高考数学专题复习（精选精讲）练习选修1-2习题精选精讲
目录
第一章：统计案例
1.1 回归分析的基本思想及其初步应用…………………… （）
1.2 独立性检验的基本思想及初步应用…………………… （ ）
本章测试……………………………………………………… （ ）
第二章：推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理………………………………… （ ）
2.1.1 合情推理…………………………………………… （ ）
2.1.2 演绎推理…………………………………………… （ ）
2.2 直接证明与间接证明……………………………… （ ）
2.2.1 综合法……………………………………………… （ ）
2.2.2 分析法……………………………………………… （ ）
2.2.3 反证法……………………………………………… （ ）
本章测试…………………………………………………… （ ）
第三章：数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的的概念………………………… （ ）
3.1.1 数系的扩充和复数的概念………………………… （ ）
3.1.2 复数的几何意义…………………………………… （ ）
3.2 复数代数形式的四则运算…………………………… （ ）
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义………… （ ）
3.2.2 复数代数形式的乘除运算………………………… （ ）
本章测试…………………………………………………… （ ）
第四章：框图
4.1 流程图………………………………………………… （ ）
4.2 结构图………………………………………………… （ ）
本章测试……………………………………………………… （ ）
第一章：统计案例
1.1 回归分析的基本思想及其初步应用
例题:
1. 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的( )
(A)预报变量在轴上，解释变量在轴上
(B)解释变量在轴上，预报变量在轴上
(C)可以选择两个变量中任意一个变量在轴上
(D)可以选择两个变量中任意一个变量在轴上
解析：通常把自变量称为解析变量,因变量称为预报变量.选B
2. 若一组观测值（x1,y1）（x2,y2）…（xn,yn）之间满足yi=bxi+a+ei (i=1、2. …n)若ei恒为0，则R2为
解析: ei恒为0，说明随机误差对yi贡献为0.
答案:1.
3. 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
22
38
55
65
70
若由资料可知y对x呈线性相关关系试求：
（1）线性回归方程；
（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
解：（1）列表如下：
i
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
22
38
55
65
70
44
114
220
325
420
4
9
16
25
36
， ， ，
于是，
∴线性回归方程为： （2）当x=10时，（万元）
即估计使用10年时维修费用是1238万元
课后练习:
1. 一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7.19x+73.93
用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ）
A.身高一定是145.83cm;
B.身高在145.83cm以上;
C.身高在145.83cm以下;
D.身高在145.83cm左右.
2. 两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数如下 ，其中拟合效果最好的模型是( )
A.模型1的相关指数为0.98
B.模型2的相关指数为0.80
C.模型3的相关指数为0.50
D.模型4的相关指数为0.25
3.在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是( )
A.总偏差平方和 B.残差平方和
C.回归平方和 D.相关指数R2
4.工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为，下列判断正确的是（）
A.劳动生产率为1000元时，工资为50元
B.劳动生产率提高1000元时，工资提高150元
C.劳动生产率提高1000元时，工资提高90元
D.劳动生产率为1000元时，工资为90元
5.线性回归模型y=bx+a+e中，b=_______,a=_________e称为_________
6. 若有一组数据的总偏差平方和为100，相关指数为0.5，则期残差平方和为_______ 回归平方和为____________
7. 一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产有缺点的零件数y（件）
11
9
8
5
（1）变量y对x进行相关性检验； （2）如果y对x有线性相关关系，求回归直线方程； （3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？
1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
例题:
1.三维柱形图中柱的高度表示的是（ )
A ．各分类变量的频数B ．分类变量的百分比C ．分类变量的样本数D ．分类变量的具体值
解析: 三维柱形图中柱的高度表示图中各个频数的相对大小.选A
2. 统计推断，当______时，有95 ％的把握说事件A 与B 有关；当______时，认为没有充分的证据显示事件A 与B 是有关的.
解析:当时,就有95 ％的把握说事件A 与B 有关,当时认为没有充分的证据显示事件A 与B 是有关的.
3.为了探究患慢性气管炎与吸烟有无关系,调查了却339名50岁以上的人,结果如下表所示,据此数据请问:50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关系吗?
患慢性气管炎
未患慢性气管炎
合计
吸烟
43
162
205
不吸烟
13
121
134
合计
56
283
339
分析:有表中所给的数据来计算的观测值k,再确定其中的具体关系.
解:设患慢性气管炎与吸烟无关.
a=43,b=162,c=13,d=121,a+b=205,c+d=134,
a+c=56,b+d=283,n=339
所以的观测值为.因此,故有99%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关.
