．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由P（0，1），2，‎ 可得﹣x1＝2x2，1﹣y1＝2（y2﹣1），‎ 即有x1＝﹣2x2，y1+2y2＝3，‎ 又x12+4y12＝‎4m，‎ 即为x22+y12＝m，①‎ x22+4y22＝‎4m，②‎ ‎①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）＝﹣‎3m，‎ 可得y1﹣2y2＝﹣m，‎ 解得y1，y2，‎ 则m＝x22+（）2，‎ 即有x22＝m﹣（）2，‎ 即有m＝5时，x22有最大值4，‎ 即点B横坐标的绝对值最大．‎ 故答案为：5． 32．【2018年上海02】双曲线y2＝1的渐近线方程为　　　　．‎ ‎【解答】解：∵双曲线的a＝2，b＝1，焦点在x轴上 ‎ 而双曲线的渐近线方程为y＝±‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y＝±‎ 故答案为：y＝± 33．【2018年上海12】已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12＝1，x22+y22＝1，x1x2+y1y2，则的最大值为　　　　．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎（x1，y1），（x2，y2），‎ 由x12+y12＝1，x22+y22＝1，x1x2+y1y2，‎ 可得A，B两点在圆x2+y2＝1上，‎ 且•1×1×cos∠AOB，‎ 即有∠AOB＝60°，‎ 即三角形OAB为等边三角形，‎ AB＝1，‎ 的几何意义为点A，B两点 到直线x+y﹣1＝0的距离d1与d2之和，‎ 显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y＝1平行，‎ 可设AB：x+y+t＝0，（t＞0），‎ 由圆心O到直线AB的距离d，‎ 可得21，解得t，‎ 即有两平行线的距离为，‎ 即的最大值为，‎ 故答案为：． 34．【2018年北京理科14】已知椭圆M：1（a＞b＞0），双曲线N：1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为　　　　；双曲线N的离心率为　　　　．‎ ‎【解答】解：椭圆M：1（a＞b＞0），双曲线N：1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，‎ 可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：，可得，可得e4﹣8e2+4＝0，e∈（0，1），‎ 解得e．‎ 同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，‎ 可得：，即，‎ 可得双曲线的离心率为e2．‎ 故答案为：；2． 35．【2017年江苏08】在平面直角坐标系xOy中，双曲线y2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是　　　　．‎ ‎【解答】解：双曲线y2＝1的右准线：x，双曲线渐近线方程为：y＝±x，‎ 所以P（，），Q（，），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．‎ 则四边形F1PF2Q的面积是：2．‎ 故答案为：2． 36．【2017年江苏13】在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2＝50上．若20，则点P的横坐标的取值范围是　　　　．‎ ‎【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02＝50，‎ ‎（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）＝（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）＝12x0+6y+x02+y02‎ ‎≤20，‎ 化为：12x0﹣6y0+30≤0，‎ 即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x﹣y+5＝0以及直线上方的区域，‎ 联立，解可得x0＝﹣5或x0＝1，‎ 结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，‎ 故答案为：[﹣5，1]．‎ ‎ 37．【2017年新课标1理科15】已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为　　　　．‎ ‎【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），‎ 以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．‎ 若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：bcos30°，‎ 可得：，即，可得离心率为：e．‎ 故答案为：． 38．【2017年新课标2理科16】已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|＝　　　　．‎ ‎【解答】解：抛物线C：y2＝8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，‎ 可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，‎ ‎|FN|＝2|FM|＝26．‎ 故答案为：6． 39．【2017年上海06】设双曲线1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝　　　　．‎ ‎【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：1，‎ 其中a3，‎ 则有||PF1|﹣|PF2||＝6，‎ 又由|PF1|＝5，‎ 解可得|PF2|＝11或﹣1（舍）‎ 故|PF2|＝11，‎ 故答案为：11． 40．【2017年北京理科09】若双曲线x21的离心率为，则实数m＝　　　　．‎ ‎【解答】解：双曲线x21（m＞0）的离心率为，‎ 可得：，‎ 解得m＝2．‎ 故答案为：2． 41．【2017年北京理科14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1，2，3．‎ ‎（1）记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是　　　　．‎ ‎（2）记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是　　　　．