2020届二轮复习不等式与线性规划教案(全国通用)

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2020届二轮复习不等式与线性规划教案(全国通用)

‎2020届二轮复习 不等式与线性规划 教案(全国通用)‎ ‎1.熟记比较实数大小的依据与基本方法.‎ ‎①作差(商)法;②利用函数的单调性.‎ ‎2.特别注意熟记活用以下不等式的基本性质 ‎(1)乘法法则:a>b,c>0⇒ac>bc;‎ a>b,c<0⇒acb,c>d⇒a+c>b+d;‎ ‎(3)同向可乘性:a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;‎ ‎(4)乘方法则:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2);‎ ‎3.熟练应用基本不等式证明不等式与求函数的最值.‎ ‎4.牢记常见类型不等式的解法.‎ ‎(1)一元二次不等式,利用三个二次之间的关系求解.‎ ‎(2)简单分式、高次不等式,关键是熟练进行等价转化.‎ ‎(3)简单指、对不等式利用指、对函数的单调性求解.‎ ‎5.简单线性规划 ‎(1)应用特殊点检验法判断二元一次不等式表示的平面区域.‎ ‎(2)简单的线性规划问题 解线性规划问题,关键在于根据条件写出线性约束关系式及目标函数,必要时可先做出表格,然后结合线性约束关系式作出可行域,在可行域中求出最优解.‎ 考点一 不等式性质及解不等式 例1、(1)不等式组的解集为(  )‎ A.{x|-2<x<-1}       B.{x|-1<x<0}‎ C.{x|0<x<1} D.{x|x>1}‎ 解析:基本法:由x(x+2)>0得x>0或x<-2;由|x|<1得-1<x<1,所以不等式组的解集为{x|0<x<1},故选C.‎ 答案:C ‎ (2)设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是(  )‎ A.      B.∪(1,+∞)‎ C. D.∪ 速解法:令x=0,f(x)=f(0)=-1<0.‎ f(2x-1)=f(-1)=ln 2-=ln 2-ln >0.‎ 不适合f(x)>f(2x-1),排除C.‎ 令x=2,f(x)=f(2)=ln 3-,‎ f(2x-1)=f(3),由于f(x)=ln(1+|x|)-在(0,+∞)上为增函数 ‎∴f(2)<f(3),不适合.排除B、D,故选A.‎ 答案:A 高频考点二 基本不等式及应用 例2、【2017山东,理7】若,且,则下列不等式成立的是 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为,且,所以 ‎ ‎ ,所以选B.‎ ‎ 【变式探究】(1)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于(  )‎ A.2 B.3‎ C.4 D.5‎ 解析:基本法:因为直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以+=1.所以a+b=(a+b)·=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时取“=”,故选C.‎ 速解法:如图a,b分别是直线+=1在x,y轴上的截距,A(a,0),B(0,b),当a→1时,b→+∞,当b→1时,a→+∞,只有点(1,1)为AB的中点时,a+b最小,此时a=2,b=2,∴a+b=4.‎ 答案:C ‎ (2)定义运算“⊗”:x⊗y=(x,y∈R,xy≠0).当x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为________.‎ 解析:基本法:x⊗y+(2y)⊗x=+===+,‎ ‎∵x>0,y>0,∴+≥2=,‎ 当且仅当=,即x=y时等号成立,故所求最小值为.‎ 答案: 高频考点三 求线性规划中线性目标函数的最值 例3、(2018年天津卷)设变量x,y满足约束条件 则目标函数的最大值为 A. 6 B. 19 C. 21 D. 45‎ ‎【答案】C ‎【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值,联立直线方程:,可得点A的坐标为:,据此可知目标函数的最大值为:.,本题选择C选项.‎ ‎【变式探究】【2017课标II,理5】设,满足约束条件,则的最小值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】x、y满足约束条件的可行域如图:‎ z=2x+y经过可行域的A时,目标函数取得最小值,‎ 由解得A(−6,−3),‎ 则z=2x+y的最小值是:−15.‎ 故选:A.‎ ‎ 【变式探究】(1)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为________.‎ 解析:基本法:作出可行域,如图:‎ 由z=x+y得y=-x+z,当直线y=-x+z过点 A时,z取得最大值,zmax=1+=.‎ 速解法:由得点(-2,-1),则z=-3‎ 由得点(0,1),则z=1‎ 由得点则z=.‎ 答案: ‎ (2)设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7,则a=(  )‎ A.-5 B.3‎ C.-5或3 D.5或-3‎ 解析:基本法:二元一次不等式组表示的平面区域如图所示,其中A.平移直线x+ay=0,可知在点A处,z取得最小值,‎ 因此+a×=7,化简得a2+‎2a-15=0,‎ 解得a=3或a=-5,但a=-5时,z取得最大值,故舍去,答案为a=3,故选B.‎ 速解法:由z=x+ay得y=-x+ 当a<0时,由可行域知,当y=-x+过A点时最小,z有最大值,不合题意.