课后练习:
1. 在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形的高度的乘积相差越大两个变量有关系的可能性就（ ）
A.越大 B.越小 C.无法判断 D.以上都不对
2.下列关于三维柱形图和二维条形图的叙述正确的是: ( )
A .从三维柱形图可以精确地看出两个分类变量是否有关系
B .从二维条形图中可以看出两个变量频数的相对大小，从三维柱形图中无法看出相对频数的大小
C .从三维柱形图和二维条形图可以粗略地看出两个分类变量是否有关系
D .以上说法都不对
3．对分类变量X 与Y 的随机变量的观测值K ,说法正确的是（)
A . k 越大，" X 与Y 有关系”可信程度越小;
B . k 越小，" X 与Y 有关系”可信程度越小;
C . k 越接近于0，" X 与Y 无关”程度越小
D . k 越大，" X 与Y 无关”程度越大
4. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）
A.若K2的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;
B.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病;
C.若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误;
D.以上三种说法都不正确.
5.若由一个2*2列联表中的数据计算得k2=4.013,那么有 把握认为两个变量有关系
6.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：
性别 专业
非统计专业
统计专业
男
13
10
女
7
20
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到
因为，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为 ____;
7.在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人。女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动。
（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；
（2）判断性别与休闲方式是否有关系。
本章测试
一.选择题
1. 炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间有( )
A.确定性关系 B.相关关系
C.函数关系 D.无任何关系
2.下列说法正确的有( )
①回归方程适用于一切样本和总体。 ②回归方程一般都有时间性。③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围。④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值。
A. ①② B. ②③
C. ③④ D. ①③
3.下列结论正确的是( )
①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系
③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法
④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
A. ①② B. ①②③
C. ①②④ D. ①②③④
4. 设有一个回归方程为y=2-2.5x,则变量x增加一个单位时（ ）
A.y平均增加2.5个单位 B.y平均增加2个单位
C.y平均减少2.5个单位 D.y平均减少2个单位
5.已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是( )
A.=1.23x＋4 B. =1.23x+5
C. =1.23x+0.08 D. =0.08x+1.23
6. 已知x与y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程为y=bx+a必过（ ）
A.（2，2）点 B.（1.5，0）点
C.（1，2）点 D.（1.5，4）点
7. 在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形的高度的乘积相差越大两个变量有关系的可能性就（ ）
A. 越大 B.越小
C.无法判断 D. 以上都不对
8.身高与体重有关系可以用（ ）分析来分析
A.殘差 B.回归
C.二维条形图 D.独立检验
9. 设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵截距是a，那么必有（ ）
A. b与r的符号相同 B. a与r的符号相同
C. b与r的相反 D. a与r的符号相反
10. 为研究变量和的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程和，两人计算知相同，也相同，下列正确的是( )
A. 与重合 B. 与一定平行
C. 与相交于点
D. 无法判断和是否相交
11. 考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表数据：
种子处理
种子未处理
合计
得病
32
101
133
不得病
61
213
274
合计
93
314
407
根据以上数据，则( )
A.种子经过处理跟是否生病有关 B. 种子经过处理跟是否生病无关
C.种子是否经过处理决定是否生病 D. 以上都是错误的
12.变量与具有线性相关关系，当取值16,14,12,8时，通过观测得到的值分别为11,9，8,5，若在实际问题中，的预报最大取值是10，则的最大取值不能超过( )
A.16 B.17 C.15 D.12
二.填空题
13 .有下列关系：（1）人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；（2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系；（3）苹果的产量与气候之间的关系；（4）森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；（5）学生与他（她）的学号之间的关系，其中有相关关系的是
14. 归直线方程为y=0.5x-0.81，则x=25时，y的估计值为
15. 在两个变量的回归分析中，作散点图的目的是______________________________
16. 许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中之一，在研究这两个因素的关系时收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比()和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比()的数据，建立的回归直线方程如下，斜率的估计等于0.8说明 ，成年人受过9年或更少教育的百分比()和收入低于官方的贫困线的人数占本州人数的百分比()之间的相关系数 (填充“大于0”或“小于0”)
三.解答题
17. 在回归分析中，通过模型由解释变量计算预报变量时，应注意什么问题？
18.若,
求
19.某企业为考察生产同一种产品的甲、乙两条生产线的产品合格率，同时各抽取100件产品，检验后得到如下联表：
生产线与产品合格率列联表
合格
不合格
总计
甲线
97
3
100
乙线
95
5
100
总计
192
8
200
请问甲、乙两线生产的产品合格率在多大程度上有关系？
20.为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收集数据如下：
天数x/天
1
2
3
4
5
6
繁殖个数y/个
6
12
25
49
95
190
(1) 用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图
(2) 描述解释变量与预报变量之间的关系
(3) 计算残差、相关指数R2.