‎ ‎【解答】解：（1）若Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，‎ Q1＝A1的纵坐标+B1的纵坐标；‎ Q2＝A2的纵坐标+B2的纵坐标，‎ Q3＝A3的纵坐标+B3的纵坐标，‎ 由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1，‎ ‎（2）若pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，‎ 则pi为AiBi中点与原点连线的斜率，‎ 故p1，p2，p3中最大的是p2‎ 故答案为：Q1，p2 42．【2019年天津理科18】设椭圆1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|（O为原点），且OP⊥MN，求直线PB的斜率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2b＝4，即b＝2，e，a2﹣b2＝c2，‎ 解得a，c＝1，‎ 可得椭圆方程为1；‎ ‎（Ⅱ）B（0，2），设PB的方程为y＝kx+2，‎ 代入椭圆方程4x2+5y2＝20，‎ 可得（4+5k2）x2+20kx＝0，‎ 解得x或x＝0，‎ 即有P（，），‎ y＝kx+2，令y＝0，可得M（，0），‎ 又N（0，﹣1），OP⊥MN，‎ 可得•1，解得k＝±，‎ 可得PB的斜率为±． 43．【2019年新课标3理科21】已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．‎ ‎（1）证明：直线AB过定点；‎ ‎（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．‎ ‎【解答】解：（1）证明：y的导数为y′＝x，‎ 设切点A（x1，y1），B（x2，y2），即有y1，y2，‎ 切线DA的方程为y﹣y1＝x1（x﹣x1），即为y＝x1x，‎ 切线DB的方程为y＝x2x，‎ 联立两切线方程可得x（x1+x2），‎ 可得yx1x2，即x1x2＝﹣1，‎ 直线AB的方程为y（x﹣x1），‎ 即为y（x1+x2）（x﹣x1），‎ 可化为y（x1+x2）x，‎ 可得AB恒过定点（0，）；‎ ‎（2）法一：设直线AB的方程为y＝kx，‎ 由（1）可得x1+x2＝2k，x1x2＝﹣1，‎ AB中点H（k，k2），‎ 由H为切点可得E到直线AB的距离即为|EH|，‎ 可得，‎ 解得k＝0或k＝±1，‎ 即有直线AB的方程为y或y＝±x，‎ 由y可得|AB|＝2，四边形ADBE的面积为S△ABE+S△ABD2×（1+2）＝3；‎ 由y＝±x，可得|AB|•4，‎ 此时D（±1，）到直线AB的距离为；‎ E（0，）到直线AB的距离为，‎ 则四边形ADBE的面积为S△ABE+S△ABD4×（）＝4；‎ 法二：‎ ‎（2）由（1）得直线AB的方程为y＝tx．‎ 由，可得x2﹣2tx﹣1＝0．‎ 于是x1+x2＝2t，x1x2＝﹣1，y1+y2＝t（x1+x2）+1＝2t2+1，‎ ‎|AB|2（t2+1）．‎ 设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1，d2．‎ 因此，四边形ADBE的面积S|AB|（d1+d2）＝（t2+3）．‎ 设M为线段AB的中点，则M（t，t2）．‎ 由于，而，与向量（1，t）平行，所以t+（t2﹣2）t＝0．解得t＝0或t＝±1．‎ 当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4．‎ 综上，四边形ADBE的面积为3或4． 44．【2019年全国新课标2理科21】已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为．记M的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；‎ ‎（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．‎ ‎（i）证明：△PQG是直角三角形；‎ ‎（ii）求△PQG面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得，‎ 整理得曲线C的方程：，‎ ‎∴曲线C是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆；‎ ‎（2）‎ ‎（i）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），‎ E（x0，0），G（xG，yG），‎ ‎∴直线QE的方程为：，‎ 与联立消去y，‎ 得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 把代入上式，‎ 得kPG ‎ ‎ ‎，‎ ‎∴kPQ×kPG1，‎ ‎∴PQ⊥PG，‎ 故△PQG为直角三角形；‎ ‎（ii）S△PQG ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 令t，则t≥2，‎ S△PQG 利用“对号”函数f（t）＝2t在[2，+∞）的单调性可知，‎ f（t）（t＝2时取等号），‎ ‎∴（此时），‎ 故△PQG面积的最大值为． 45．【2019年新课标1理科19】已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．‎ ‎（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；‎ ‎（2）若3，求|AB|．‎ ‎【解答】解：（1）设直线l的方程为y（x﹣t），将其代入抛物线y2＝3x得：x2﹣（t+3）xt2＝0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则x1+x22t，①，x1x2＝t2②，‎ 由抛物线的定义可得：|AF|+|BF|＝x1+x2+p＝2t4，解得t，‎ 直线l的方程为yx．‎ ‎（2）若3，则y1＝﹣3y2，∴（x1﹣t）＝﹣3（x2﹣t），化简得x1＝﹣3x2+4t，③‎ 由①②③解得t＝1，x1＝3，x2，‎ ‎∴|AB|． 46．【2019年北京理科18】已知抛物线C：x2＝﹣2py经过点（2，﹣1）．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；‎ ‎（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝﹣1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：x2＝﹣2py经过点（2，﹣1）．可得4＝2p，即p＝2，‎ 可得抛物线C的方程为x2＝﹣4y，准线方程为y＝1；‎ ‎（Ⅱ）证明：抛物线x2＝﹣4y的焦点为F（0，﹣1），‎ 设直线方程为y＝kx﹣1，联立抛物线方程，可得x2+4kx﹣4＝0，‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 可得x1+x2＝﹣4k，x1x2＝﹣4，‎ 直线OM的方程为yx，即yx，‎ 直线ON的方程为yx，即yx，‎ 可得A（，﹣1），B（，﹣1），‎ 可得AB的中点的横坐标为2（）＝2•2k，‎ 即有AB为直径的圆心为（2k，﹣1），‎ 半径为||＝2•2，‎ 可得圆的方程为（x﹣2k）2+（y+1）2＝4（1+k2），‎ 化为x2﹣4kx+（y+1）2＝4，‎ 由x＝0，可得y＝1或﹣3．