北京市高考数学文试题含答案解析

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北京市高考数学文试题含答案解析

‎2018年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)‎ 数学(文史类)‎ 第一部分(选择题 共40分)‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.若集合,,则 ‎(A) (B)(C)(D)‎ ‎2)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于 ‎(A)第一象限 (B)第二象限 ‎(C)第三象限 (D)第四象限 ‎3.执行如图所示的程序框图,输出的值为( ).‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎4.设,,,是非零实数,则“”是“,,,成等比数列”的( ).‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎.‎ ‎5.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要的贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为,则第八个单音的频率为( ).‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎6.某四棱锥的三视图如图所示,在此三棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( ).‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎7. 在平面直角坐标系中,,,,是圆上的四段弧(如图),点在其中的一段上,角是以为始边,为始边.若,则所在的圆弧是 ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎ ‎ ‎8. 设集合,则 对任意实数, 对任意实数,‎ 当且仅当时, 当且仅当时,‎ 二.填空 ‎(9)设向量,。若,则 。‎ ‎(10)已知直线过点且垂直于轴,若被抛物线截得的线段长为,则抛物线的焦点坐标为 。‎ ‎(11)能说明“若,则”为假命题的一组,的值依次为 。‎ ‎(12)若双曲线的离心率为,则 。‎ ‎(13)若,满足,则的最小值是 。‎ ‎14.若的面积为,且为钝角,则 ;的取值范围是 。‎ 三.解答题 ‎15.(本小题13分)‎ 设是等差数列,且,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)求.‎ ‎16.(本小题13分)‎ ‎ 已知函数。‎ ‎(Ⅰ )求的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)若在区间上的最大值为,求的最小值。‎ ‎(17)(本小题12分)‎ 电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:‎ 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 好评率 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 ‎()从电影公司收集的电影中随机选取部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;‎ ‎()随机选取部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;‎ ‎()电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化。假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加,哪类电影的好评率减少,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)‎ ‎()由表格可知电影的总部数 ‎ 获得好评的第四类电影 ‎ 设从收集的电影中选部,是获得好评的第四类电影为事件,则 ‎()未获得好评的第一类电影 ‎ 未获得好评的第二类电影 ‎ 未获得好评的第三类电影 ‎ 未获得好评的第四类电影 ‎ 未获得好评的第五类电影 ‎ 未获得好评的第六类电影 ‎ 未获得好评的电影总数 ‎ 设随机选取部电影,估计这部电影没有获得好评为事件,则 ‎()第五类电影增加,第二类电影减少 ‎18如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面平面,,,,分别为,的中点。‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求证:平面平面; ‎ ‎(3)求证:∥平面.‎ ‎19.