2020年江苏省常州市中考数学试卷【含答案】

2020年江苏省常州市中考数学试卷【含答案】

1 / 11 2020 年江苏省常州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分．在每小题所给出的四个选项 中，只有一项是正确的） 1. 2的相反数是（ ） A.−2 B.− 1 2 C.1 2 D.2 2. 计算푚6 ÷ 푚2的结果是（ ） A.푚3 B.푚4 C.푚8 D.푚12 3. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A.圆柱 B.三棱柱 C.四棱柱 D.四棱锥 4. 8的立方根为（ ） A.2√2 B.±2√2 C.2 D.±2 5. 如果푥 < 푦，那么下列不等式正确的是（ ） A.2푥 < 2푦 B.−2푥 < −2푦 C.푥 − 1 > 푦 − 1 D.푥 + 1 > 푦 + 1 6. 如图，直线푎、푏被直线푐所截，푎 // 푏，∠1＝140∘，则∠2的度数是（ ） A.30∘ B.40∘ C.50∘ D.60∘ 7. 如图，퐴퐵是⊙ 푂的弦，点퐶是优弧퐴퐵上的动点（퐶不与퐴、퐵重合），퐶퐻 ⊥ 퐴퐵， 垂足为퐻，点푀是퐵퐶的中点．若⊙ 푂的半径是3，则푀퐻长的最大值是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 8. 如图，点퐷是▱푂퐴퐵퐶内一点，퐶퐷与푥轴平行，퐵퐷与푦轴平行，퐵퐷 = √2，∠퐴퐷퐵 ＝135∘，푆△퐴퐵퐷＝2．若反比例函数푦 = 푘 푥 (푥 > 0)的图象经过퐴、퐷两点，则푘的值是（ ） A.2√2 B.4 C.3√2 D.6 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．不需写出解答过程，请把笞 案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算：| − 2| + (휋 − 1)0＝________． 10. 若代数式 1 푥−1 有意义，则实数푥的取值范围是________． 11. 地球的半径大约为6400푘푚．数据6400用科学记数法表示为________． 12. 分解因式：푥3 − 푥＝________． 13. 若一次函数푦＝푘푥 + 2的函数值푦随自变量푥增大而增大，则实数푘的取值范围是 ________． 14. 若关于푥的方程푥2 + 푎푥 − 2＝0有一个根是1，则푎＝________． 15. 如图，在△ 퐴퐵퐶中，퐵퐶的垂直平分线分别交퐵퐶、퐴퐵于点퐸、퐹．若△ 퐴퐹퐶是等 2 / 11 边三角形，则∠퐵＝________∘． 16. 数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中 最好的东西，互相以长补短．在菱形퐴퐵퐶퐷中，퐴퐵＝2，∠퐷퐴퐵＝120∘．如图，建立平 面直角坐标系푥푂푦，使得边퐴퐵在푥轴正半轴上，点퐷在푦轴正半轴上，则点퐶的坐标是 ________． 17. 如图，点퐶在线段퐴퐵上，且퐴퐶＝2퐵퐶，分别以퐴퐶、퐵퐶为边在线段퐴퐵的同侧作 正方形퐴퐶퐷퐸、퐵퐶퐹퐺，连接퐸퐶、퐸퐺，则tan∠퐶퐸퐺＝________． 18. 如图，在△ 퐴퐵퐶中，∠퐵＝45∘，퐴퐵＝6√2，퐷、퐸分别是퐴퐵、퐴퐶的中点，连接 퐷퐸，在直线퐷퐸和直线퐵퐶上分别取点퐹、퐺，连接퐵퐹、퐷퐺．