‎ 则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点（0，1），（0，﹣3）． 47．【2019年江苏17】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝‎4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）求点E的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）如图，∵F‎2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，‎ ‎∵F‎2A＝‎2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF‎1A，‎ ‎∴∠DF‎1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，‎ ‎∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，‎ 取x＝1，得，则AD＝‎2a．‎ 又DF1，∴，解得a＝2（a＞0）．‎ ‎∴椭圆C的标准方程为；‎ ‎（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），‎ ‎∴，则BF2：y，‎ 联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．‎ 解得x1＝﹣1或（舍）．‎ ‎∴．‎ 即点E的坐标为（﹣1，）．‎ ‎ 48．【2019年浙江21】如图，已知点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2．‎ ‎（Ⅰ）求p的值及抛物线的准线方程；‎ ‎（Ⅱ）求的最小值及此时点G点坐标．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的性质可得：1，‎ ‎∴p＝2，‎ ‎∴抛物线的准线方程为x＝﹣1；‎ ‎（Ⅱ）设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），重心G（xG，yG），‎ 令yA＝2t，t≠0，则，‎ 由于直线AB过F，故直线AB的方程为x，‎ 代入y2＝4x，得：，‎ ‎∴2tyB＝﹣4，即yB，∴B（，），‎ 又xG（xA+xB+xC），yG（yA+yB+yC），重心在x轴上，‎ ‎∴0，‎ ‎∴C（（）2，2（）），G（，0），‎ ‎∴直线AC的方程为y﹣2t＝2t（x﹣t2），得Q（t2﹣1，0），‎ ‎∵Q在焦点F的右侧，∴t2＞2，‎ ‎∴2，‎ 令m＝t2﹣2，则m＞0，‎ ‎2221，‎ ‎∴当m时，取得最小值为1，此时G（2，0）． 49．【2018年江苏18】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（，0），F2（，0），圆O的直径为F‎1F2．‎ ‎（1）求椭圆C及圆O的方程；‎ ‎（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．‎ ‎①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；‎ ‎②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，‎ ‎∵焦点F1（，0），F2（，0），∴．‎ ‎∵∴，又a2﹣b2＝c2＝3，‎ 解得a＝2，b＝1．‎ ‎∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2＝3．‎ ‎（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，因此k一定小于0，‎ ‎∴可设直线l的方程为y＝kx+m，（k＜0，m＞0）．‎ 由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得．‎ 由，可得（4k2+1）x2+8kmx+‎4m2‎﹣4＝0，‎ ‎△＝（‎8km）2﹣4（4k2+1）（‎4m2‎﹣4）＝0，‎ 可得m2＝4k2+1，∴3k2+3＝4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k，m＝3．‎ 将k，m＝3代入可得，‎ 解得x，y＝1，故点P的坐标为（．‎ ‎②设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由⇒k．‎ 联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+‎4m2‎﹣4＝0，‎ ‎|x2﹣x1|，‎ O到直线l的距离d，‎ ‎|AB||x2﹣x1|，‎ ‎△OAB的面积为S，‎ 解得k，（正值舍去），m＝3．‎ ‎∴y为所求． 50．【2018年新课标1理科19】设椭圆C：y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．‎ ‎（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；‎ ‎（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．‎ ‎【解答】解：（1）c1，‎ ‎∴F（1，0），‎ ‎∵l与x轴垂直，‎ ‎∴x＝1，‎ 由，解得或，‎ ‎∴A（1.），或（1，），‎ ‎∴直线AM的方程为yx，yx，‎ 证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°，‎ 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA＝∠OMB，‎ 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k（x﹣1），k≠0，‎ A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2，‎ 直线MA，MB的斜率之和为kMA，kMB之和为kMA+kMB，‎ 由y1＝kx1﹣k，y2＝kx2﹣k得kMA+kMB，‎ 将y＝k（x﹣1）代入y2＝1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，‎ ‎∴x1+x2，x1x2，‎ ‎∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k（4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k）＝0‎ 从而kMA+kMB＝0，‎ 故MA，MB的倾斜角互补，‎ ‎∴∠OMA＝∠OMB，‎ 综上∠OMA＝∠OMB． 51．【2018年新课标2理科19】设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8．