山东专用2021版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第12讲第2课时导数在研究函数中的应用课件
第二章
函数、导数及其应用
第十二讲 导数在研究函数中的应用
第二课时 导数与函数的极值、最值
1 知识梳理 • 双基自测
2 考点突破 • 互动探究
3 名师讲坛 • 素养提升
知识梳理 • 双基自测
知识点一 函数的极值
1．函数的极值
( 1 ) 设 函 数 f ( x ) 在 点 x 0 附 近 有 定 义 ， 如 果 对 x 0 附 近 的 所 有 的 点 ， 都 有
f(x)______f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作f(x)极大值＝f(x0)；如果对x0附
近的所有的点，都有f(x)______f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作f(x)极小
值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．
(2)当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法：
如果x
x0有f′(x)______0，那么f(x0)是极大值．
如果xx0有f′(x)______0，那么f(x0)是极小值．
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> <
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2．求可导函数f(x)极值的步骤
(1)____________________；
(2)____________________________；
(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的______________的符号，如果在根的左侧附近为
正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得__________；如果在根的左侧
附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得__________.
求导数f′(x)
求方程f′(x)＝0的根
根左右的值
极大值
极小值
知识点二 函数的最值
1．函数的最值的概念
设函数y＝f(x)在______________上连续，在______________内可导，函数f(x)在
[a，b]上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y＝f(x)的最大(最小)值．
2．求函数最值的步骤
设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最值，可分
两步进行：
(1)__________________________________；
(2)__________________________________________________________________
______________
[a，b] (a，b)
求f(x)在(a，b)内的极值
将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个
是最小值．
1．f′(x0)＝0与x0是f(x)极值点的关系
函数f(x)可导，则f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝
x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．
2．极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值．
3．极值与最值的关系
极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得；有极值的
不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最
值只要不在端点处取，则必定在极值处取．
4．定义在开区间(a，b)内的函数不一定存在最大(小)值．
题组一 走出误区
1．(多选题)下列结论正确的是( )
A．函数的极大值不一定比极小值大
B．导数等于0的点不一定是函数的极值点
C．若x0是函数y＝f(x)的极值点，则一定有f′(x0)＝0
D．函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值
ABCD
[解析] 对于A，如图，在x1处的极大值比在x2处的极小值小．
对于B，如y＝x3在x＝0处，导数为0，但不是极值点．
对于C，由极点定义知显然正确．
对于D，如图知正确．
故选A、B、C、D．
题组二 走进教材
2．(多选题)(选修2－2P32AT4改编)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则
下面正确的是( )
A．x＝1是最小值点
B．x＝0是极小值点
C．x＝2是极小值点
D．函数f(x)在(1,2)上单调递减
[解析] 由导数图象可知，x＝0，x＝2为两极值点，x＝0为极大值点，x＝2为
极小值点，f′(x)在(1,2)上小于0，因此f(x)单调递减，选C、D．
CD
3．(选修2－2P32AT5改编)函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝1或－1或0 D．x＝0
[解析] ∵f(x)＝x4－2x2＋3，由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝0或x
＝1或x＝－1.又当x<－1时，f′(x)<0，当－10，当01时，f′(x)>0，∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．
C
4．(选修2－2P32AT6改编)函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为( )
A．1－e B．－1
C．－e D．0
B
题组三 考题再现
5．(2017·课标Ⅱ，11)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的
极小值为( )
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
[解析] 由题意可得f′(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]．∵x＝－2是函数f(x)＝(x2＋
ax－1)ex－1的极值点，∴f′(－2)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－
1(x2＋x－2)＝ex－1(x－1)(x＋2)，∴x∈(－∞，－2)，(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递
增；x∈(－2,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．∴f(x)极小值＝f(1)＝－1.故选A．
A
6．(2018·课标Ⅰ，16,5分)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是
________.
考点突破 • 互动探究
设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象
如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
考点一 用导数求解函数极值问题——多维探究
角度1 根据函数图象判断极值
D
例 1
[解析] 由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2
处取得极小值．故选D．
例 2
角度2 求函数的极值
可导函数求极值的步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开
区间，并形成表格．
(4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)在这个
根或不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少．f′(x)＝0是函数有极值的必要条
件．
(1)已知函数f(x)＝xex在区间(a，a＋1)上存在极值点，则实数a的取值
范围为__________________.
(2)(2020·江西八校联考)若函数f(x)＝x2－x＋aln x在[1，＋∞)上有极值点，则实
数a的取值范围为______________________.
角度3 根据极值求参数的取值范围
(－2，－1)
例 3
a∈(－∞，－1]
函数极值问题的常见类型及解题策略：
(1)已知导函数图象判断函数极值的情况．先找导数为0的点，再判断导数为0的
点的左、右两侧的导数符号．
(2)已知函数求极值．求f′(x)→求方程f′(x)＝0的根→列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根
的两侧的符号→得出结论．
(3)已知极值求参数．若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f′(x0)＝0，且f(x)在
该点左、右两侧的导数值符号相反．
〔变式训练1〕
(1)(多选题)(角度1)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所
示，则下列叙述不正确的是( )
A． f(b)>f(a)>f(c)
B．函数f(x)在x＝c处取得极小值，在x＝e处取得极大值
C．函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值
D．函数f(x)的最小值为f(d)
ABD
B
D
[解析] (1)由图可知x∈[a，c]时f′(x)≥0，f(x)单调递增，又a0，f(x)递增；ce
时，f′(x)>0，f(x)递增．∴f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值，B错，C
对；f(d)不是极值，又不是定义域端点的函数值，∴f(d)不是最小值，D错，故选A、
B、D．
例 4
考点二 用导数求函数的最值——师生共研
1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值．
(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)．
(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个
为最小值．
2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，一般要根据其极值及单调性画出函
数的大致图象，借图求解．
注：求最值时，不可想当然认为极值点就是最值点，要通过比较再下结论．
B
D
名师讲坛 • 素养提升
利用导数研究生活中的优化问题
例 5
函数的优化问题即实际问题中的最值问题，其一般解题步骤为：一设，设出自
变量、因变量；二列，列出函数关系式，并写出定义域；三解，解出函数的最值，
一般常用导数求解；四答，回答实际问题．
〔变式训练3〕
已知圆柱的体积为16π cm3，则当底面半径r＝______cm时，圆柱的表面积最
小．
2