若퐵퐹＝3퐷퐺，且直线퐵퐹 与直线퐷퐺互相垂直，则퐵퐺的长为________． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说 明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 先化简，再求值：(푥 + 1)2 − 푥(푥 + 1)，其中푥＝2． 20. 解方程和不等式组： （1） 푥 푥−1 + 2 1−푥 = 2； （2）{2푥 − 6 < 0 −3푥 ≤ 6 ． 3 / 11 21. 为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、 踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据 调查结果绘制成如图统计图． （1）本次抽样调查的样本容量是________； （2）补全条形统计图； （3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数． 22. 在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明 的盒子中． （1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是________； （2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签， 求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率． 23. 已知：如图，点퐴、퐵、퐶、퐷在一条直线上，퐸퐴 // 퐹퐵，퐸퐴＝퐹퐵，퐴퐵＝퐶퐷． （1）求证：∠퐸＝∠퐹； （2）若∠퐴＝40∘，∠퐷＝80∘，求∠퐸的度数． 4 / 11 24. 某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1 千克梨共需22元． （1）求每千克苹果和每千克梨的售价； （2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？ 25. 如图，正比例函数푦＝푘푥的图象与反比例函数푦 = 8 푥 (푥 > 0)的图象交于点 퐴(푎,  4)．点퐵为푥轴正半轴上一点，过퐵作푥轴的垂线交反比例函数的图象于点퐶，交正 比例函数的图象于点퐷． （1）求푎的值及正比例函数푦＝푘푥的表达式； （2）若퐵퐷＝10，求△ 퐴퐶퐷的面积． 26. 如图1，点퐵在线段퐶퐸上，푅푡 △ 퐴퐵퐶 ≅ 푅푡 △ 퐶퐸퐹，∠퐴퐵퐶＝∠퐶퐸퐹＝90∘，∠퐵퐴퐶 ＝30∘，퐵퐶＝1． （1）点퐹到直线퐶퐴的距离是________； （2）固定△ 퐴퐵퐶，将△ 퐶퐸퐹绕点퐶按顺时针方向旋转30∘，使得퐶퐹与퐶퐴重合，并停止 5 / 11 旋转． ①请你在图1中用直尺和圆规画出线段퐸퐹经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示， 保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为________； ②如图2，在旋转过程中，线段퐶퐹与퐴퐵交于点푂，当푂퐸＝푂퐵时，求푂퐹的长． 27. 