‎ ‎（1）求l的方程；‎ ‎（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．‎ ‎【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），‎ 设直线AB的方程为：y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0，则x1+x2，x1x2＝1，‎ 由|AB|＝x1+x2+p2＝8，解得：k2＝1，则k＝1，‎ ‎∴直线l的方程y＝x﹣1；‎ 方法二：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|8，解得：sin2θ，‎ ‎∴θ，则直线的斜率k＝1，‎ ‎∴直线l的方程y＝x﹣1；‎ ‎（2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y﹣2＝﹣（x﹣3），即y＝﹣x+5，‎ 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则，‎ 解得：或，‎ 因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝16或（x﹣11）2+（y+6）2＝144．‎ ‎ 52．【2018年新课标3理科20】已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．‎ ‎（1）证明：k；‎ ‎（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．‎ ‎【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∵线段AB的中点为M（1，m），‎ ‎∴x1+x2＝2，y1+y2＝‎‎2m 将A，B代入椭圆C：1中，可得 ‎，‎ 两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，‎ 即6（x1﹣x2）+‎8m（y1﹣y2）＝0，‎ ‎∴k 点M（1，m）在椭圆内，即，‎ 解得0＜m ‎∴．①‎ ‎（2）由题意得F（1，0），设P（x3，y3），则 x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1＝0，y1+y2+y3＝0，‎ 由（1）及题设得x3＝3﹣（x1+x2）＝1，y3＝﹣（y1+y2）＝﹣‎2m＜0．‎ 又点P在C上，所以m，从而P（1，），．‎ 于是2．‎ 同理2．‎ 所以||+||＝4，‎ 故||+||＝2||，即||，||，||成等差数列．‎ 设改数列的公差为d，则2|d||x1﹣x2|②‎ 将m代入①得k＝﹣1．‎ 所以l的方程为y＝﹣x，代入C的方程，并整理得70．‎ 故x1+x2＝2，x1x2，代入②解得|d|．‎ 所以该数列的公差为或． 53．【2018年浙江21】如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2＝4x 上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．‎ ‎（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；‎ ‎（Ⅱ）若P是半椭圆x21（x＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：可设P（m，n），A（，y1），B（，y2），‎ AB中点为M的坐标为（，），‎ 抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上，‎ 可得（）2＝4•，‎ ‎（）2＝4•，‎ 化简可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2ny+‎8m﹣n2＝0的两根，‎ 可得y1+y2＝2n，y1y2＝‎8m﹣n2，‎ 可得n，‎ 则PM垂直于y轴；‎ ‎（Ⅱ）若P是半椭圆x21（x＜0）上的动点，‎ 可得m21，﹣1≤m＜0，﹣2＜n＜2，‎ 由（Ⅰ）可得y1+y2＝2n，y1y2＝‎8m﹣n2，‎ 由PM垂直于y轴，可得△PAB面积为S|PM|•|y1﹣y2|‎ ‎（m）•‎ ‎＝[•（4n2﹣‎16m+2n2）m]•‎ ‎（n2﹣‎4m），‎ 可令t ‎，‎ 可得m时，t取得最大值；‎ m＝﹣1时，t取得最小值2，‎ 即2≤t，‎ 则St3在2≤t递增，可得S∈[6，]，‎ ‎△PAB面积的取值范围为[6，]．‎ ‎ 54．【2018年上海20】设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x＝t，曲线Γ：y2＝8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ 与线段AB上的动点．‎ ‎（1）用t表示点B到点F的距离；‎ ‎（2）设t＝3，|FQ|＝2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；‎ ‎（3）设t＝8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），‎ 则|BF|t+2，‎ ‎∴|BF|＝t+2；‎ 方法二：由题意可知：设B（t，2t），‎ 由抛物线的性质可知：|BF|＝tt+2，∴|BF|＝t+2；‎ ‎（2）F（2，0），|FQ|＝2，t＝3，则|FA|＝1，‎ ‎∴|AQ|，∴Q（3，），设OQ的中点D，‎ D（，），‎ kQF，则直线PF方程：y（x﹣2），‎ 联立，整理得：3x2﹣20x+12＝0，‎ 解得：x，x＝6（舍去），‎ ‎∴△AQP的面积S；‎ ‎（3）存在，设P（，y），E（，m），则kPF，kFQ，‎ 直线QF方程为y（x﹣2），∴yQ（8﹣2），Q（8，），‎ 根据，则E（6，），‎ ‎∴（）2＝8（6），解得：y2，‎ ‎∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．‎ ‎ 55．【2018年北京理科19】已知抛物线C：y2＝2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．‎ ‎（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设O为原点，λ，μ，求证：为定值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2＝2px经过点 P（1，2），∴4＝2p，解得p＝2，‎ 设过点（0，1）的直线方程为y＝kx+1，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 联立方程组可得，‎ 消y可得k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，‎ ‎∴△＝（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1，‎ 且k≠0，x1+x2，x1x2，‎ 又∵PA、PB要与y轴相交，∴直线l不能经过点（1，﹣2），即k≠﹣3，‎ 故直线l的斜率的取值范围（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）∪（0，1）；‎ ‎（Ⅱ）证明：设点M（0，yM），N（0，yN），‎ 则（0，yM﹣1），（0，﹣1）‎ 因为λ，所以yM﹣1＝﹣yM﹣1，故λ＝1﹣yM，同理μ＝1﹣yN，‎ 直线PA的方程为y﹣2（x﹣1）（x﹣1）（x﹣1），‎ 令x＝0，得yM，同理可得yN，‎ 因为2，‎ ‎∴2，∴为定值．