第一章：统计案例答案
1.1 回归分析的基本思想及其初步应用
1. D 2.A 3.B 4.C
5.
a=，e称为随机误差
6. 50，50
7. （1）r=0.995,所以y与x有线性性相关关系
（2）y=0.7286x-0.8571
（3）x小于等于14.9013
1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
1.A 2.C 3.B 4.C
5. 95% 6. 5%
7.解：（1）2×2的列联表
性别 休闲方式
看电视
运动
总计
女
43
27
70
男
21
33
54
总计
64
60
124
（2）假设“休闲方式与性别无关”
计算
因为，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，
即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”
本章测试答案
1~5 BBCCC 6~10 DABAC 11~12 BC
13.（1）（3）（4） 14. 11.69
15. (1)判断两变量是否线性相关
(2)判断两变量更近似于什么函数关系
16. 一个地区受过9年或更少教育的百分比每增加1%，收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加0.8%左右
大于0
17. 答：应注意：(1)回归模型只适用于所研究的总体。(2)回归方程具有时效性。(3)样本的取值范围影响回归方程的适用范围。(4)预报值是预报变量可能取值的平均值。
18.解析:
19. 甲乙生产的产品合格率有关的可能是50%
20.
(1)略
(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y=的周围，于是令Z=lny,则
x
1
2
3
4
5
6
Z
1.79
2.48
3.22
3.89
4.55
5.25
由计数器算得 则有
(3)
6.06
12.09
24.09
48.04
95.77
190.9
y
6
12
25
49
95
190
==3.1643 ==25553.3 R2=1-=0.9999
即解释变量天数对预报变量繁殖细菌得个数解释了99.99%.
第二章 推理与证明
2．1 合情推理与演绎推理
2．1．1 合情推理
典型例题
例1 观察下列数的特点
1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100项是( )
（A） 10 （B） 13 （C） 14 （D） 100
解析 由规律可得:数字相同的数依次个数为
1,2,3,4,… n 由≤100 n ∈ 得,n=14,所以应选（C）
例2 对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: 。
解析 由类比推理 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补
例3、观察以下各等式：
，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。
解析 猜想：。 证明
练习
一、选择题
1、 观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是 ( )
(A) 42,41,123; (B) 13,39,123; (C)24,23,123; (D)28,27,123.
2、在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则可得” （ ）
(A)AB2+AC2+ AD2=BC2+ CD2 + BD2 (B)
(C) (D)AB2×AC2×AD2=BC2 ×CD2 ×BD2
3、已知 ，猜想的表达式为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
4、依次有下列等式：，按此规律下去，第8个等式为 。
5、（2000年上海卷）在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立.
三、解答题
6 （2004年上海春招高考题）在DEF中有余弦定理：
. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.
7、已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得
是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
2．1．2演绎推理
典行例题
例1 （1） 由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是 （ ）
(A) 正方形的对角线相等 (B) 平行四边形的对角线相等
(C) 正方形是平行四边形 (D)其它
（2）下列表述正确的是（ ）。
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。
（A）①②③； （B）②③④； （C）②④⑤； （D）①③⑤。
（3） 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”
结论显然是错误的，是因为（ ）。
（A）大前提错误 （B）小前提错误 （C）推理形式错误 （D）非以上错误
（4） 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）。
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
答案 （1）选（A） （2）选（D） （3）选（A） （4）选（A）
例2 （1）在演绎推理中，只要 是正确的，结论必定是正确的。
（2）用演绎法证明y=x2是增函数时的大前提是 。
答案 （1）大前提和推理过程 （2）增函数的定义
例3 如图，S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC。求证：AB⊥BC。
证明：如图，作AE⊥SB于E.
∵平面SAB⊥平面SBC，∴AE⊥平面SBC，
∴AE⊥BC.
又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，
∵SAAE=A，SA平面SAB，AE平面SAB，
∴BC⊥平面SAB，
∴AB⊥BC.
练习
一、选择题
1、小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论。
小王说：“我肯定考上重点大学。”
小刘说：“重点大学我是考不上了。”
小张说：“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题。”
发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反。可见：（ ）
（A）小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学
（B）小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学
（C）小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学
（D）小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上
2、已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m ∥β，给出下列四个命题：
（1）若α∥β，则l⊥m； （2）若l⊥m，则α∥β；
（3）若α⊥β，则l∥m； （4）若l∥m，则α⊥β；
其中正确命题的个数是 （ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
3、给出下列三个命题：①若；②若正整数满足，则；③设上任意一点，圆以为圆心且半径为1。当时，圆相切。
其中假命题的个数是（ ）
（A） 0 （B ） 1 （C）2 （D）3
二、填空题
4、设函数，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得的值为 .
5、函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .
.三、解答题
6、已知：空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，判断直线EF与平面ABD的关系，并证明你的结论.
7、设二次函数f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R,a≠0)满足条件：
①当x∈R时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；②当x∈(0,2)时，f(x)≤
③f(x)在R上的最小值为0。
求最大值m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x.