‎ 当a>0时,y=-x+过A点时,最小,z也最小,故只能选B.‎ 答案:B ‎4.数列与不等式 数列 ‎1. (2018年北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为,所以,又,则,故选D。‎ ‎2. (2018年浙江卷)已知成等比数列,且.若,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】令则,令得,所以当时,,当时,,因此, ‎ 若公比,则,不合题意;‎ 若公比,则 但,‎ 即,不合题意;‎ 因此,‎ ‎,选B.‎ ‎3. (2018年全国I卷理数)设为等差数列的前项和,若,,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设该等差数列的公差为,根据题中的条件可得,‎ 整理解得,所以,故选B.‎ ‎4. (2018年北京卷)设是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则的通项公式为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎5. (2018年江苏卷)已知集合,.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前n项和,则使得成立的n的最小值为________.‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】设,则 由得 所以只需研究是否有满足条件的解,‎ 此时,,为等差数列项数,且.‎ 由 得满足条件的最小值为.‎ ‎6. (2018年全国I卷理数)记为数列的前项和,若,则_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据,可得,两式相减得,即,‎ 当时,,解得,所以数列是以-1为首项,以2为公布的等比数列,‎ 所以,故答案是.‎ ‎7. (2018年浙江卷)已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列 ‎{bn}满足b1=1,数列{(bn+1−bn)an}的前n项和为2n2+n.‎ ‎(Ⅰ)求q的值;‎ ‎(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式. ‎ ‎【答案】(Ⅰ)‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ)由是的等差中项得,‎ 所以,‎ 解得.‎ 由得,‎ 因为,所以.‎ ‎(Ⅱ)设,数列前n项和为.‎ 由解得.‎ 由(Ⅰ)可知,‎ 所以,‎ 故,‎ ‎ .‎ 设,‎ 所以,‎ 因此,‎ 又,所以.‎ ‎8. (2018年天津卷)设是等比数列,公比大于0,其前n项和为,是等差数列.已知 ‎,,,.‎ ‎(I)求和的通项公式;‎ ‎(II)设数列的前n项和为,‎ ‎(i)求;‎ ‎(ii)证明.‎ ‎【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)(i).(ii)证明见解析.‎ ‎【解析】(I)设等比数列的公比为q.由 可得.因为,可得,故.‎ 设等差数列的公差为d,由,可得 由,可得 ‎ 从而 故 ‎ 所以数列的通项公式为,‎ 数列的通项公式为 ‎(II)(i)由(I),有,‎ 故.‎ ‎(ii)因为,‎ 所以 ‎9. (2018年江苏卷)设是首项为,公差为d的等差数列,是首项为,公比为q的等比数列.‎ ‎(1)设,若对均成立,求d的取值范围;‎ ‎(2)若,证明:存在,使得对均成立,并求的取值范围(用表示).‎ ‎【答案】(1)d的取值范围为.‎ ‎(2)d的取值范围为,证明见解析。‎ ‎【解析】(1)由条件知:.‎ 因为对n=1,2,3,4均成立,‎ 即对n=1,2,3,4均成立,‎ 即11,1d3,32d5,73d9,得.‎ 因此,d的取值范围为.‎ ‎(2)由条件知:.‎ 若存在d,使得(n=2,3,···,m+1)成立,‎ 即,‎ 即当时,d满足.‎ 因为,则,‎ 从而,,对均成立.‎ 因此,取d=0时,对均成立.‎ 下面讨论数列的最大值和数列的最小值().‎ ‎①当时,,‎ 当时,有,从而.‎ 因此,当时,数列单调递增,‎ 故数列的最大值为.‎ ‎②设,当x>0时,,‎ 所以单调递减,从而x,即得不等式的解集.‎ 设x<0,则-x>0,于是f(-x)=(-x)2-4(-x)=x2+4x,由于f(x)是R上的奇函数,所以-f(x)=x2+4x,即f(x)=-x2-4x,且f(0)=0,于是f(x)=当x>0时,由x2-4x>x得x>5;当x<0时,由-x2-4x>x得-50).‎ 令y1=y2,∴x2-4x=x,∴x=0或x=5.‎ 作y1=f(x)及y2=x的图象,‎ 则A(5,5),由于y1=f(x)及y2=x都是奇函数,作它们关于(0,0)的对称图象,则B(-5,-5),由图象可看出当f(x)>x时,x∈(5,+∞)及(-5,0).‎ 答案:(-5,0)∪(5,+∞)‎ ‎7.若x,y满足约束条件则z=3x+y的最大值为________.‎ 解析:基本法:画出可行域,并分析z的几何意义,平移直线y=-3x求解.‎ 画出可行域如图所示.‎ ‎∵z=3x+y,‎ ‎∴y=-3x+z.‎ ‎∴直线y=-3x+z在y轴上截距最大时,即直线过点B时,z取得最大值.‎ 由 解得B(1,1),‎ ‎∴zmax=3×1+1=4.‎ 速解法:利用边界端点代入比较,由图知 A(-1,0),C(0,2).‎ 由得B(1,1)代入z=3x+y得最大值为3×1+1=4.‎ 答案:4‎
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