‎ ‎ 56．【2018年天津理科19】设椭圆1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|•|AB|＝6．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y＝kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若sin∠AOQ（O为原点），求k的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设椭圆1（a＞b＞0）的焦距为‎2c，‎ 由椭圆的离心率为e，‎ ‎∴；‎ 又a2＝b2+c2，‎ ‎∴‎2a＝3b，‎ 由|FB|＝a，|AB|b，且|FB|•|AB|＝6；‎ 可得ab＝6，‎ 从而解得a＝3，b＝2，‎ ‎∴椭圆的方程为1；‎ ‎（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），由已知y1＞y2＞0；‎ ‎∴|PQ|sin∠AOQ＝y1﹣y2；‎ 又|AQ|，且∠OAB，‎ ‎∴|AQ|y2，‎ 由sin∠AOQ，可得5y1＝9y2；‎ 由方程组，消去x，可得y1，‎ 由（Ⅰ）知直线AB的方程为x+y﹣2＝0；‎ 由方程组，消去x，可得y2；‎ 由5y1＝9y2，可得5（k+1）＝3，‎ 两边平方，整理得56k2﹣50k+11＝0，‎ 解得k或k；‎ ‎∴k的值为或． 57．【2017年江苏17】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e，则a＝‎2c，①‎ 椭圆的准线方程x＝±，由28，②‎ 由①②解得：a＝2，c＝1，‎ 则b2＝a2﹣c2＝3，‎ ‎∴椭圆的标准方程：；‎ ‎（2）方法一：设P（x0，y0），‎ 当x0＝1时，不存在，解得：Q与F1重合，不满足题意，‎ 当x0≠1时，则直线PF2的斜率，‎ 直线l2的斜率k2，直线l2的方程y（x﹣1），‎ 直线PF1的斜率，‎ 则直线l1的斜率k1，直线l1的方程y（x+1），‎ 联立，解得：，则Q（﹣x0，），‎ 由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0，‎ ‎∴y02＝x02﹣1，‎ 则，解得：，则，‎ 又P在第一象限，所以P的坐标为：‎ P（，）．‎ 方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，‎ 当m＝1时，不存在，解得：Q与F1重合，不满足题意，‎ 当m≠1时，，，‎ 由l1⊥PF1，l2⊥PF2，则，，‎ 直线l1的方程y（x+1），①直线l2的方程y（x﹣1），②‎ 联立解得：x＝﹣m，则Q（﹣m，），‎ 由Q在椭圆方程，由对称性可得：±n2，‎ 即m2﹣n2＝1，或m2+n2＝1，‎ 由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，‎ 又P在第一象限，所以P的坐标为：‎ P（，）．‎ ‎ 58．【2017年新课标1理科20】已知椭圆C：1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P‎2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．‎ ‎【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，‎ 又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），‎ ‎∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．‎ 把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：‎ ‎，解得a2＝4，b2＝1，‎ ‎∴椭圆C的方程为1．‎ 证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x＝m，A（m，yA），B（m，﹣yA），‎ ‎∵直线P‎2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，‎ ‎∴1，‎ 解得m＝2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．‎ ‎②当斜率存在时，设l：y＝kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，‎ ‎，x1x2，‎ 则 ‎1，又t≠1，‎ ‎∴t＝﹣2k﹣1，此时△＝﹣64k，存在k，使得△＞0成立，‎ ‎∴直线l的方程为y＝kx﹣2k﹣1，‎ 当x＝2时，y＝﹣1，‎ ‎∴l过定点（2，﹣1）． 59．【2017年新课标2理科20】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．‎ ‎（1）求点P的轨迹方程；‎ ‎（2）设点Q在直线x＝﹣3上，且•1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．‎ ‎【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），‎ 设P（x，y），由点P满足．‎ 可得（x﹣x0，y）（0，y0），‎ 可得x﹣x0＝0，yy0，‎ 即有x0＝x，y0，‎ 代入椭圆方程y2＝1，可得1，‎ 即有点P的轨迹方程为圆x2+y2＝2；‎ ‎（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），‎ ‎•1，可得（cosα，sinα）•（﹣3cosα，msinα）＝1，‎ 即为﹣3cosα﹣2cos2αmsinα﹣2sin2α＝1，‎ 当α＝0时，上式不成立，则0＜α＜2π，‎ 解得m，‎ 即有Q（﹣3，），‎ 椭圆y2＝1的左焦点F（﹣1，0），‎ 由•（﹣1cosα，sinα）•（﹣3，）‎ ‎＝3+3cosα﹣3（1cosα）＝0．‎ 可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．‎ 另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由•1，‎ 可得（m，n）•（﹣3﹣m，t﹣n）＝﹣‎3m﹣m2+nt﹣n2＝1，‎ 又P在圆x2+y2＝2上，可得m2+n2＝2，‎ 即有nt＝3+‎3m，‎ 又椭圆的左焦点F（﹣1，0），‎ ‎•（﹣1﹣m，﹣n）•（﹣3，t）＝3+‎3m﹣nt ‎＝3+‎3m﹣3﹣‎3m＝0，‎ 则⊥，‎ 可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F． 