宁夏银川一中高考数学一模试卷理科

宁夏银川一中高考数学一模试卷理科

‎　一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知复数z=﹣2i（其中i为虚数单位），则|z|=（　　）‎ A．3 B．3 C．2 D．2‎ ‎2．（5分）设集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=3x}，则A∩B的子集的个数是（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎3．（5分）古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（　　）‎ A．a2 B．a2 C．a2 D．a2‎ ‎5．（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，2] D．[2，+∞）‎ ‎6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．96 B． C． D．‎ ‎7．（5分）上海某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（　　）‎ A．A×A种 B．A×54种 C．C×A种 D．C×54种 ‎8．（5分）某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．‎ 甲说：我在1日和3日都有值班；‎ 乙说：我在8日和9日都有值班；‎ 丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（　　）‎ A．2日和5日 B．5日和6日 C．6日和11日 D．2日和11日 ‎9．（5分）设x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．4‎ ‎10．（5分）设F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（+）•=0（O为坐标原点），且|PF1|=‎ ‎|PF2|，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．+1‎ ‎11．（5分）在△ABC中，==，则sinA：sinB：sinC=（　　）‎ A．5：3：4 B．5：4：3 C．：：2 D．：2：‎ ‎12．（5分）若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣，1） B．[﹣，1） C．[﹣2，1） D．（﹣2，1）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．（5分）若a=log43，则2a+2﹣a=　 　．‎ ‎14．（5分）函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x（≤x≤）的值域为　 　．‎ ‎15．（5分）已知圆x2+y2=4，B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上动点，若∠PBQ=90°，则线段PQ中点的轨迹方程为　 　．‎ ‎16．（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为　 　．‎ ‎　‎ 三．解答 ‎17．（12分）Sn为数列{an}前n项和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3，‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和．‎ ‎18．（12分）人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示：‎ 幸福感指数 ‎[0，2）‎ ‎[2，4）‎ ‎[4，6）‎ ‎[6，8）‎ ‎[8，10]‎ 男居民人数 ‎10‎ ‎20‎ ‎220‎ ‎125‎ ‎125‎ 女居民人数 ‎10‎ ‎10‎ ‎180‎ ‎175‎ ‎125‎ ‎（1）在图中绘出频率分布直方图（说明：将各个小矩形纵坐标注在相应小矩形边的最上面），并估算该地区居民幸福感指数的平均值；‎ ‎（2）若居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）．‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=PA=2，E，F分别为PB，AD的中点．‎ ‎（1）证明：AC⊥EF；‎ ‎（2）求直线EF与平面PCD所成角的正弦值．‎ ‎20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．‎ ‎（1）求椭圆的方程．‎ ‎（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（﹣a，0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且•=4，求y0的值．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（a﹣2）x．‎ ‎（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；‎ ‎（2）求函数y=f（x）在[a2，a]上的最大值．‎ ‎　‎ 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；‎ ‎（2）已知射线l1：θ=α（0＜α＜），将射线l1顺时针旋转得到射线l2；θ=α﹣，且射线l1与曲线C1交于O，P两点，射线l2与曲线C2交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|的最大值．‎ ‎　‎ 选修4-5；不等式选讲 ‎23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，且a，b∈M．‎ ‎（1）证明：|a+b|＜；‎ ‎（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．‎ ‎　‎ ‎2018年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知复数z=﹣2i（其中i为虚数单位），则|z|=（　　）‎ A．3 B．3 C．2 D．