2020届二轮复习不等式与线性规划教案(全国通用)
2020届二轮复习 不等式与线性规划 教案(全国通用)
1.熟记比较实数大小的依据与基本方法.
①作差(商)法;②利用函数的单调性.
2.特别注意熟记活用以下不等式的基本性质
(1)乘法法则:a>b,c>0⇒ac>bc;
a>b,c<0⇒ac
b,c>d⇒a+c>b+d;
(3)同向可乘性:a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;
(4)乘方法则:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2);
3.熟练应用基本不等式证明不等式与求函数的最值.
4.牢记常见类型不等式的解法.
(1)一元二次不等式,利用三个二次之间的关系求解.
(2)简单分式、高次不等式,关键是熟练进行等价转化.
(3)简单指、对不等式利用指、对函数的单调性求解.
5.简单线性规划
(1)应用特殊点检验法判断二元一次不等式表示的平面区域.
(2)简单的线性规划问题
解线性规划问题,关键在于根据条件写出线性约束关系式及目标函数,必要时可先做出表格,然后结合线性约束关系式作出可行域,在可行域中求出最优解.
考点一 不等式性质及解不等式
例1、(1)不等式组的解集为( )
A.{x|-2<x<-1} B.{x|-1<x<0}
C.{x|0<x<1} D.{x|x>1}
解析:基本法:由x(x+2)>0得x>0或x<-2;由|x|<1得-1<x<1,所以不等式组的解集为{x|0<x<1},故选C.
答案:C
(2)设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是( )
A. B.∪(1,+∞)
C. D.∪
速解法:令x=0,f(x)=f(0)=-1<0.
f(2x-1)=f(-1)=ln 2-=ln 2-ln >0.
不适合f(x)>f(2x-1),排除C.
令x=2,f(x)=f(2)=ln 3-,
f(2x-1)=f(3),由于f(x)=ln(1+|x|)-在(0,+∞)上为增函数
∴f(2)<f(3),不适合.排除B、D,故选A.
答案:A
高频考点二 基本不等式及应用
例2、【2017山东,理7】若,且,则下列不等式成立的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
【解析】因为,且,所以
,所以选B.
【变式探究】(1)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:基本法:因为直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以+=1.所以a+b=(a+b)·=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时取“=”,故选C.
速解法:如图a,b分别是直线+=1在x,y轴上的截距,A(a,0),B(0,b),当a→1时,b→+∞,当b→1时,a→+∞,只有点(1,1)为AB的中点时,a+b最小,此时a=2,b=2,∴a+b=4.
答案:C
(2)定义运算“⊗”:x⊗y=(x,y∈R,xy≠0).当x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为________.
解析:基本法:x⊗y+(2y)⊗x=+===+,
∵x>0,y>0,∴+≥2=,
当且仅当=,即x=y时等号成立,故所求最小值为.
答案:
高频考点三 求线性规划中线性目标函数的最值
例3、(2018年天津卷)设变量x,y满足约束条件 则目标函数的最大值为
A. 6 B. 19 C. 21 D. 45
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值,联立直线方程:,可得点A的坐标为:,据此可知目标函数的最大值为:.,本题选择C选项.
【变式探究】【2017课标II,理5】设,满足约束条件,则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】x、y满足约束条件的可行域如图:
z=2x+y经过可行域的A时,目标函数取得最小值,
由解得A(−6,−3),
则z=2x+y的最小值是:−15.
故选:A.
【变式探究】(1)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为________.
解析:基本法:作出可行域,如图:
由z=x+y得y=-x+z,当直线y=-x+z过点
A时,z取得最大值,zmax=1+=.
速解法:由得点(-2,-1),则z=-3
由得点(0,1),则z=1
由得点则z=.
答案:
(2)设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7,则a=( )
A.-5 B.3
C.-5或3 D.5或-3
解析:基本法:二元一次不等式组表示的平面区域如图所示,其中A.平移直线x+ay=0,可知在点A处,z取得最小值,
因此+a×=7,化简得a2+2a-15=0,
解得a=3或a=-5,但a=-5时,z取得最大值,故舍去,答案为a=3,故选B.
速解法:由z=x+ay得y=-x+
当a<0时,由可行域知,当y=-x+过A点时最小,z有最大值,不合题意.