60．【2017年新课标3理科20】已知抛物线C：y2＝2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．‎ ‎（1）证明：坐标原点O在圆M上；‎ ‎（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．‎ ‎【解答】解：方法一：证明：（1）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2），‎ 则（2，2），（2，﹣2），则•0，‎ ‎∴⊥，‎ 则坐标原点O在圆M上；‎ 当直线l的斜率存在，设直线l的方程y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2＝0，‎ 则x1x2＝4，4x1x2＝y12y22＝（y1y2）2，由y1y2＜0，‎ 则y1y2＝﹣4，‎ 由•x1x2+y1y2＝0，‎ 则⊥，则坐标原点O在圆M上，‎ 综上可知：坐标原点O在圆M上；‎ 方法二：设直线l的方程x＝my+2，‎ ‎，整理得：y2﹣2my﹣4＝0，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则y1y2＝﹣4，‎ 则（y1y2）2＝4x1x2，则x1x2＝4，则•x1x2+y1y2＝0，‎ 则⊥，则坐标原点O在圆M上，‎ ‎∴坐标原点O在圆M上；‎ ‎（2）由（1）可知：x1x2＝4，x1+x2，y1+y2，y1y2＝﹣4，‎ 圆M过点P（4，﹣2），则（4﹣x1，﹣2﹣y1），（4﹣x2，﹣2﹣y2），‎ 由•0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）＝0，‎ 整理得：k2+k﹣2＝0，解得：k＝﹣2，k＝1，‎ 当k＝﹣2时，直线l的方程为y＝﹣2x+4，‎ 则x1+x2，y1+y2＝﹣1，‎ 则M（，），半径为r＝丨MP丨，‎ ‎∴圆M的方程（x）2+（y）2．‎ 当直线斜率k＝1时，直线l的方程为y＝x﹣2，‎ 同理求得M（3，1），则半径为r＝丨MP丨，‎ ‎∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝10，‎ 综上可知：直线l的方程为y＝﹣2x+4，圆M的方程（x）2+（y）2，‎ 或直线l的方程为y＝x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝10． 61．【2017年浙江21】如图，已知抛物线x2＝y，点A（，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（x），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．‎ ‎（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），x，‎ 所以kAPx∈（﹣1，1），‎ 故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）；‎ ‎（Ⅱ）由（I）知P（x，x2），x，‎ 所以（x，x2），‎ 设直线AP的斜率为k，则kx，即x＝k，‎ 则AP：y＝kxk，BQ：yx，‎ 联立直线AP、BQ方程可知Q（，），‎ 故（，），‎ 又因为（﹣1﹣k，﹣k2﹣k），‎ 故﹣|PA|•|PQ|•（1+k）3（k﹣1），‎ 所以|PA|•|PQ|＝（1+k）3（1﹣k），‎ 令f（x）＝（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，‎ 则f′（x）＝（1+x）2（2﹣4x）＝﹣2（1+x）2（2x﹣1），‎ 由于当﹣1＜x时f′（x）＞0，当x＜1时f′（x）＜0，‎ 故f（x）max＝f（），即|PA|•|PQ|的最大值为． 62．【2017年上海20】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．‎ ‎（1）若P在第一象限，且|OP|，求P的坐标；‎ ‎（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；‎ ‎（3）若|MA|＝|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．‎ ‎【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），‎ ‎∵椭圆Γ：1，A为Γ的上顶点，‎ P为Γ上异于上、下顶点的动点，‎ P在第一象限，且|OP|，‎ ‎∴联立，‎ 解得P（，）．‎ ‎（2）设M（x0，0），A（0，1），‎ P（），‎ 若∠P＝90°，则•，即（x0，）•（，）＝0，‎ ‎∴（）x00，解得x0．‎ 如图，若∠M＝90°，则•0，即（﹣x0，1）•（x0，）＝0，‎ ‎∴0，解得x0＝1或x0，‎ 若∠A＝90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．‎ ‎∴点M的横坐标为，或1，或．‎ ‎（3）设C（2cosα，sinα），‎ ‎∵，A（0，1），‎ ‎∴Q（4cosα，2sinα﹣1），‎ 又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），‎ ‎∵|MA|＝|MP|，∴x02+1＝（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2，‎ 整理得：x0cosβ，‎ ‎∵（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），（cosβ，﹣sinβ），，‎ ‎∴4cosα﹣2cosβ＝﹣5cosβ，‎ 且2sinα﹣sinβ﹣1＝﹣4sinβ，‎ ‎∴cosβcosα，且sinα（1﹣2sinα），‎ 以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2＝0，∴sinα，或sinα＝﹣1（舍去），‎ 此时，直线AC的斜率kAC （负值已舍去），如图．‎ ‎∴直线AQ为yx+1．‎ ‎ 63．【2017年北京理科18】已知抛物线C：y2＝2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．‎ ‎（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎（2）求证：A为线段BM的中点．‎ ‎【解答】解：（1）∵y2＝2px过点P（1，1），‎ ‎∴1＝2p，‎ 解得p，‎ ‎∴y2＝x，‎ ‎∴焦点坐标为（，0），准线为x，‎ ‎（2）证明：设过点（0，）的直线方程为 y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），‎ ‎∴直线OP为y＝x，直线ON为：yx，‎ 由题意知A（x1，x1），B（x1，），‎ 由，可得k2x2+（k﹣1）x0，‎ ‎∴x1+x2，x1x2‎ ‎∴y1kx12kx12kx12kx1+（1﹣k）•2x1＝2x1，‎ ‎∴A为线段BM的中点．