2‎ ‎【解答】解：z=﹣2i=﹣2i=3﹣i﹣2i=3﹣3i，‎ 则|z|=3，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）设集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=3x}，则A∩B的子集的个数是（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【解答】解：∵A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=3x}，‎ ‎∴A∩B={（x，y）|}，‎ 如图：‎ 由图可知，A∩B的元素有2个，则A∩B的子集有22=4个．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：设这女子每天分别织布an尺，‎ 则数列{an}是等比数列，公比q=2．‎ 则=5，解得．‎ ‎∴a3==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（　　）‎ A．a2 B．a2 C．a2 D．a2‎ ‎【解答】解：由于斜二测画法规则是在已知图象中取互相垂直的x轴和y轴，‎ 两轴相交于点O，画直观图时，画出相应的x′轴和y′轴，两轴相交于O′，且使∠x′O′y′=45° 或135°，‎ 它们确定的平面表示水平面，‎ 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画出平行于x′轴和y′轴的线段，‎ 已知图形中平行于x轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变成原来的一半，‎ ‎∴△ABC的平面直观图△A′B′C′的底边长不变，高变为=a，‎ ‎∴△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积S==．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间 内，则输入的实数x的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，2] D．[2，+∞）‎ ‎【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用 再根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．‎ 又∵输出的函数值在区间内，‎ ‎∴x∈[﹣2，﹣1]‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．96 B． C． D．‎ ‎【解答】解：由三视图可知几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的，圆锥的底面半径为2，高为2，∴圆锥的母线长为2．‎ ‎∴几何体的平面部分面积为6×42﹣π×22=96﹣4π．‎ 圆锥的侧面积为=4．‎ ‎∴几何体的表面积为96﹣4π+4．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）上海某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（　　）‎ A．A×A种 B．A×54种 C．C×A种 D．C×54种 ‎【解答】解：根据题意，分2步进行分析：‎ ‎①，在6个年级中任选2个，去参观甲博物馆，有C62种选法，‎ ‎②，剩下4个年级中每个年级都可以在剩下的5个博物馆中任选1个参观，都有5种选法，‎ 则剩下4个年级有5×5×5×5=54种选法，‎ 则一共有C62×54种方案；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．‎ 甲说：我在1日和3日都有值班；‎ 乙说：我在8日和9日都有值班；‎ 丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（　　）‎ A．2日和5日 B．5日和6日 C．6日和11日 D．2日和11日 ‎【解答】解：由题意，1至12的和为78，‎ 因为三人各自值班的日期之和相等，‎ 所以三人各自值班的日期之和为26，‎ 根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，‎ 据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）设x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．4‎ ‎【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，‎ 当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，‎ ‎∴4a+6b=12，即2a+3b=6，‎ ‎∴=（）×=（12+）≥4‎ 当且仅当时，的最小值为4‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（+）•=0（O为坐标原点），且|PF1|=|PF2|，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．+1‎ ‎【解答】解：取PF2的中点A，则=2‎ ‎∵（）•=0，∴2•=0‎ ‎∴⊥‎ ‎∵O是F1F2的中点 ‎∴OA∥PF1，‎ ‎∴PF1⊥PF2，‎ ‎∵|PF1|=|PF2|，‎ ‎∴2a=|PF1|﹣|PF2|=（﹣1）|PF2|，‎ ‎∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，‎ ‎∴c=|PF2|，‎ ‎∴e===‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）在△ABC中，==，则sinA：sinB：sinC=（　　）‎ A．5：3：4 B．5：4：3 C．：：2 D．：2：‎ ‎【解答】解：△ABC中，∵==，‎ ‎∴==，‎ 即 ==，‎ 即==bc•，‎ 即 2a2+2c2﹣2b2=3a2+3b2﹣3c2=6b2+6c2﹣6a2，‎ 设2a2+2c2﹣2b2=3a2+3b2﹣3c2=6b2+6c2﹣6a2=k，‎ 求得 a2=5k，b2=3k，c2=4k，‎ ‎∴a=，b=，c==2，‎ ‎∴由正弦定理可得a：b：c=sinA：sinB：sinC=：：2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣，1） B．