2．2直接证明与间接证明2．2．1综合法
典型例题
例1 下列四个命题：①若0
1+a>;③若x、yR，
满足y=x,则log的最小值是；④若a、bR，则。其中正确的是（ ）。
(A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④
解析 用综合法可得应选（B）
例2 函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .
解析∵函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，
∴ 0＜x+2＜2即-2＜x＜0
∴函数y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函数，
又∵函数y=f(x+2)是偶函数，
∴函数y=f(x+2) 在（0，2）上是减函数
由图象可得
f(2.5)>f(1)>f(3.5)
故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)
例3 已知a，b，c是全不相等的正实数，求证
解析∵ a，b，c全不相等
∴ 与，与，与全不相等。
∴
三式相加得
∴
即
练习
一、选择题
1．如果数列是等差数列，则（ ）。
（A） （B） （C） （D）
2．在△ABC中若b=2asinB 则A等于( )
(A) (B) (C) (D)
3．下面的四个不等式：①；②；③ ；④.其中不成立的有
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
二、填空题
4． 已知 ，向量的 夹角为，则=
图
5. 如图，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足
条件 （或任何能推导出这个条件的其他条件，例如ABCD是
正方形、菱形等）时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种条
件即可，不必考虑所有可能的情形）
三、解答题
6．证明：已知：，求证：
7．已知求的最大值。
2．2．2分析法
典型例题
例1 设m≠n，x=m4-m3n，y=n3m-n4，则x与y的大小关系为（ ）。
（A）x>y； （B）x=y； （C）x4时，f(n)=
13、若数列{}，(n∈N)是等差数列,则有数列b=(n∈N)也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列{c}是等比数列,且c＞0(n∈N),则有d=____________ (n∈N)也是等比数列。
14、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫
做等和数列，这个常数叫做该数列的公和. 已知数列是等和数列，且，公和为5，那么值
为______________，这个数列的前n项和的计算公式为________________。
三、解答题
.15．设都是正数，求证。
16．（12分）已知：，求证：
（1）；
（2）中至少有一个不小于。
17（14分）如图是所在平面外一点，平面，是的中点，是上的点，。求证：。
18（14分）已知：
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：
_____________________________________________________= （ * ）
并给出（ * ）式的证明。
19．（14分）已知函数，当时，值域为，当时，值域为，…，当时，值域为，…．其中a、b为常数，a1=0，b1=1．
（1）若a=1，求数列{an}与数列{bn}的通项公式；
（2）若，要使数列{bn}是公比不为1的等比数列，求b的值；
20．（14分）对于函数，若存在成立，则称
不动点。如果函数 有且只有两个不动点0，2，且
（1）求函数的解析式；
（2）已知各项不为零的数列，求数列通项；
（3）如果数列满足，求证：当时，恒有成立。
第二章 推理与证明
参 考 答 案
2．1 合情推理与演绎推理
2．1．1 合情推理
一、选择题
（1）（A）
观察各项我们可以发现：x为前一项的3倍即14×3，y为前一项减1，z为前一项的3倍，故应选42，41，123，选（A）。
（2）分析 关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体 多边形； 面 边
体 积 面 积 ； 二面角 平面角
面 积 线段长； … …
由此，可类比猜测本题的答案：
，故选（C）。
（3）由归纳猜想可得选（B）。
二、填空题
（4）由归纳猜想可得8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22=
（5）猜测本题的答案为：
事实上，对等差数列，如果，则
. 所以有：
）（）.从而对等比数列，如果，则有等式：成立
三、解答题
6．分析 根据类比猜想得出.
其中为侧面为与所成的二面角的平面角.
证明： 作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，在中有余弦定理：
，
同乘以，得
即
7．解：（1）
（2）
，
当时，.
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. …… 12分
研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.
研究的结论可以是：由，
依次类推可得
当时，的取值范围为等.
2． 1. 2 演绎推理
一、选择题
（1）由推理知识，可知应选（C）
（2）由直线和平面以及平面和平面平行和垂直的判定定理、性质定理，可知应选（B）
（3）由不等式的基本性质以及圆方程的性质，可知应选（B）
二、填空题
（4）分析 此题利用类比课本中推导等差数列前项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计算： ，
，
，
发现正好是一个定值， ，.
（5）∵函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，
∴ 0＜x+2＜2即-2＜x＜0
∴函数y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函数，
又∵函数y=f(x+2)是偶函数，
∴函数y=f(x+2) 在（0，2）上是减函数
由图象可得
f(2.5)>f(1)>f(3.5)
故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)
三、解答题
6．直线BD和平面ABD的位置关系是平行
证明：如图，连接BD，
∵在△ABC中，
BE=CE DF=CF
∴EF∥BD
又BD平面ABD
∴BD∥平面ABD
7．解：∵f(x-4)=f(2-x)，∴函数的图象关于x= -1对称
∴ 即b=2a
由③知当x= 1时,y=0，即ab+c=0；由①得 f(1)≥1，由②得 f(1)≤1.