‎ ‎ 64．【2017年天津理科19】设椭圆1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．‎ ‎（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；‎ ‎（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．‎ 依题意可得，‎ 解得a＝1，c，p＝2，于是b2＝a2﹣c2．‎ 所以，椭圆的方程为x21，抛物线的方程为y2＝4x．‎ ‎（Ⅱ）解：直线l的方程为x＝﹣1，设直线AP的方程为x＝my+1（m≠0），‎ 联立方程组，解得点P（﹣1，），故Q（﹣1，）．‎ 联立方程组，消去x，整理得（‎3m2‎+4）y2+6my＝0，解得y＝0，或y．‎ ‎∴B（，）．‎ ‎∴直线BQ的方程为（）（x+1）﹣（）（y）＝0，‎ 令y＝0，解得x，故D（，0）．‎ ‎∴|AD|＝1．‎ 又∵△APD的面积为，∴，‎ 整理得‎3m2‎﹣2|m|+2＝0，解得|m|，∴m＝±．‎ ‎∴直线AP的方程为3xy﹣3＝0，或3xy﹣3＝0． ‎ ‎1、椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.‎ ‎2、主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点．以选择、填空题为主，难度为中低档．一般不再考查与双曲线相关的解答题，解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质.‎ ‎3、抛物线的方程、几何性质及与抛物线相关的综合问题是命题的热点．题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较强的解答题.‎ ‎ 1．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎,当焦点位于横轴时，，而，所以 当焦点位于纵轴时，故本题选D.‎ ‎2．己知椭圆直线过左焦点且倾斜角为，以椭圆的长轴为直径的圆截所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意知，椭圆左焦点为，长轴长为，焦距为 设直线方程为：，即 则以椭圆长轴为直径的圆的圆心为，半径为 圆心到直线的距离 ‎，整理得：‎ 椭圆的离心率为 本题正确选项：‎ ‎3．表示的曲线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 可看作动点到点的距离 可看作动点到点的距离 则表示动点到和的距离之差为 符合双曲线的定义，且双曲线焦点在轴上 又动点到的距离大于到的距离，所以动点轨迹为双曲线的下半支 则：， ‎ 曲线方程为：‎ 本题正确选项：‎ ‎4．嫦娥四号月球探测器于‎2018年12月8日 搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为公里，远月点与月球表面距离为公里.已知月球的直径为公里，则该椭圆形轨道的离心率约为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 如下图，F为月球的球心，月球半径为：×3476＝1738，‎ 依题意，｜AF｜＝100＋1738＝1838，‎ ‎　　　　｜BF｜＝400＋1738＝2138.‎ ‎2a‎＝1838＋2138，‎ a＝1988，‎ a＋c＝2138，‎ c＝2138－1988＝150，‎ 椭圆的离心率为：，‎ 选B.‎ ‎5．若直线与圆相交于，两点，且，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 圆C: ,∵ ∴圆心C到直线的距离为1，则 ，解m=‎ 故选：A ‎6．已知抛物线，过焦点的直线与此抛物线交于，两点，点在第一象限，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，直线的斜率为，则的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意，抛物线的焦点为，准线方程为，‎ 设，则，‎ 因为直线的斜率为，所以，所以，‎ 所以，‎ 所以的面积为，故选A．‎ ‎7．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（　　）‎ A． B．‎8 ‎C． D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ F（1，0），故直线AB的方程为y＝x﹣1，联立方程组，可得x2﹣6x+1＝0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．‎ 由抛物线的定义可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，‎ ‎∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．‎ 故选：C．‎ ‎8．已知是关于的方程的两个不等实根，则经过两点 的直线与椭圆公共点的个数是（ ）‎ A． B． C． D．不确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为是关于的方程的两个不等实根 所以，‎ 且，‎ 直线的斜率 ‎ 直线的方程为 ‎ 即 整理得 故直线恒过点，而该点在椭圆内部，‎ 所以直线和椭圆相交，即公共点有2个。‎ 故选A.‎ ‎9．圆与直线相交于，两点，则弦_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题得圆心到直线的距离为，‎ 所以|AB|=.‎ 故答案为：‎ ‎10．已知点在以为焦点的椭圆上，点为该椭圆所在平面内的一点，且满足以下两个条件：①；②，则该椭圆的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 依据题意作出图形如下：‎ 因为为的中点，所以 又，所以与原点重合.‎ 设，则，‎ 由椭圆定义可得：‎ 所以，‎ 在及中，由余弦定理可得：‎ 整理得：‎ 所以 ‎11．已知双曲线的右顶点为，以为圆心，半焦距为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点.若，则的离心率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设双曲线C的渐近线方程为，点到渐近线的距离为 则 化简为 ‎ 即 解得 ‎ 故的离心率为 ‎12．已知，抛物线的焦点为与抛物线在第一象限的交点为，且，则________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 由题意，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，‎ 联立方程组，可得， ‎ 根据抛物线的定义可得，解得．‎ ‎13．