当a>0时,y=-x+过A点时,最小,z也最小,故只能选B.
答案:B
4.数列与不等式
数列
1. (2018年北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为,所以,又,则,故选D。
2. (2018年浙江卷)已知成等比数列,且.若,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令则,令得,所以当时,,当时,,因此,
若公比,则,不合题意;
若公比,则
但,
即,不合题意;
因此,
,选B.
3. (2018年全国I卷理数)设为等差数列的前项和,若,,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设该等差数列的公差为,根据题中的条件可得,
整理解得,所以,故选B.
4. (2018年北京卷)设是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则的通项公式为__________.
【答案】
【解析】
5. (2018年江苏卷)已知集合,.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前n项和,则使得成立的n的最小值为________.
【答案】27
【解析】设,则
由得
所以只需研究是否有满足条件的解,
此时,,为等差数列项数,且.
由
得满足条件的最小值为.
6. (2018年全国I卷理数)记为数列的前项和,若,则_____________.
【答案】
【解析】根据,可得,两式相减得,即,
当时,,解得,所以数列是以-1为首项,以2为公布的等比数列,
所以,故答案是.
7. (2018年浙江卷)已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列
{bn}满足b1=1,数列{(bn+1−bn)an}的前n项和为2n2+n.
(Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式.
【答案】(Ⅰ)
(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)由是的等差中项得,
所以,
解得.
由得,
因为,所以.
(Ⅱ)设,数列前n项和为.
由解得.
由(Ⅰ)可知,
所以,
故,
.
设,
所以,
因此,
又,所以.
8. (2018年天津卷)设是等比数列,公比大于0,其前n项和为,是等差数列.已知
,,,.
(I)求和的通项公式;
(II)设数列的前n项和为,
(i)求;
(ii)证明.
【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)(i).(ii)证明见解析.
【解析】(I)设等比数列的公比为q.由
可得.因为,可得,故.
设等差数列的公差为d,由,可得
由,可得
从而 故
所以数列的通项公式为,
数列的通项公式为
(II)(i)由(I),有,
故.
(ii)因为,
所以
9. (2018年江苏卷)设是首项为,公差为d的等差数列,是首项为,公比为q的等比数列.
(1)设,若对均成立,求d的取值范围;
(2)若,证明:存在,使得对均成立,并求的取值范围(用表示).
【答案】(1)d的取值范围为.
(2)d的取值范围为,证明见解析。
【解析】(1)由条件知:.
因为对n=1,2,3,4均成立,
即对n=1,2,3,4均成立,
即11,1d3,32d5,73d9,得.
因此,d的取值范围为.
(2)由条件知:.
若存在d,使得(n=2,3,···,m+1)成立,
即,
即当时,d满足.
因为,则,
从而,,对均成立.
因此,取d=0时,对均成立.
下面讨论数列的最大值和数列的最小值().
①当时,,
当时,有,从而.
因此,当时,数列单调递增,
故数列的最大值为.
②设,当x>0时,,
所以单调递减,从而x,即得不等式的解集.
设x<0,则-x>0,于是f(-x)=(-x)2-4(-x)=x2+4x,由于f(x)是R上的奇函数,所以-f(x)=x2+4x,即f(x)=-x2-4x,且f(0)=0,于是f(x)=当x>0时,由x2-4x>x得x>5;当x<0时,由-x2-4x>x得-50).
令y1=y2,∴x2-4x=x,∴x=0或x=5.
作y1=f(x)及y2=x的图象,
则A(5,5),由于y1=f(x)及y2=x都是奇函数,作它们关于(0,0)的对称图象,则B(-5,-5),由图象可看出当f(x)>x时,x∈(5,+∞)及(-5,0).
答案:(-5,0)∪(5,+∞)
7.若x,y满足约束条件则z=3x+y的最大值为________.
解析:基本法:画出可行域,并分析z的几何意义,平移直线y=-3x求解.
画出可行域如图所示.
∵z=3x+y,
∴y=-3x+z.
∴直线y=-3x+z在y轴上截距最大时,即直线过点B时,z取得最大值.
由
解得B(1,1),
∴zmax=3×1+1=4.
速解法:利用边界端点代入比较,由图知
A(-1,0),C(0,2).
由得B(1,1)代入z=3x+y得最大值为3×1+1=4.
答案:4