∴f(1)=1，即a+b+c=1，又ab+c=0
∴a= b= c= ，∴f(x)=
假设存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x
取x=1时，有f(t+1)≤1(t+1)2+(t+1)+≤1-4≤t≤0
对固定的t∈[-4,0]，取x=m，有
f(t++m)≤m(t+m)2+(t+m)+≤m+2(t-1)m+(t2+2t+1)≤0
≤m≤ ∴m≤≤=9
当t= -4时，对任意的x∈[1,9]，恒有f(x-4)≤x(-10x+9)=(x-1)(x-9)≤0
∴m的最大值为9.
解法二：∵f(x-4)=f(2-x)，∴函数的图象关于x=-1对称
∴ b=2a
由③知当x=1时,y=0，即a b+c=0；由①得 f(1)≥1，由②得 f(1)≤1
∴f(1)=1，即a+b+c=1，a b+c=0
∴a= b= c=∴f(x)==(x+1)2
由f(x+t)=(x+t+1)2≤x 在x∈[1,m]上恒成立
∴4[f(x+t)-x]=x2+2(t-1)x+(t+1)2≤0当x∈[1,m]时，恒成立
令 x=1有t2+4t≤0-4≤t≤0
令x=m有t2+2(m+1)t+(m-1)2≤0当t∈[-4,0]时，恒有解
令t= -4得，- 10m+9≤01≤m≤9
即当t= -4时，任取x∈[1,9]恒有f(x-4)-x=(-10x+9)=(x-1)(x-9)≤0
∴ mmax=9
2．2直接证明
2．2．1 综合法
一、选择题
（1）由等差数列的性质：若m+n=p+q 则可知应填（B）。
（2）由正弦定理得sinB=2sinAsinBsinA=A=故应选（D）。
（3）由不等式的性质可知应选（A）。
二、填空题
（4）由向量性质以及向量的数量积公式，故应填13 （5）AC⊥BD
三、解答题
6．证明：（用综合法） ∵，
7．解：∵ ∴ 则
即
2．2．2 分析法
一、选择题
（1）B
（2）B
（3）D
二、填空题
（4）254（5）P＜R＜Q
三、解答题
6．解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得
因为x1>0，
所以a>b. 猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.
7证明：1）
==
2)
① 又 ②
由①②知= 所以
2．2．3 反证法
一、选择题
（1）C（2）D（3）B
二、填空题
（4）假设都小于，即
（5）
三、解答题
6证明：假设、、为同一等差数列的三项，则存在整数m,n满足
① ②
①n-②m得：n-m=(n-m) 两边平方得： 3n2+5m2-2mn=2(n-m)2
左边为无理数，右边为有理数，且有理数无理数
所以，假设不正确。即 、、不能为同一等差数列的三项。
7证明：（反证法）假设存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称，设A（x1，y1）、B（x2，y2）则
由 ④
由②、③有a（x1+x2）=k（x1+x2）+2 ⑤
由④知x1+x2= 代入⑤整理得：ak=－3与①矛盾。
故不存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称。
推理与证明测试题参考答案
一、选择题
（1）B（2）C（3）C（4）A（5）C（6）A（7）B（8）D（9）C（10）D
二、填空题
11．0
12. 5 ，
13.
14. 3 , ( 当n为偶数时，；当n为奇数时， )
三、解答题
15证明：
16（1）证明：∵
∴
（2）假设都小于，则
，
即有
∴
由（1）可知，与矛盾，
∴假设不成立，即原命题成立
17证明：取PB的中点，连结，∵是的中点，∴，∵平面，∴平面，∴MQ⊥AB，取的中点，连结QD，则QD∥PA，∵∴QD=QB，又，∴，∴，∴AB⊥平面QMN，∴
18 一般形式:
证明 左边 =
=
=
=
=
∴原式得证
（将一般形式写成
等均正确。）
19解：⑴∵a＝1>0，∴f(x)＝ax＋b在R上为增函数，
∴an＝a·an－1＋b＝an－1＋b，bn＝bn－1＋b(n≥2)，
∴数列{an}，{bn}都是公差为b的等差数列。
又a1=0，b1=1,∴an=(n－1)b,bn ＝1＋(n－1)b(n≥2)
⑵∵a>0，bn＝abn－1＋b，∴，
由{bn}是等比数列知为常数。又∵{bn}是公比不为1的等比数列，则bn－1不为常数，
∴必有b＝0。
20。解：依题意有,化简为 由违达定理, 得
解得 代入表达式，
由得 不止有两个不动点，
（2）由题设得 （*）
且 （**）
由（*）与（**）两式相减得：
解得（舍去）或，由，若这与矛盾，，即{是以-1为首项，-1为公差的等差数列，；
（3）采用反证法，假设则由（1）知
,有
，而当
这与假设矛盾，故假设不成立，.
