版高中数学统计案例可线性化的回归分析北师大版选修

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1.3 　可线性化的回归分析 第三章 　 § 1 回归分析 学习目标 1. 理解回归分析的基本思想 . 2 . 通过可线性化的回归分析，判断几种不同模型的拟合程度 . 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一　常见的可线性化的回归模型 幂函数 曲线 ， 指数 曲线 . 倒指数 曲线 ， 对数 曲线 . y ＝ ax b y ＝ a e bx y ＝ a ＋ b ln x 知识点二　可线性化的回归分析 思考 1 　 有些变量间的关系并不是线性相关关系，怎样确定回归模型？ 答案 答案　 首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系 . 这时可以根据已有的函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型 . 思考 2 　 如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？ 答案 答案　 可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程 . 在大量的实际问题中，所研究的两个变量不一定都呈线性相关关系，它们之间可能呈指数关系或对数关系等非线性关系 . 在某些情况下可以借助线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系 . 梳理 题型探究 例 1 　 在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度 y 与析出银的光学密度 x 由公式 y ＝ A ( b <0) 表示 . 现测得试验数据如下 ： 试求 y 对 x 的回归方程 . 解答 类型一　给定函数模型，求回归方程 x i 0.05 0.06 0.25 0.31 0.07 0.10 y i 0.10 0.14 1.00 1.12 0.23 0.37 x i 0.38 0.43 0.14 0.20 0.47   y i 1.19 1.25 0.59 0.79 1.29   这是 v 对 u 的线性回归方程，对此我们再套用相关性检验，求回归系数 b 和 a . 题目中所给的数据由变换 u ＝ ， v ＝ ln y ，变为如下表所示的数据 . u i 20.000 16.667 4.000 3.226 14.286 10.000 v i － 2.303 － 1.966 0 0.113 － 1.470 － 0.994 u i 2.632 2.326 7.143 5.000 2.128   v i 0.174 0.223 － 0.528 － 0.236 0.255   可求得 b ≈ － 0.146 ， a ≈ 0.548 ， ∴ v ＝ 0.548 － 0.146 u . 本类题中 y 与 x 不具有线性相关关系，应通过变量代换，再回代，即可得到 y 对 x 的回归方程 . 反思与感悟 跟踪训练 1 　 在试验中得到变量 y 与 x 的数据如下表 ： 由经验知， y 与 之间 具有线性相关关系，试求 y 与 x 之间的回归曲线方程，当 x 0 ＝ 0.038 时，预测 y 0 的值 . 解答 x 0.066 7 0.038 8 0.033 3 0.027 3 0.022 5 y 39.4 42.9 41.0 43.1 49.2 当 x 0 ＝ 0.038 时， y 0 ≈ 41.94 ，即 y 0 的值约为 41.94. 解答 类型二　选取函数模型，求回归方程 例 2 　 下表所示是一组试验数据 ： (1) 作出散点图，并猜测 y 与 x 之间的关系 ； 解　 散点图如图所示，从散点图可以看出 y 与 x 不具有线性相关关系 . 根据已有知识发现样本点分布在函数 y ＝ ＋ a 的图像的周围，其中 a ， b 为待定参数，令 x ′ ＝ ， y ′ ＝ y ，由已知数据制成下表： 由于 r 非常接近于 1 ， ∴ x ′ 与 y ′ 具有很强的线性关系，计算知， b ≈ 36.95 ， a ＝ 210.4 － 36.95 × 6 ＝－ 11.3 ， ∴ y ′ ＝－ 11.3 ＋ 36.95 x ′ ， (2) 利用所得的函数模型，预测 x ＝ 10 时 y 的值 . 解答 实际问题中非线性相关的函数模型的选取 (1) 采集数据，画出散点图 . (2) 根据散点图中点的分布状态，选取所有可能的函数类型 . (3) 作变量代换，将函数转化为线性函数 . (4) 作出线性相关的散点图，或计算线性相关系数 r ，通过比较选定函数模型 . (5) 求回归直线方程，并检查 . (6) 作出预报 . 反思与感悟 跟踪训练 2 　 对两个变量 x ， y 取得 4 组数据 (1,1) ， (2,1.2) ， (3 ， 1.3) ， (4,1.37) ，甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下： 甲　 y ＝ 0.1 x ＋ 1 ， 乙　 y ＝－ 0.05 x 2 ＋ 0.35 x ＋ 0.7 ， 丙　 y ＝－ 0.8·0.5 x ＋ 1.4 ，试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际 . 解　 甲模型，当 x ＝ 1 时， y ＝ 1.1 ；当 x ＝ 2 时， y ＝ 1.2 ； 当 x ＝ 3 时， y ＝ 1.3 ；当 x ＝ 4 时， y ＝ 1.4. 乙模型，当 x ＝ 1 时， y ＝ 1 ；当 x ＝ 2 时， y ＝ 1.2 ； 当 x ＝ 3 时， y ＝ 1.3 ；当 x ＝ 4 时， y ＝ 1.3. 丙模型，当 x ＝ 1 时， y ＝ 1 ；当 x ＝ 2 时， y ＝ 1.2 ； 当 x ＝ 3 时， y ＝ 1.3 ；当 x ＝ 4 时， y ＝ 1.35. 观察 4 组数据并对照知，丙的数学模型更接近于客观实际 . 解答 当堂训练 2 3 4 1 1. 指数曲线 y ＝ 3e － 2 x 的图像为图中 的 解析 解析　 ∵ y ＝ 3e － 2 x ， ∴ y >0 ，排除 A 、 C. 又 x ∈ R ，排除 D. √ 答案 2 3 4 1 2. 对于指数曲线 y ＝ a e bx ，令 u ＝ ln y ， c ＝ ln a ，经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式 为 A. u ＝ c ＋ bx B. u ＝ b ＋ cx C. y ＝ b ＋ cx D. y ＝ c ＋ bx 答案 解析 解析　 对方程 y ＝ a e bx 两边同时取对数，然后将 u ＝ ln y ， c ＝ ln a 代入，不难得出 u ＝ c ＋ bx . √ 2 3 4 1 答案 解析 √ 2 3 4 1 4. 某地今年上半年患某种传染病的人数 y ( 人 ) 与月份 x ( 月 ) 之间满足函数关系，模型为 y ＝ a e bx ，确定这个函数解析式为 . 解析 答案 y ＝ e 3.910 3 ＋ 0.090 5 x 月份 x / 月 1 2 3 4 5 6 人数 y / 人 52 61 68 74 78 83 解析　 设 u ＝ ln y ， c ＝ ln a ，得 u ＝ c ＋ bx ， 则 u 与 x 的数据关系如下表： 2 3 4 1 x 1 2 3 4 5 6 u ＝ ln y 3.95 4.11 4.22 4.30 4.36 4.42 ∴ y ＝ e 3.910 3 ＋ 0.090 5 x 2 3 4 1 规律与方法 1. 对于具有非线性相关关系的两个变量，可以通过对变量进行变换，转化为线性回归问题去解决 . 2. 建立回归模型的步骤 (1) 确定研究对象，明确变量关系 . (2) 画出散点图，观察变量之间的关系 . (3) 由经验确定回归方程的类型 . (4) 按一定规则估计回归方程中的参数 . 本课结束