2020届二轮复习定积分学案(全国通用)

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

2020届二轮复习定积分学案(全国通用)

微专题25 定积分 一、基础知识 ‎1、相关术语:对于定积分 ‎(1)称为积分上下限,其中 ‎(2):称为被积函数 ‎(3):称为微分符号,当被积函数含参数时,微分符号可以体现函数的自变量是哪个,例如:中的被积函数为,而的被积函数为 ‎2、定积分的几何意义:表示函数与轴,围成的面积(轴上方部分为正,轴下方部分为负)和,所以只有当图像在完全位于轴上方时,才表示面积。可表示数与轴,围成的面积的总和,但是在求定积分时,需要拆掉绝对值分段求解 ‎3、定积分的求法:高中阶段求定积分的方法通常有2种:‎ ‎(1)微积分基本定理:如果是区间上的连续函数,并且,那么 使用微积分基本定理,关键是能够找到以为导函数的原函数。所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎① 寻找原函数通常可以“先猜再调”,先根据导函数的形式猜出原函数的类型,再调整系数,例如:,则判断属于幂函数类型,原函数应含,但,而 ‎,所以原函数为(为常数)‎ ‎② 如果只是求原函数,则要在表达式后面加上常数,例如,则,但在使用微积分基本定理时,会发现计算时会消去,所以求定积分时,不需加上常数。‎ ‎(2)利用定积分的几何含义:若被积函数找不到原函数,但定积分所对应的曲边梯形面积易于求解,则可通过求曲边梯形的面积求定积分。但要注意曲边梯形若位于轴的下方,则面积与所求定积分互为相反数。‎ ‎4、定积分的运算性质:假设存在 ‎(1)‎ 作用:求定积分时可将的系数放在定积分外面,不参与定积分的求解,从而简化的复杂程度 ‎(2)‎ 作用:可将被积函数拆成一个个初等函数的和,从而便于寻找原函数并求出定积分,例如 ‎(3),其中 作用:当被积函数含绝对值,或者是分段函数时,可利用此公式将所求定积分按区间进行拆分,分别求解。‎ ‎5、若具备奇偶性,且积分限关于原点对称,则可利用奇偶性简化定积分的计算 ‎(1)若为奇函数,则 ‎(2)若为偶函数,则 ‎6、利用定积分求曲面梯形面积的步骤:‎ ‎(1)通过作图确定所求面积的区域 ‎(2)确定围成区域中上,下曲线对应的函数 ‎(3)若时,始终有,则该处面积为 ‎7、有的曲面梯形面积需用多个定积分的和进行表示。需分段通常有两种情况 ‎(1)构成曲面梯形的函数发生变化 ‎(2)构成曲面梯形的函数上下位置发生变化,若要面积与定积分的值一致,则被积函数要写成“上方曲线的函数下方曲线函数”的形式。所以即使构成曲面梯形的函数不变,但上下位置发生过变化,则也需将两部分分开来写。‎ 二、典型例题:‎ 例1:已知函数,则( )‎ A. B. C. D. ‎ 思路:在的解析式不同,所以求定积分时要“依不同而分段”:,而,对于无法找到原函数,从而考虑其几何意义:,为单位圆面积的,即,所以 答案:B 小炼有话说:(1)若被积函数在不同区间解析式不同时,则要考虑将定积分按不同区间进行拆分 ‎(2)若被积函数具备“”特征,在无法直接找到原函数时,可考虑其图像的几何意义,运用面积求得定积分,但是要注意判定与定积分符号是否与面积相同 例2:( )‎ A. B. C. D. ‎ 思路:被积函数无法直接找到原函数,但是可以进行化简。,所以:‎ 答案:C 例3:设,则________‎ 思路:本题可以通过对的符号进行分类讨论,将写成分段函数,再将定积分拆分为两段分别求解,但若观察到为偶函数,则可利用对称性得:‎ 答案: ‎ 例4:已知,则( )‎ A. B. C. D. ‎ 思路:先按部就班求解定积分,再解出关于的方程即可:‎ 解:‎ 解得 ‎ 答案:D 例5:由曲线(为参数)和围成的封闭图形的面积等于___________‎ 思路:所给曲线为参数方程,考虑化为普通方程为,作出两个曲线图像,可得两个交点的横坐标为,结合图象可得:‎ ‎ ‎ 答案: ‎ 例6:设(其中为自然对数的底数),则的图像与以及轴所围成的图形的面积为___________‎ 思路:作出图像可得恒在轴的上方,则面积可用定积分表示,但由于两个区间的函数不同,所以要拆成两个定积分: ‎ 答案: ‎ 例7:曲线与直线所围成的封闭图形的面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ 思路:作出图像观察可得:所围成的区域上方曲线为,下方为,自变量的取值范围为,其中,,所以所求面积为 ‎ 答案:D 例8:如图所示,正弦曲线,余弦曲线与两直线所围成的阴影部分的面积为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 思路:观察到两部分阴影区域,函数的上下位置不同,所以考虑面积用两段定积分表示,在中,与的交点横坐标为,所以时,余弦函数位于上方,,在处,正弦函数位于上方,‎ 所以 ‎ 答案:D 小炼有话说:(1)在求曲线围成的面积时,可遵循被积函数始终“上下”的原则,如果函数发生变化或上下位置改变时,则可以将面积分割为若干段,分别求定积分即可 ‎(2)本题还可以采用“填补法”,观察到左边较小阴影部分与右侧部分中心对称,所以面积相同,从而可将较小阴影部分填补至右侧。新的阴影部分始终位于上方 ‎,可求得阴影部分位于,所以 ‎ 例9:已知,若函数满足,则称为区间上的一组“等积分”函数,给出四组函数:‎ ‎① ② ‎ ‎③ ‎ ‎④ 函数分别是定义在上的奇函数且积分值存在 其中为区间上的“等积分”函数的组数是( )‎ A. B. C. D. ‎ 思路:按照“等积分”的定义,只需计算出两个函数在处的积分,再判断是否相等即可。‎ 解:① ‎ ‎ ‎ ‎ 所以①为“等积分”‎ ‎② 为奇函数,为偶函数 ‎ ‎ ‎③ 由几何含义可得:‎ 所以③为一组“等积分”函数 ‎④ 因为为奇函数,所以 ‎④为一组“等积分”函数 综上所述,①③④为“等积分”函数 答案:C 例10:已知函数,直线(为常数,且),直线与函数的图像围成的封闭图形如图中阴影所示,当变化时阴影部分的面积的最小值为___________‎ 思路:可解得与直线的交点为,从而用可表示出阴影部分面积:,化简后可得:,再通过导数分析单调性即可求出的最小值 解:与的交点为:,解得: ‎ 所以阴影面积 ‎ ‎ ‎ ‎ 设,则 ‎ 在单调递减,在单调递增 ‎ ‎ 答案: ‎ 小炼有话说:(1)本题是定积分与导数综合的一道题目,在处理时要理解定积分和导数所起到的作用:定积分用于处理面积,而需要求最值时,非常规函数可用导数解出单调性,从而求最小值。了解每个工具的作用才可在需要时选择正确的方法 ‎(2)对于含参数的定积分,首先要确定被积函数的自变量(可观察“”后面的字母),然后将参数视为一个常量参与运算(包括求原函数和代入上下限)即可,所得的结果通常是含参数的表达式。‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档