如图1，⊙ 퐼与直线푎相离，过圆心퐼作直线푎的垂线，垂足为퐻，且交⊙ 퐼于푃、푄 两点（푄在푃、퐻之间）．我们把点푃称为⊙ 퐼关于直线푎的“远点“，把푃푄 ⋅ 푃퐻的值称 为⊙ 퐼关于直线푎的“特征数”． （1）如图2，在平面直角坐标系푥푂푦中，点퐸的坐标为(0,  4)．半径为1的⊙ 푂与两坐 标轴交于点퐴、퐵、퐶、퐷． ①过点퐸画垂直于푦轴的直线푚，则⊙ 푂关于直线푚的“远点”是点________（填 “퐴”．“퐵”、“퐶”或“퐷”）， ⊙ 푂关于直线푚的“特征数”为________； ②若直线푛的函数表达式为푦 = √3푥 + 4．求⊙ 푂关于直线푛的“特征数”； （2）在平面直角坐标系푥푂푦中，直线푙经过点푀(1,  4)，点퐹是坐标平面内一点，以퐹为 圆心，√2为半径作⊙ 퐹．若⊙ 퐹与直线1相离，点푁(−1,  0)是⊙ 퐹关于直线1的“远 点”．且⊙ 퐹关于直线푙的“特征数”是4√5，求直线푙的函数表达式． 6 / 11 28. 如图，二次函数푦＝푥2 + 푏푥 + 3的图象与푦轴交于点퐴，过点퐴作푥轴的平行线交抛 物线于另一点퐵，抛物线过点퐶(1,  0)，且顶点为퐷，连接퐴퐶、퐵퐶、퐵퐷、퐶퐷． （1）填空：푏＝________； （2）点푃是抛物线上一点，点푃的横坐标大于1，直线푃퐶交直线퐵퐷于点푄．若∠퐶푄퐷＝ ∠퐴퐶퐵，求点푃的坐标； （3）点퐸在直线퐴퐶上，点퐸关于直线퐵퐷对称的点为퐹，点퐹关于直线퐵퐶对称的点为퐺， 连接퐴퐺．当点퐹在푥轴上时，直接写出퐴퐺的长． 7 / 11 参考答案与试题解析 2020 年江苏省常州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分．在每小题所给出的四个选项 中，只有一项是正确的） 1.A 2.B 3.C 4.C 5.A 6.B 7.A 8.D 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．不需写出解答过程，请把笞 案直接填写在答题卡相应位置上） 9.3 10.푥 ≠ 1 11.6.4 × 103 12.푥(푥 + 1)(푥 − 1) 13.푘 > 0 14.1 15.30 16.(2, √3) 17.1 2 18.4或2 三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说 明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19.(푥 + 1)2 − 푥(푥 + 1) ＝푥2 + 2푥 + 1 − 푥2 − 푥 ＝푥 + 1， 当푥＝2时，原式＝2 + 1＝3． 20.方程两边都乘以푥 − 1得：푥 − 2＝2(푥 − 1)， 解得：푥＝0， 检验：把푥＝0代入푥 − 1得：푥 − 1 ≠ 0， 所以푥＝0是原方程的解， 即原方程的解是：푥＝0； {2푥 − 6 < 0 −3푥 ≤ 6 ， ∵ 解不等式①得：푥 < 3， 解不等式②得：푥 ≥ −2， ∴ 不等式组的解集是：−2 ≤ 푥 < 3． 21.100 打乒乓球的人数有：100 × 35%＝35（人）， 踢足球的人数有：100 − 25 − 35 − 15＝25（人），补全统计图如下： 根据题意得： 8 / 11 2000 × 15 100 = 300（人）， 答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有300人． 