在平面直角坐标系中，两动圆均过定点，它们的圆心分别为，且与轴正半轴分别交于点，若，则_________ ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 因为r1＝|1﹣a1|，则y12＝1﹣‎2a1，‎ 同理可得y22＝1﹣‎2a2，‎ 又因为，‎ 则（1﹣‎2a1）（1﹣‎2a2）＝1，‎ 即‎2a1a2＝a1+a2，‎ 则2，‎ 故答案为：2.‎ ‎14．圆与曲线相交于四点，为坐标原点，则__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎∵圆的圆心为M（-3，2），‎ ‎∴圆关于M（-3，2）中心对称，‎ 又曲线，关于（-3，2）中心对称，‎ ‎∴圆与曲线的交点关于（-3，2）中心对称，‎ 不妨设关于（-3，2）中心对称，则,‎ ‎∴，‎ 故答案为.‎ ‎15．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线，如图一平行于轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点，‎ 当直线斜率存在时，设的方程为，‎ 由得：，整理得，‎ 所以，‎ 所以；‎ 当直线斜率不存在时，易得；‎ 综上，当直线轴垂直时，弦长最短，‎ 又因为两平行光线间的最小距离为4，最小时，两平行线间的距离最小；‎ 因此，所求方程为.‎ 故答案为 ‎16．过椭圆的左焦点的直线过的上端点，且与椭圆相交于另一个点，若，则的离心率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意可得，由可得，‎ 点A在椭圆上，则：，‎ 整理可得：.‎ ‎17．已知，分别为椭圆的左，右焦点，点在椭圆上，且的面积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由椭圆经过点，且的面积为，得 ‎，且,即.‎ 又，解得，.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）由（1）知，.设，.‎ 若直线的斜率不存在，可得点的坐标为，‎ 则.‎ 当直线的斜率存在时，设，代入椭圆方程得.‎ 则恒成立.‎ 所以，.‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎.‎ 又，则.‎ 综上可知，的取值范围为.‎ ‎18．设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由；‎ ‎（Ⅲ）设点是一个动点，若直线的斜率存在，且为中点，，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ).‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ)抛物线的焦点坐标为，故，‎ 结合可得：，故椭圆方程为：.‎ ‎(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，设，‎ 假设存在满足题意的直线方程：，‎ 与椭圆方程联立可得：，‎ 则，‎ 则：‎ ‎，‎ 结合题意和韦达定理有：，‎ 解得：，即存在满足题意的直线方程：.‎ ‎(Ⅲ)设，设直线AB的方程为，‎ 由于：，‎ 两式作差整理变形可得：，‎ 即：. ①‎ 又 ②‎ ‎ ③‎ ‎①×②可得： ④‎ ‎④代入③可得： ⑤‎ ‎④⑤代入①整理可得：，‎ ‎，据此可得：，‎ 从而.‎ ‎19．已知椭圆C:的焦距为，且C过点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设、分别是椭圆C的下顶点和上顶点，P是椭圆上异于、的任意一点，过点P作轴于M，N为线段PM的中点，直线与直线交于点D，E为线段的中点，O为坐标原点，则是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎(1)由题意各焦距为，∴，又∵椭圆过点，‎ ‎∴代入椭圆方程得，∵，解得，，‎ 故所求椭圆C的方程是；‎ ‎(2)证明：设，，则，，‎ ‎∵点P在椭圆C上，，即，‎ 又，∴直线的方程为，‎ 令，得，∴，‎ 又，E为线段的中点，∴，‎ ‎∴，，‎ 因 ‎.‎ ‎∴，即.‎ ‎20．已知离心率为的椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且点到的准线的距离为2.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若直线与交于两点，与交于两点，且（为坐标原点），求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为点到的准线的距离为2，所以，， ‎ 由解得 所以的方程为 ‎ ‎（2）解法一.由（1）知抛物线的方程为. ‎ 要使直线与抛物线交于两点，则直线的斜率不为0，可设的方程为，‎ 由得 ‎ 所以，得.‎ 设 则 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，所以， ‎ 所以直线的方程为，‎ 所以直线过椭圆的右顶点，‎ 不妨设 ，，且， ‎ 所以，‎ 当且仅当时，.‎ ‎21．已知是椭圆的左、右顶点，为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点（点在第一象限），线段与圆相切于点，且点为线段的中点.‎ ‎（1）求线段的长；‎ ‎（2）求椭圆的离心率；‎ ‎（3）设直线交椭圆于两点（其中点在第一象限），过点作的平行线交椭圆于点，交于点，求.‎ ‎【答案】（1）2b; （2）; （3）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）连接OQ，，如图，OQ为△的中位线，由题意知OQ=b，则=2b.‎ ‎（2）由椭圆的定义结合（1）可得，，‎ 则，得，解得，‎ 则，故椭圆的离心率为.‎ ‎（3）由（2）可知,设直线OQ的方程为x＝2y，椭圆方程设为，(t>0),‎ 由得25y2＝，得到，，‎ 又点作的平行线的方程设为x＝2y-3t，‎ 由得4（2y-3t）2＝，即25-48ty=0，‎ 解得y=0或y=，即D（），又B（3t，0）‎ ‎∴直线BD的方程为y=，与联立，解得，‎ 由三角形的面积公式得==.‎ ‎22．已知抛物线的焦点为，是上一点，且．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过点的直线与抛物线相交于两点，分别过点两点作抛物线的切线，两条切线相交于点，点关于直线的对称点，判断四边形是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）解：根据题意知，①‎ 因为，所以②‎ 联立①②解得．‎ 所以抛物线的方程为．‎ ‎（2）四边形存在外接圆．‎ 设直线方程为，代入中，得，‎ 设点，则，‎ 且 所以，‎ 因为，即，所以．‎ 因此，切线的斜率为，切线的斜率为，‎ 由于，所以，即是直角三角形，‎ 所以的外接圆的圆心为线段的中点，线段是圆的直径，‎ 所以点一定在的外接圆上，即四边形存在外接圆．‎ 又因为，所以当时，线段最短，最短长度为4，‎ 此时圆的面积最小，最小面积为． ‎