[﹣，1） C．[﹣2，1） D．（﹣2，1）‎ ‎【解答】解：由题意可得：函数 f（x）=x3﹣3x，‎ 所以f′（x）=3x2﹣3．‎ 令f′（x）=3x2﹣3=0可得，x=±1；‎ 因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，其最小值为f（1），‎ 所以函数f（x）在区间（a，6﹣a2）内先减再增，即f′（x）先小于0然后再大于0，‎ 所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜6﹣a2，‎ 且f（a）=a3﹣3a≥f（1）=﹣2，且6﹣a2﹣a＞0，‎ 联立解得：﹣2≤a＜1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．（5分）若a=log43，则2a+2﹣a=　　．‎ ‎【解答】解：∵a=log43，可知4a=3，‎ 即2a=，‎ 所以2a+2﹣a=+=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x（≤x≤）的值域为　[1，2]　．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x=﹣cos（+2x）﹣cos2x+1=sin2x﹣cos2x ‎=2sin（2x﹣），∵≤x≤，‎ ‎∴2x∈[，]，‎ 当x=时，函数取得最大值为：2．‎ x=时，函数取得最小值为：1．‎ 所以函数的值域为：[1，2]．‎ 故答案为：[1，2]．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知圆x2+y2=4，B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上动点，若∠PBQ=90°，则线段PQ中点的轨迹方程为　x2+y2﹣x﹣y﹣1=0　．‎ ‎【解答】解：设PQ的中点为N（x，y），‎ 在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，‎ 设O为坐标原点，则ON⊥PQ，‎ 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，‎ 所以x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．‎ 故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2﹣x﹣y﹣1=0．‎ 故答案为：x2+y2﹣x﹣y﹣1=0．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为　　．‎ ‎【解答】解：设P（2pt，2pt），M（x，y），则，‎ ‎∴x=，y=，‎ ‎∴kOM==≤=，‎ 当且仅当t=时取等号，‎ ‎∴直线OM的斜率的最大值为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三．解答 ‎17．（12分）Sn为数列{an}前n项和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3，‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和．‎ ‎【解答】解：（1）an＞0，an2+2an=4Sn+3，‎ n≥2时，+2an﹣1=4Sn﹣1+3，‎ 相减可得：an2+2an﹣（+2an﹣1）=4an，‎ 化为：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，‎ ‎∵an＞0，∴an﹣an﹣1﹣2=0，即an﹣an﹣1=2，‎ 又=4a1+3，a1＞0，解得a1=3．‎ ‎∴数列{an}是等差数列，首项为3，公差为2．‎ ‎∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．‎ ‎（2）bn===，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和=+…+‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示：‎ 幸福感指数 ‎[0，2）‎ ‎[2，4）‎ ‎[4，6）‎ ‎[6，8）‎ ‎[8，10]‎ 男居民人数 ‎10‎ ‎20‎ ‎220‎ ‎125‎ ‎125‎ 女居民人数 ‎10‎ ‎10‎ ‎180‎ ‎175‎ ‎125‎ ‎（1）在图中绘出频率分布直方图（说明：将各个小矩形纵坐标注在相应小矩形边的最上面），并估算该地区居民幸福感指数的平均值；‎ ‎（2）若居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）．‎ ‎【解答】解：（1）频率分布直方图如右图．‎ 所求的平均值为0.01×2×1+0.015×2×3‎ ‎+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46，‎ ‎（2）男居民幸福的概率为：‎ ‎=0.5．‎ 女居民幸福的概率为：=0.6，‎ 故一对夫妻都幸福的概率为：‎ ‎0.5×0.6=0.3，‎ 因此X的可能取值为0，1，2，3，4，‎ 且X～B（4，0.3）‎ 于是P（X=k）=3k（1﹣0.3）4﹣k（k=0，1，2，3，4），‎ X的分布列为 ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎4‎ ‎ p ‎0.2401‎ ‎0.4116‎ ‎ 0.2646‎ ‎ 0.0756‎ ‎0.0081‎ ‎∴E（X）=np=4×0.3=1.2．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=PA=2，E，F分别为PB，AD的中点．‎ ‎（1）证明：AC⊥EF；‎ ‎（2）求直线EF与平面PCD所成角的正弦值．‎ ‎【解答】解：（1）易知AB，AD，A P两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．‎ 设AB=t，则相关各点的坐标为：A（0，0，0），B（t，0，0），C（t，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），F（0，1，0）．…（2分）‎ 从而=（﹣，1，﹣1），=（t，1，0），=（﹣t，2，0）．‎ 因为AC⊥BD，所以•=﹣t2+2+0=0．