22.1 3 用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有6种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4种， ∴ 푃（和为奇数） = 4 6 = 2 3 ． 23.∵ 퐸퐴 // 퐹퐵， ∴ ∠퐴＝∠퐹퐵퐷， ∵ 퐴퐵＝퐶퐷， ∴ 퐴퐵 + 퐵퐶＝퐶퐷 + 퐵퐶， 即퐴퐶＝퐵퐷， 在△ 퐸퐴퐶与△ 퐹퐵퐷中， { 퐸퐴 = 퐹퐵 ∠퐴 = ∠퐹퐵퐷 퐴퐶 = 퐵퐷 ， ∴ △ 퐸퐴퐶 ≅△ 퐹퐵퐷(푆퐴푆)， ∴ ∠퐸＝∠퐹； ∵ △ 퐸퐴퐶 ≅△ 퐹퐵퐷， ∴ ∠퐸퐶퐴＝∠퐷＝80∘， ∵ ∠퐴＝40∘， ∴ ∠퐸＝180∘ − 40∘ − 80∘＝60∘， 答：∠퐸的度数为60∘． 24.每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元 最多购买5千克苹果 25.把点퐴(푎,  4)代入反比例函数푦 = 8 푥 (푥 > 0)得， 푎 = 8 4 = 2， ∴ 点퐴(2,  4)，代入푦＝푘푥得，푘＝2， ∴ 正比例函数的关系式为푦＝2푥； 当퐵퐷＝10＝푦时，代入푦＝2푥得，푥＝5， ∴ 푂퐵＝5， 当푥＝5代入푦 = 8 푥 得，푦 = 8 5 ，即퐵퐶 = 8 5 ， ∴ 퐶퐷＝퐵퐷 − 퐵퐶＝10 − 8 5 = 42 5 ， ∴ 푆△퐴퐶퐷 = 1 2 × 42 5 × (5 − 2)＝12.6， 26.1 휋 12 27.퐷,10 如图2 − 1中，设直线푙的解析式为푦＝푘푥 + 푏． 当푘 > 0时，过点퐹作퐹퐻 ⊥直线푙于퐻，交⊙ 퐹于퐸，푁． 由题意，퐸푁＝2√2，퐸푁 ⋅ 푁퐻＝4√5， ∴ 푁퐻 = √10， 9 / 11 ∵ 푁(−1,  0)，푀(1,  4)， ∴ 푀푁 = √22 + 42 = 2√5， ∴ 퐻푀 = √푀푁2 − 푁퐻2 = √20 − 10 = √10， ∴ △ 푀푁퐻是等腰直角三角形， ∵ 푀푁的中点퐾(0,  2)， ∴ 퐾푁＝퐻퐾＝퐾푀 = √5， ∴ 퐻(−2,  3)， 把퐻(−2,  3)，푀(1,  4)代入푦＝푘푥 + 푏，则有{ 푘 + 푏 = 4 −2푘 + 푏 = 3 ， 解得{ 푘 = 1 3 푏 = 11 3 ， ∴ 直线푙的解析式为푦 = 1 3 푥 + 11 3 ， 当푘 < 0时，同法可知直线푖经过퐻′(2,  1)，可得直线푙的解析式为푦＝−3푥 + 7． 综上所述，满足条件的直线푙的解析式为푦 = 1 3 푥 + 11 3 或푦＝−3푥 + 7． 28.−4 ∵ 푏＝4， ∴ 抛物线解析式为푦＝푥2 − 4푥 + 3 ∵ 抛物线푦＝푥2 − 4푥 + 3的图象与푦轴交于点퐴，过点퐴作푥轴的平行线交抛物线于 另一点퐵， ∴ 点퐴(0,  3)，3＝푥2 − 4푥， ∴ 푥1＝0（舍去），푥2＝4， ∴ 点퐵(4,  3)， ∵ 푦＝푥2 − 4푥 + 3＝(푥 − 2)2 − 1， ∴ 顶点퐷坐标(2, −1)， 如图1，当点푄在点퐷上方时，过点퐶作퐶퐸 ⊥ 퐴퐵于퐸，设퐵퐷与푥轴交于点퐹， ∵ 点퐴(0,  3)，点퐵(4,  3)，点퐶(1,  0)，퐶퐸 ⊥ 퐴퐵， ∴ 点퐸(1,  3)，퐶퐸＝퐵퐸＝3，퐴퐸＝1， ∴ ∠퐸퐵퐶＝∠퐸퐶퐵＝45∘，tan∠퐴퐶퐸 = 퐴퐸 퐸퐶 = 