河南省洛阳市第一高级中学2021届高三上学期10月月考数学(理)试题

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河南省洛阳市第一高级中学2021届高三上学期10月月考数学(理)试题

洛阳一高2020-2021学年第一学期高三年级10月月考理科数学试卷 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合,,则 ‎ ‎ ‎2.下列命题中错误的是 命题“若,则”的逆否命题是真命题 命题“”的否定是“”‎ 若为真命题,则为真命题 使“”是“”的必要不充分条件 ‎ ‎3.函数在处导数存在,若;是的极值点,则 ‎ 是的充分必要条件 是的充分条件,但不是的必要条件 是的必要条件,但不是的充分条件 既不是的充分条件,也不是的必要条件 ‎4. 若,为锐角,且,则 ‎ ‎. . . .‎ ‎5.若为内一点,且,,若三点共线,则的值为 ‎ ‎ ‎6.由及轴所围成的平面图形的面积是 ‎ ‎ ‎ ‎7.已知非零实数满足,则下列不等式一定成立的是 10‎ ‎8.已知,,,则的大小关系为 ‎ ‎ ‎9.在中,角的对边分别为,若,,则面积的最大值为 ‎ ‎ ‎ ‎10.已知是函数的图象的一条对称轴,且,则的单调递增区间是 ‎ ‎., ., ‎ ‎., .,‎ ‎11.已知函数的零点为,函数的零点为,则下列不等式中成立的是 ‎ ‎ ‎12.已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线,且满足,‎ ‎,则函数 有极大值,无极小值 有极小值,无极大值 ‎ 既有极大值,也有极小值 既无极大值,也无极小值 二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.函数的图象可由函数的图象至少向右平移_______个单位长度得到. ‎ ‎14.已知向量与的夹角为,且,,则. ‎ ‎15.若函数是偶函数,则.‎ ‎16.关于函数,有下述四个结论:‎ 10‎ ‎①是偶函数;②在区间上单调递增;③在有4个零点;④的最大值为2.其中所有正确结论的编号是______________.‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 如图,是直角斜边上一点,.‎ ‎(1)若,求角的大小;‎ ‎(2)若,且,求的长.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知为数列的前n项和.已知,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前n项和.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知向量.‎ ‎ (1)求的最大值及取得最大值时的取值集合;‎ ‎ (2)在中,是角的对边,若且,求周长的取值范围.‎ 10‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)若函数在上是减函数,求实数的取值范围;‎ ‎(2)令,是否存在实数,当是自然常数)时,函数的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数.‎ ‎ (1)求函数的单调区间与极值;‎ ‎ (2)若函数在上存在两个零点,求的取值范围.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,‎ 请用2B铅笔在答题卡上,将所选题号对应的方框涂黑.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-4:极坐标和参数方程选讲 10‎ 在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),圆的方程为 ‎.以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求直线及圆的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线与圆交于两点,求的值.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(1)解不等式;‎ ‎(2)设函数的最小值为,实数满足,求证:.‎ 10‎ 高三10月月考理科数学参考答案 一、选择题:1—5 6—10 11—12 ‎ ‎12题简解:令,,所以递增.由得,所以在上递增.‎ 考虑到,,所以在上仅有一个零点,所以有极小值,无极大值.‎ 二、填空题:13. 14. 15. 16. ①④‎ 三、解答题 ‎17.(1)在中,根据正弦定理,有. ……1分 因为,所以. ……3分 又 ‎ 所以. ……5分 于是,‎ 所以. ……6分 ‎(2)设,则,,. ……7分 于是,, ……9分 在中,由余弦定理,得 ‎,‎ 即, ……11分 得,故 . ……12分 10‎ ‎18.(1),,‎ ‎ , ……2分 即. ……3分 ‎,.‎ 又, ,(舍去), ……5分 是首为3,公差为2的等差数列,通项公式为. ……6分 ‎(2)由,得. ……9分 设数列的前n项和为,则 ‎. ……12分 ‎19.解:(1),‎ ‎ ……2分 ‎, ……3分 的最大值为, ……4分 此时,即, ……5分 ‎. ……6分 ‎(2) . ……7分 ‎,. ……8分 ‎ ……9分 10‎ ‎, ……10分 ‎.‎ ‎,,即周长的取值范围是. ……12分 ‎20.解:(1)在上恒成立, ……2分 令,有得, ……4分 得,所以的取值范围是. ……5分 ‎(2)假设存在实数,使有最小值3,‎ ‎. ……6分 ① 当时,在上单调递减, ‎ ‎(舍去). ……8分 ② 当时,在上单调递减,在上单调递增 ‎∴,满足条件. ……10分 ③ 当时,在上单调递减,‎ ‎(舍去), ……11分 综上,存在实数,使得当时有最小值3. ……12分 ‎21.解:(1) . ……1分 当时,,当时,,‎ 所以函数在上单调递减,在上单调递增, ……3分 所以是函数的极小值点,.‎ 综上,函数的单调递减区间为,递增区间为,‎ 10‎ 极小值为,无极大值. ……4分 ‎(2) ,.‎ 设,‎ 在区间上单调递增. ……5分 当时,,‎ 故在区间上存在唯一零点,‎ 即, ……6分 故在上单调递减,在上单调递增.‎ 又,‎ 故只需,则在区间上存在两个零点. ……8分 又,所以只需,‎ 解得,或(舍去).‎ 又.设在区间上恒成立,‎ 所以函数在上单调递增,所以.‎ 当时,在区间上存在两个零点. ……10分 当时, 在区间上恒成立,故在上单调递增,‎ 不可能在区间上存在两个零点.‎ 综上,函数在上存在两个零点时,的取值范围是.……12分 ‎22.解:(1)由直线的参数方程,‎ 得其普通方程为, ……2分 ‎∴直线的极坐标方程为. ……3分 10‎ 又∵圆的方程为,‎ 将代入并化简得, ……4分 ‎∴圆的极坐标方程为. ……5分 ‎(2)将直线:,‎ 与圆:联立,得 ‎, ……6分 整理得,∴. ……8分 不妨记点A对应的极角为,点B对应的极角为,且. ……9分 于是,. ……10分 ‎23. (1),即.‎ 当时,不等式可化为. ‎ 又∵,∴; ……1分 当时,不等式可化为. ‎ 又∵,∴. ……2分 当时,不等式可化为.‎ 又∵,∴. ……3分 综上所得,,或,即.‎ ‎∴原不等式的解集为. ……5分 ‎(2)由绝对值不等式性质得,,‎ ‎∴,即. ……7分 令,则,,‎ ‎, ……9分 原不等式得证. ……10分 10‎
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