‎ 解得或（舍去）． …（4分）‎ 于是=（，1，﹣1），=（，1，0）．‎ 因为•=﹣1+1+0=0，所以⊥，即AC⊥EF． …（6分）‎ ‎（2）由（1）知，=（，1，﹣2），=（0，2，﹣2）．‎ 设=（x，y，z）是平面PCD的一个法向量，则 令，则=（1，，）． …（9分）‎ 设直线EF与平面PCD所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=．‎ 即直线EF与平面PCD所成角的正弦值为．…（12分）‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．‎ ‎（1）求椭圆的方程．‎ ‎（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（﹣a，0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且•=4，求y0的值．‎ ‎【解答】解：（1）由e=，得3a2=4c2．‎ 再由c2=a2﹣b2，解得a=2b．‎ 由题意可知 ，即ab=2．‎ 解方程组 得a=2，b=1．‎ 所以椭圆的方程为 ．‎ ‎（2）由（Ⅰ）可知点A的坐标是（﹣2，0）．‎ 设点B的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k．‎ 则直线l的方程为y=k（x+2）．‎ 于是A、B两点的坐标满足方程组 ‎ 消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0．‎ 由 ，得 ．从而 ．‎ 所以 ．‎ 设线段AB的中点为M，‎ 则M的坐标为 ．‎ 以下分两种情况：‎ ‎①当k=0时，点B的坐标是（2，0），‎ 线段AB的垂直平分线为y轴，‎ 于是 ．‎ 由 ，得 ．‎ ‎②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为 ‎．‎ 令x=0，解得 ．‎ 由 ，，‎ ‎=‎ ‎=，‎ 整理得7k2=2．故 ．‎ 所以 ．‎ 综上，或 ．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（a﹣2）x．‎ ‎（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；‎ ‎（2）求函数y=f（x）在[a2，a]上的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣ax2+（a﹣2）x，∴函数的定义域为（0，+∞）． ‎ ‎∴f′（x）=﹣2ax+（a﹣2）=． ‎ ‎∵f（x）在x=1处取得极值，‎ 即f′（1）=﹣（2﹣1）（a+1）=0，‎ ‎∴a=﹣1． ‎ 当a=﹣1时，在（，1）内f′（x）＜0，在（1，+∞）内f′（x）＞0，‎ ‎∴x=1是函数y=f（x）的极小值点．∴a=﹣1． ‎ ‎（2）∵a2＜a，∴0＜a＜1． ‎ f′（x）=﹣2ax+（a﹣2）=． ‎ ‎∵x∈（0，+∞），∴ax+1＞0，‎ ‎∴f（x）在（0，）上单调递增；在（，+∞）上单调递减，‎ ‎①当0＜a≤时，f（x）在[a2，a]单调递增，‎ ‎∴fmax（x）=f（a）=lna﹣a3+a2﹣2a； ‎ ‎②当，即＜a＜时，f（x）在（a2，）单调递增，在（，a）单调递减，‎ ‎∴fmax（x）=f（）=﹣ln2﹣+=﹣1﹣ln2； ‎ ‎③当≤a2，即≤a＜1时，f（x）在[a2，a]单调递减，‎ ‎∴fmax（x）=f（a2）=2lna﹣a5+a3﹣2a2． ‎ 综上所述，当0＜a≤时，函数y=f（x）在[a2，a]上的最大值是lna﹣a3+a2﹣2a；‎ 当＜a＜时，函数y=f（x）在[a2，a]上的最大值是﹣1﹣ln2；‎ 当a≥时，函数y=f（x）在[a2，a]上的最大值是2lna﹣a5+a3﹣2a2．‎ ‎　‎ 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；‎ ‎（2）已知射线l1：θ=α（0＜α＜），将射线l1顺时针旋转得到射线l2；θ=α﹣，且射线l1与曲线C1交于O，P两点，射线l2与曲线C2交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），‎ 利用平方关系消去参数可得：曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2=4，展开可得：x2+y2﹣4x=0，‎ 利用互化公式可得：ρ2﹣4ρcosθ=0，‎ ‎∴C1极坐标方程为ρ=4cosθ．‎ 曲线C2的参数方程为（β为参数），消去参数可得：‎ 曲线C2的普通方程为x2+（y﹣2）2=4，‎ 展开利用互化公式可得C2极坐标方程为ρ=4sinθ．‎ ‎（2）设点P极点坐标（ρ1，4cosα），即ρ1=4cosα．‎ 点Q极坐标为，即．‎ 则==．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 当，即时，|OP|•|OQ|取最大值4．‎ ‎　‎ 选修4-5；不等式选讲 ‎23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，且a，b∈M．‎ ‎（1）证明：|a+b|＜；‎ ‎（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）证明：﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0，‎ 可得|x﹣1|＜|x+2|，即有x2﹣2x+1＜x2+4x+4，‎ 解得x＞﹣，‎ 则x+2＞0，可得﹣2＜|x﹣1|﹣（x+2），‎ 即有x＜|x﹣1|，可得x﹣1＞x或x﹣1＜﹣x，‎ 解得﹣＜x＜，‎ 则|a|＜，|b|＜，‎ ‎|a+b|≤|a|+|b|＜（+）×=；‎ ‎（2）|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．‎ 理由：|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣4ab﹣2a+2b）（1﹣4ab+2a﹣2b）‎ ‎=（1﹣2a）（1+2b）（1+2a）（1﹣2b）‎ ‎=（1﹣4a2）（1﹣4b2），‎ 由|a|＜，|b|＜，可得 ‎4a2＜1，4b2＜1，‎ 则（1﹣4a2）（1﹣4b2）＞0，‎ 可得|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．‎ ‎　‎