高考数学专题复习练习选修4-4 第1讲 坐标系

高考数学专题复习练习选修4-4 第1讲 坐标系

选修4-4 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系 一、填空题 ‎1．在极坐标系中，点P(ρ0，θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是________．‎ 解析 设点P(ρ0，θ0)关于极点的对称点为(ρ，θ)，则ρ＋ρ0＝0，θ＝θ0＋π，∴对称点为(－ρ0，θ0)．‎ 答案 (－ρ0，θ0)‎ ‎2．过点(2，)平行于极轴的直线的极坐标方程是________．‎ 解析 设直线上点坐标P(ρ，θ)，‎ 则ρsin θ＝2cos (90°－45°)＝.‎ 答案 ρsin θ＝ ‎3．在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A到圆心C的距离是________．‎ 解析　将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A的直角坐标为(2，2)，故点A到圆心的距离为＝2.‎ 答案　2 ‎4．在极坐标系中，点M到曲线ρcos＝2上的点的距离的最小值为________．‎ 解析　依题意知，点M的直角坐标是(2,2)，曲线的直角坐标方程是x＋y－4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离，即为＝2.‎ 答案　2‎ ‎5．从极点作圆ρ＝2acos θ的弦，则各条弦中点的轨迹为________．‎ 解析 设所求曲线上动点M的极坐标为(r，φ)，‎ 由图可知.‎ 把θ＝φ和ρ＝2r代入方程ρ＝2acos θ，‎ 得2r＝2acos φ，即r＝acos φ.(，‎ 这就是所求的轨迹方程．‎ 由极坐标方程可知，所求轨迹是一个以(，0)为圆心，半径为的圆．‎ 答案 以(，0)为圆心，以为半径的圆 ‎6．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cos θ，曲线C2：θ＝，若曲线C1与C2交于A、B两点，则线段AB＝________.‎ 解析　曲线C1与C2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由得即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为，因此AB＝.‎ 答案　 ‎ ‎7．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2＋2ρcos θ＝0，点P的极坐标为过点P作圆C的切线，则两条切线夹角的正切值是________．‎ 解析　圆C的极坐标方程：ρ2＋2ρcos θ＝0化为普通方程：(x＋1)2＋y2＝1，点P的直角坐标为(0,2)，圆C的圆心为(－1,0)．如图，当切线的斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋2，则圆心到切线的距离为＝1，∴k＝，即tan α＝.易知满足题意的另一条切线的方程为x＝0.又∵两条切线的夹角为α的余角，∴‎ 两条切线夹角的正切值为.‎ 答案　 ‎8．若直线3x＋4y＋m＝0与曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．‎ 解析　注意到曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐标方程是x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝1.要使直线3x＋4y＋m＝0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，－2)到直线3x＋4y＋m＝0的距离大于圆的半径即可，即＞1，|m－5|＞5，解得，m＜0或m＞10.‎ 答案　(－∞，0)∪(10，＋∞)‎ 二、解答题 ‎9．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．‎ ‎(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；‎ ‎(2)设点Q是曲线C 上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．‎ 解 (1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P的直角坐标(0，4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．‎ ‎(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q坐标为(cos α，sin α)，从而点Q到直线l的距离为d＝＝＝cos＋2，‎ 由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.‎ ‎10．在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；‎ ‎(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．‎ 解　(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，‎ 圆C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.‎ 解得ρ＝2，θ＝±，‎ 故圆C1与圆C2交点的坐标为，.‎ 注：极坐标系下点的表示不唯一．‎ ‎(2)法一　由得圆C1与C2交点的直角坐标分别 为(1，)，(1，－)．‎ 故圆C1与C2的公共弦的参数方程为(－≤t≤)．‎ 法二　将x＝1代入 得ρcos θ＝1，‎ 从而ρ＝.‎ 于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为