关于本例的第(3)题,我们还可给出直接证法,事实上:
由得<0或
结论成立；
若，此时从而即数列{}在时单调递减，由，可知上成立.
比较上述两种证法,你能找出其中的异同吗? 数学解题后需要进行必要的反思, 学会反思才能长进.
第三章：数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念
典型例题:
1．设z＝为实数时，实数a的值是（ A ）
A.3 B.－5
C.3或－5 D.－3或5
2．设关于的方程,若方程有实数根，则锐角和实数根______________________________________.
解：，
3．设复数，试求m取何值时
（1）Z是实数； （2）Z是纯虚数； （3）Z对应的点位于复平面的第一象限
解：。。 Z对应的点位于复平面的第一象限。
练习:
一．选择题：
1．复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个为那么第四
个顶点对应的复数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)是虚数，则实数m满足 （ ）
（A）m≠－1 （B）m≠6 (C) m≠－1或m≠6 (D) m≠－1且m≠6
3．下列命题中，假命题是( )
（A）两个复数不可以比较大小 （ B）两个实数可以比较大小
（ C ）两个虚数不可以比较大小 （ D ）一虚数和一实数不可以比较大小
二．填空题：
4．复数不是纯虚数，则有__________________.
5．已知复数z与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z =
三．解答题：
6．已知复数，满足，且为纯虚数，求证： 为实数。
7．已知关于的方程组有实数，求的值。
3.1.2复数的几何意义
典型例题：
1. 若复数z满足，则z在复平面内对应的点Z的轨迹是（ C ）
A. 圆 B. 线段
C. 焦点在虚轴上的椭圆 D. 焦点在实轴上的椭圆
2. 满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是________________(圆)
3. 设满足条件的复数所对应的点的集合表示什么图形?
练习:
一．选择题：
1. 设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 设O是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是（ ）
3. 复数不是纯虚数，则有（ ）
二．填空题：
4. 设，，复数和在复平面内对应点分别为A、B，O为原点，则的面积为 。
5. 已知复数z与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z =
三．解答题：
6. 设R，若z对应的点在直线上。求m的值。
7. 已知两个向量对应的复数是z1=3和z2=-5+5i，求向量与的夹角。
3.1复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
典型例题:
1．若复数z满足，则的最小值为（ D ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2．已知正方形ABCD的三个顶点坐标分别是A（1，2），B（－2，1），C（－1，－2），则D点的坐标_____________________.
解：,
而表示的复数为, 即表示的复数为
又, 表示的复数为
，
3．
解：，
，
练习:
一．选择题：
1. 设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 设复数= （ ）
A． B． C． D．
3. 两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，（a1，b1，a2，b2都是实数且z1≠0，z2≠0），对应的向量在同一直线上的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题：
4. 向量对应的复数是5-4i，向量对应的复数是-5+4i，则对应的复数是______________。
5. 如果复数满足,则的最大值是
三．解答题：
6. 已知为复数，若关于的方程有解，求实数的取值范围.
7. 已知关于x的方程有实根，求的最小值。
3.2.2复数代数形式的乘除运算
典型例题:
1. “”是“”的（ A ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要
2. 计算：_________
解:原式
3.
解法一：
，
，
。
解法二：， ，
，
， ，，， ，。
练习:
一．选择题：
1. 计算的结果为（ ）
A. B. C. 1 D.
2. 若，则z对应的点的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 两点 C. 线段 D. 直线
3. 复数，且，则是（ ）
A. 实数 B. 纯虚数 C. 非纯虚数 D. 复数
二．填空题：
4. _________________.
5. 在复数集内分解因式：____________
三．解答题：
6.
7.
第三章：数系的扩充与复数的引入测试题
一、选择题:
1. 设为复数，则“”是“”的 （ ）
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件
2. 已知，则的值为 （ ）
(A)-1 (B)4 (C)0 (D)2
3. 已知，，则的关系是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
4. 复平面内两点对应的复数分别为，则向量对应的复数是（ ）
5. 复平面内两点对应的复数分别为，则向量对应的复数是（ ）
6. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 计算的结果为（ ）
A. B. C. 1 D.
8. 若，则z对应的点的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 两点 C. 线段 D. 直线
9. 在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于 ( )
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限
10. 设复数z满足 （ ）
（A）0 （B）1 （C） （D）2
二、填空题:
11. 设、为实数，且，则+=_________.
12. 已知复数复数满足则复数=______.
13. 若 , ，且为纯虚数，则实数a的值为 ．
14. 已知虚数()的模为,则的最大值是 ，
的最小值为 .