(本小题13分)‎ 设函数,‎ ‎(1)若曲线在点处的切线斜率为,求;‎ ‎(2)若在处取得极小值,求的取值范围.‎ ‎20. (本小题14分)‎ 已知椭圆的离心率为,焦距为.‎ 斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点,.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若,求的最大值;‎ ‎(3)设,直线与椭圆的另一个交点为,直线椭圆的 另一个交点为.若,和点共线,求.‎ 一. 选择题 ‎1. 【答案】A ‎2. 【答案】 D ‎,‎ 则,故的共轭复数在第四象限,‎ 故选 ‎3. 【答案】‎ ‎【解析】根据程序框图可知,开始,,‎ 执行,,此时不成立,循环,‎ ‎,,此时成立,结束,‎ 输出.‎ 故选.‎ ‎4. 【答案】‎ ‎【解析】当,,时,成立,但是,,,不成等比数列,‎ 当,,,成等比数列时,此时根据等比数列性质,成立.‎ 故“”是“,,,成等比数列”的必要而不充分条件.‎ 故选.‎ ‎5. 【答案】‎ ‎【解析】根据题意可得,此十三个单音形成一个以为首项,为公比的等比数列,‎ 故第八个单音的频率为.‎ 故选.‎ ‎6. 【答案】‎ ‎【解析】由三视图可知,此四棱锥的直观图如图所示,‎ 在正方体中,,,均为直角三角形,‎ ‎,,,故不是直角三角形.‎ 故选.‎ ‎7. 【答案】C ‎【解析】因为最小,所以在第一二象限,‎ ‎ 小于,所以满足题意。‎ ‎8. 【答案】:D ‎【解析】:若,则。‎ 则当时,; 当时, 选D 二.填空题 ‎9. 【答案】:‎ ‎【解析】:由题知,,。因为,所以 ‎,所以。‎ ‎10. 答案: ‎ 解析: 由已知点在抛物线上,满足抛物线方程,即 , ‎ ‎ 即抛物线方程为,‎ ‎ 焦点坐标为 ‎11. 答案:,(答案不唯一)‎ 解析:由题知,需求,的值,使得,且。所以当,时符合条件,即当,时成立,其余正确答案均可。‎ ‎12. 答案: ‎ 解析:由题知,据双曲线的性质知解得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎13. 答案:3‎ 解析:将不等式转换成线性规划,即 ‎ ‎ ‎ 目标函数 如右图在 处取最小值 ‎ ‎ ‎14. 【答案】:,‎ ‎【解析】:由余弦定理可得,‎ 由三角形面积公式可得,‎ 化简得,,又, ‎ 为钝角,,‎ 由正弦定理可得 ‎,‎ 三.解答题 ‎15. 【解析】 解:(1)设等差数列公差为,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,,‎ 所以的通项公式为.‎ ‎(2)‎ ‎.‎ ‎16. 【解析】 解:(Ⅰ )‎ 所以函数的最小正周期.‎ ‎(Ⅱ)函数能取到最大值时, ‎ ‎,,由正弦函数的图像,,‎ 所以,即的最小值为。‎ ‎17. 【解析】()由表格可知电影的总部数 ‎ 获得好评的第四类电影 ‎ 设从收集的电影中选部,是获得好评的第四类电影为事件,则 ‎()未获得好评的第一类电影 ‎ 未获得好评的第二类电影 ‎ 未获得好评的第三类电影 ‎ 未获得好评的第四类电影 ‎ 未获得好评的第五类电影 ‎ 未获得好评的第六类电影 ‎ 未获得好评的电影总数 ‎ 设随机选取部电影,估计这部电影没有获得好评为事件,则 ‎()第五类电影增加,第二类电影减少 ‎18. 【解析】(1)证明:‎ 在中, ,点为中点;‎ ‎∴ ; ‎ ‎∵平面平面 ;‎ 平面平面 ;‎ 平面;‎ 平面;‎ ‎∵平面;‎ ‎∴.‎ ‎(2)‎ 由(1)知平面;‎ ‎∵平面;‎ ‎∴;‎ ‎;‎ 平面;‎ ‎;‎ ‎∴平面;‎ ‎∵平面;‎ ‎∴;‎ ‎∵;‎ 平面 ;‎ ‎;‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面;‎ ‎∴平面平面.‎ ‎(3)证明:‎ 取中点;连接;‎ 在中,分别为中点;‎ ‎∴∥,且;‎ ‎∵∥,且;‎ ‎∴∥,且;‎ ‎∴四边形为平行四边形;‎ ‎∴∥,平面,平面;‎ ‎∴∥平面.‎ ‎19. 【解析】(1)解:函数定义域为,‎ 若函数在处切线与轴平行,则 ‎,即.‎ ‎(2)由(1)可知,‎ ‎①当时,令,,‎ 极大值 不满足题意;‎ 当时,令,或,‎ ‎②当时,即,‎ 极小值 极大值 不满足题意;‎ ‎③当时,‎ ‎1)当,即时,,函数无极值点;‎ ‎2)当,即时,‎ 极大值 极小值 满足题意;‎ ‎3)当,即时,‎ 极大值 极小值 不满足题意.‎ 综上所述,若在处取得极小值,.‎ ‎20. 【解析】(1)由已知可得,又,所以,.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)令,,直线的方程为.‎ 联立,整理得.‎ 所以 所以.‎ 所以,‎ 因为,所以易知当时,.‎ ‎(3)因为点在椭圆外,所以直线一定存在斜率.‎ 令,,设直线的方程为,‎ 则;.‎ 直线,带入椭圆中去,‎ 得,‎ 整理得,‎ 又因为,‎ 所以.‎ 所以可知,解得,‎ 所以.‎ 同理可得,.‎ 所以 ‎.‎
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