1 3 ， ∴ ∠퐵퐶퐹＝45∘， ∵ 点퐵(4,  3)，点퐶(1,  0)，点퐷(2, −1)， ∴ 퐵퐶 = √9 + 9 = 3√2，퐶퐷 = √1 + 1 = √2，퐵퐷 = √(4 − 2)2 + (3 + 1)2 = 2√5， ∵ 퐵퐶2 + 퐶퐷2＝20＝퐵퐷2， ∴ ∠퐵퐶퐷＝90∘， ∴ tan∠퐷퐵퐶 = 퐶퐷 퐵퐶 = √2 3√2 = 1 3 = tan∠퐴퐶퐸， ∴ ∠퐴퐶퐸＝∠퐷퐵퐶， ∴ ∠퐴퐶퐸 + ∠퐸퐶퐵＝∠퐷퐵퐶 + ∠퐵퐶퐹， ∴ ∠퐴퐶퐵＝∠퐶퐹퐷， 又∵ ∠퐶푄퐷＝∠퐴퐶퐵， ∴ 点퐹与点푄重合， ∴ 点푃是直线퐶퐹与抛物线的交点， ∴ 0＝푥2 − 4푥 + 3， ∴ 푥1＝1，푥2＝3， ∴ 点푃(3,  0)； 当点푄在点퐷下方上，过点퐶作퐶퐻 ⊥ 퐷퐵于퐻，在线段퐵퐻的延长线上截取퐻퐹＝푄퐻，连 10 / 11 接퐶푄交抛物线于点푃， ∵ 퐶퐻 ⊥ 퐷퐵，퐻퐹＝푄퐻， ∴ 퐶퐹＝퐶푄， ∴ ∠퐶퐹퐷＝∠퐶푄퐷， ∴ ∠퐶푄퐷＝∠퐴퐶퐵， ∵ 퐶퐻 ⊥ 퐵퐷， ∵ 点퐵(4,  3)，点퐷(2, −1)， ∴ 直线퐵퐷解析式为：푦＝2푥 − 5， ∴ 点퐹(5 2 ,  0)， ∴ 直线퐶퐻解析式为：푦 = − 1 2 푥 + 1 2 ， ∴ {푦 = − 1 2 푥 + 1 2 푦 = 2푥 − 5 ， 解得{ 푥 = 11 5 푦 = − 3 5 ， ∴ 点퐻坐标为(11 5 , − 3 5)， ∵ 퐹퐻＝푄퐻， ∴ 点푄(19 10 , − 6 5)， ∴ 直线퐶푄解析式为：푦 = − 4 3 푥 + 4 3 ， 联立方程组{ 푦 = − 4 3 푥 + 4 3 푦 = 푥2 − 4푥 + 3 ， 解得：{푥1 = 1 푦1 = 0 或{ 푥2 = 5 3 푦2 = − 8 9 ， ∴ 点푃(5 3 , − 8 9)； 综上所述：点푃的坐标为(3,  0)或(5 3 , − 8 9)； 如图，设直线퐴퐶与퐵퐷的交点为푁，作퐶퐻 ⊥ 퐵퐷于퐻，过点푁作푀푁 ⊥ 푥轴，过点퐸作 퐸푀 ⊥ 푀푁，连接퐶퐺，퐺퐹， ∵ 点퐴(0,  3)，点퐶(1,  0)， ∴ 直线퐴퐶解析式为：푦＝−3푥 + 3， ∴ {푦 = −3푥 + 3 푦 = 2푥 − 5 ， ∴ { 푥 = 8 5 푦 = − 9 5 ， ∴ 点푁坐标为(8 5 , − 9 5)， ∵ 点퐻坐标为(11 5 , − 3 5)， ∴ 퐶퐻2＝(11 5 − 1)2 + (3 5)2 = 9 5 ，퐻푁2＝(11 5 − 8 5)2 + (− 3 5 + 9 5)2 = 9 5 ， 11 / 11 ∴ 퐶퐻＝퐻푁， ∴ ∠퐶푁퐻＝45∘， ∵ 点퐸关于直线퐵퐷对称的点为퐹， ∴ 퐸푁＝푁퐹，∠퐸푁퐵＝∠퐹푁퐵＝45∘， ∴ ∠퐸푁퐹＝90∘， ∴ ∠퐸푁푀 + ∠퐹푁푀＝90∘， 又∵ ∠퐸푁푀 + ∠푀퐸푁＝90∘， ∴ ∠푀퐸푁＝∠퐹푁푀， ∴ △ 퐸푀푁 ≅△ 푁퐾퐹(퐴퐴푆) ∴ 퐸푀＝푁퐾 = 9 5 ，푀푁＝퐾퐹， ∴ 点퐸的横坐标为− 1 5 ， ∴ 点퐸(− 1 5 , 18 5 )， ∴ 푀푁 = 27 5 = 퐾퐹， ∴ 퐶퐹 = 8 5 + 27 5 − 1＝6， ∵ 点퐹关于直线퐵퐶对称的点为퐺， ∴ 퐹퐶＝퐶퐺＝6，∠퐵퐶퐹＝∠퐺퐶퐵＝45∘， ∴ ∠퐺퐶퐹＝90∘， ∴ 点퐺(1,  6)， ∴ 퐴퐺 = √12 + (6 − 3)2 = √10．