三、解答题:
15.
16.
17.
18. 若复数z满足，求证：
19. 若复数z满足，求的最大、最小值。
20. 设是关于的方程的两个根，求的值.
参考答案
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
1.C 2.Ｄ 3.A 4.a≠0且a≠2 5. 6.
7. a=1, b=2
3.1.2复数的几何意义
1. D 2.B 3.C 4. 5. 6. m=2 7. α=
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
1.D 2.C 3.D 4.0 5.
6. 当； 当，；当，可得.
7. 解：设是方程的实根，则
当且仅当，即时，|z|取最小值
3.2.2复数代数形式的乘除运算
1.D 2.A 3.B 4. i 5.
6. ；
7．，，
第三章：数系的扩充与复数的引入测试题答案
１．A ２．B ３．D ４．D ５．D 6．C 7. D 8. A 9.B 10. C 11.4 12. 13. 14． 15. 证明：充分性：
, ,。
必要性：
，。
16. 解：
，
17.
方法一：，
（这是关于x，y的二元函数，消元略显繁琐，因此代数解法不简明，换角度看问题。）
方法二：，
方法三：（可利用复数运算几何意义化归为几何问题）
，
而|z|则表示该圆上的点到原点O的距离，
由平面几何知识可知，使圆上的点到原点距离取最大（最小）值的点在直线OC与圆的交点处。
注：对比以上三种方法，几何法，即方法三更为直观便捷，应是解此类最值问题的首选方法。
18. 证明：设
， ，
19. 解法一：数形结合法
设，则，
化简，得，。
表示点到原点O（0，0）的距离，而点（x，y）在圆C上。
由平面几何知识，可知|z|的最大值为，最小值为。
解法二：利用复数的模的性质
，即，去绝对值，得
解这个关于的不等式，得，当时，上式取等号
由，把代入得，解得或
当时，取最大值； 当时，取最小值。
20. ，
（1）当，即时，方程有两个实根：，，
(a)当时，==2；
(b)当时，=；
（2）当，即时，方程有两个共轭虚根：，
=.
综上所述：=.
第四章：框图
4.1 流程图
例题:
1．表示旅客搭乘火车的流程正确的是( )
A.买票候车上车检票
B.候车买票上车检票
C.买票候车检票上车
D.修车买票检票上车
解析:根据生活经验,选C.
2. 流程图是由________构成的图示.流程图常用来表示一些________过程，通常会有一个_________一个或多个______通常按照______,_______的顺序来画流程图.
解析: 图形符号和文字说明 动态 起点 终点 从左到右 从上到下
3. 一些实际问题通常可以建立数学模型来解决，具体方法是：从实际情境中提出问题，根据问题建立数学模型，得出数学结果，经检验，若不合乎实际，则要修改，合乎实际，则该数学结果即为可用结果，请用流程图表示数学建模的过程．
解析:
课后练习:
1 ．下列说法正确的是( )
A .流程图只有1 个起点和1 个终点
B .程序框图只有1 个起点和1 个终点
C .工序图只有1 个起点和1 个终点
D .以上都不对
2.下列关于逻辑结构与流程图的说法正确的是
A .一个流程图一定会有顺序结构
B .一个流程图一定含有条件结构
C .一个流程图一定含有循环结构
D.以上说法都不对
3.给出以下一个算法的程序框图,该程序框图的功能是( )
A .求出a 、b 、c三数中的最大数
B .求出a、b 、c三数中的最小数
C .将a 、b 、c 按从小到大排列
D .将a 、b 、c按从大到小排列
4. 某同学一天上午的活动经历有：上课、早锻炼、用早餐、起床、洗漱、午餐、上学．用流程图表示他这天上午活动的经历的过程．
5.设计一个算法求,并画出流程图.
6. 若一个数列的递推公式为.画出打印这个数列的前10 项的程序框图.
7.某招生单位制定了如下的考生考试程序：
1.进考点：到达考点开考前30 分钟到开考后15 分钟之间允许进考点，否则不得进考点出示考试证件检查有证件者进考点，否则不得进考点进考点．
2.进考点：到达考场验指纹，查证件，符合者进考场，否则不得进场再考15 分钟前允许进场，否则不得进场．
3.考试：考试作弊者收缴试卷，给出相应处罚并离场交卷离场．
设计流程图表述上述考生考试程序．
4.2 结构图
例题:
1.下列关于结构图的说法不正确的是（ ）
A .结构图中各要素之间通常表现为概念上的从属
关系和逻辑上的先后关系
B .结构图都是“树形”结构
C.简洁的结构图能更好地反映主体要素之间关系和系统的整体特点
D.复杂的结构图能更详细地反映系统中各细节要素及其关系
解析:组织结构图一般都呈“树形”结构,但在结构图中也经常会出现其他形结构,如“环”形结构.
2. 在工商管理学中，MRP ( Material Requirement Planning ）指的是物资需求计划，基本MRP 的体系结构如图所示．
从图中可以看出，基本MRP 直接受______,______和________的影响．
解析:从图中的箭头可以看出影响基本MRP的因素主要有主生产计划,产品结构,库存状态.
3. 用结构图描述本章“框图”的知识结构.
解析:
点评:这是一个用“树形”结构描述的本章知识结构图，箭头表示各要素之间的从属关系，与课本P93 本章知识结构图比较，此结构图更详细复杂，事实上，简洁的结构图可以进一步地细化，复杂的结构图也可以简化.
课后练习:
1.下列关于流程图和结构图的说法中不正确的是( ) A .流程图用来描述一个动态过程
B .结构图用来刻画系统结构
C.流程图只能用带箭头的流程线表示各单元的先后关系
D.结构图只能用带箭头的连线表示各要素之间的从属关系或逻辑上的先后关系
2. 下列结构图中，体现要素之间是逻辑先后关系的是( )
3. 下列结构图中要素之间表示从属关系的是( )
4. 要描述一工厂的组成情况，应用（ ）
A .程序框图 B .工序流程图
C .知识结构图 D .组织结构图
5. 流程图和结构图都是按照________,________的顺序绘制，流程图只有_______起点,________终点．
6. 一般情况下，“下位”要素比“上位”要素更为_________，上位要素比下位要素更为________，下位要素越多，结构图越_________.
7. 有下列要素：哺乳动物、狗、飞行动物、麻雀、蛇、地龟、狼、动物、鹰、爬行动物，设计一个结构图表示这些要素及其关系.
本章测试
一.选择题
1.以下说法正确的是（ ）
A.工序流程图中不可能出现闭合回路
B.程序流程图中不可能出现闭合回路
C.在一个程序流程图中三种程序结构可以都不出现D.在一个程序流程图中三种程序结构必须都出现
2. 下述流程图，如图所示，输出d 的含义是( )
A.点到直线的距离
B.点到直线距离的平方
C.点到直线距离的倒数
D.两条平行线间的距离
3. 要解决下面的四个问题，只用顺序结构画不出其流程图的是( )
A.利用公式,计算的值.
B. 当圆面积已知时，求圆的周长
C. 当给定一个数x ，求其绝对值
D. 求函数的函数值
4. 下列框图中，是流程图的是 ( )
5. 程序框图中的判断框，有一个人口和（ ）个出口，而在流程图中，可以有一个或多个终点．
A . 1 B . 2
C . 3 D . 4
6. 以下给出的是计算的值的一个程序框图,如左下图所示,其中判断框内填入的条件是( )
A . i > 10 B . i＜10
C . i > 20 D . i < 20
7. 在如右上图的程序图中，输出结果是
A .5 B .10 C .20 D .15
8. 下面框图中的错误是 ( )
A . i 未赋值 B.循环结构有错
C . s的计算不对 D.判断条件不成立
二.填空题
9.如图输出的是________.
10. 景泰蓝是深受人民喜爱的手工艺品．现在我们把它的制作流程叙述一下：
第一步制胎，第二步掐丝，第三步点蓝，第四步烧蓝，第五步打磨，第六步镀金．
请你用工序流程图画出以上工序：
三.解答题
11. 用流程图描述解的算法.
12. 请画出你从写信到发信的全过程的流程图．
13. 有下列要素：糖、盐、碱、有机物、物质、醋、无机物、酒精，设计一个结构图表示这些要素及其关系．
14. 已知函数,试用流程图表示.
15.对任意函数,可按如图所示,构造一个数列发生器,其工作原理如下:
①输入数据,经数列发生器输出;
②若,则数列发生器结束工作;若,将反馈加输入端,再输出,并依此规律进行下去.
现定义.
(1).若输入,则由数列发生器产生数列,写出的所有项.
输入
(2).若要数列发生器产生一个无穷的常数列,试求输入的初始数据的值.
否
打印
f
输出
是
结束
第四章：框图答案
4.1 流程图
1.B 2.C 3. B
4.
5.流程图
6. 解析:
7. 解析:
4.2 结构图
1.D 2.C 3.C 4.D
5. 从上到下 从左到右 一个 一个或多个
6. 具体 抽象 复杂
7.
本章测试答案
1.A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.A 7. C 8.A
9. 63
10. 制胎；掐丝；点蓝；烧蓝；打磨；镀金
11. 解析:
12. 解析:
13.解析:
14. 解析:
15.解: (1)因为函数的定义域.所以数列只有3项.
(2).令即
解得
故当时,
所以输入的初始数据时,
得到常数列;
时, 得到常数列.
