河南省洛阳市第一高级中学2021届高三上学期10月月考数学(理)试题

河南省洛阳市第一高级中学2021届高三上学期10月月考数学(理)试题

洛阳一高2020-2021学年第一学期高三年级10月月考理科数学试卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合，，则 ‎ ‎ ‎2.下列命题中错误的是 命题“若，则”的逆否命题是真命题 命题“”的否定是“”‎ 若为真命题，则为真命题 使“”是“”的必要不充分条件 ‎ ‎3.函数在处导数存在，若；是的极值点，则 ‎ 是的充分必要条件 是的充分条件，但不是的必要条件 是的必要条件，但不是的充分条件 既不是的充分条件，也不是的必要条件 ‎4. 若，为锐角，且，则 ‎ ‎. . . .‎ ‎5.若为内一点，且，，若三点共线，则的值为 ‎ ‎ ‎6.由及轴所围成的平面图形的面积是 ‎ ‎ ‎ ‎7.已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的是 10‎ ‎8.已知，，，则的大小关系为 ‎ ‎ ‎9.在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为 ‎ ‎ ‎ ‎10.已知是函数的图象的一条对称轴，且，则的单调递增区间是 ‎ ‎.， .， ‎ ‎.， .，‎ ‎11．已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是 ‎ ‎ ‎12.已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足，‎ ‎，则函数 有极大值，无极小值 有极小值，无极大值 ‎ 既有极大值，也有极小值 既无极大值，也无极小值 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.函数的图象可由函数的图象至少向右平移_______个单位长度得到． ‎ ‎14.已知向量与的夹角为，且，，则． ‎ ‎15.若函数是偶函数，则.‎ ‎16.关于函数，有下述四个结论：‎ 10‎ ‎①是偶函数；②在区间上单调递增；③在有4个零点；④的最大值为2.其中所有正确结论的编号是______________.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 如图,是直角斜边上一点,．‎ ‎(1)若，求角的大小；‎ ‎(2)若，且，求的长．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知为数列的前n项和.已知，.‎ ‎(1)求的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前n项和.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知向量.‎ ‎ (1)求的最大值及取得最大值时的取值集合；‎ ‎ (2)在中，是角的对边，若且，求周长的取值范围.‎ 10‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎(1)若函数在上是减函数，求实数的取值范围；‎ ‎(2)令，是否存在实数，当是自然常数)时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎ (1)求函数的单调区间与极值；‎ ‎ (2)若函数在上存在两个零点，求的取值范围.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，‎ 请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标和参数方程选讲 10‎ 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，圆的方程为 ‎.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求直线及圆的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线与圆交于两点，求的值.‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎(1)解不等式；‎ ‎(2)设函数的最小值为，实数满足，求证：.‎ 10‎ 高三10月月考理科数学参考答案 一、选择题：1—5 6—10 11—12 ‎ ‎12题简解：令，，所以递增.由得，所以在上递增.‎ 考虑到,,所以在上仅有一个零点，所以有极小值，无极大值.‎ 二、填空题：13. 14. 15. 16. ①④‎ 三、解答题 ‎17.(1)在中,根据正弦定理,有. ……1分 因为,所以. ……3分 又 ‎ 所以. ……5分 于是,‎ 所以. ……6分 ‎（2）设,则,,. ……7分 于是,, ……9分 在中,由余弦定理,得 ‎,‎ 即, ……11分 得，故 ． ……12分 10‎ ‎18.(1),,‎ ‎ , ……2分 即. ……3分 ‎,.‎ 又， ,(舍去), ……5分 是首为3，公差为2的等差数列，通项公式为. ……6分 ‎(2)由,得. ……9分 设数列的前n项和为，则 ‎. ……12分 ‎19.解：(1),‎ ‎ ……2分 ‎， ……3分 的最大值为， ……4分 此时，即， ……5分 ‎. ……6分 ‎(2) . ……7分 ‎,. ……8分 ‎ ……9分 10‎ ‎, ……10分 ‎.‎ ‎,,即周长的取值范围是. ……12分 ‎20.解：(1)在上恒成立， ……2分 令，有得， ……4分 得，所以的取值范围是. ……5分 ‎(2)假设存在实数，使有最小值3，‎ ‎. ……6分 ① 当时，在上单调递减， ‎ ‎（舍去）. ……8分 ② 当时，在上单调递减，在上单调递增 ‎∴，满足条件． ……10分 ③ 当时，在上单调递减，‎ ‎（舍去）， ……11分 综上，存在实数，使得当时有最小值3． ……12分 ‎21.解：(1) . ……1分 当时，，当时，，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ……3分 所以是函数的极小值点，.‎ 综上,函数的单调递减区间为，递增区间为，‎ 10‎ 极小值为，无极大值. ……4分 ‎(2) ,.‎ 设，‎ 在区间上单调递增. ……5分 当时，，‎ 故在区间上存在唯一零点，‎ 即, ……6分 故在上单调递减，在上单调递增.‎ 又，‎ 故只需，则在区间上存在两个零点. ……8分 又，所以只需，‎ 解得，或(舍去).‎ 又.设在区间上恒成立，‎ 所以函数在上单调递增，所以.‎ 当时，在区间上存在两个零点. ……10分 当时， 在区间上恒成立，故在上单调递增,‎ 不可能在区间上存在两个零点.‎ 综上，函数在上存在两个零点时，的取值范围是.……12分 ‎22.解：(1)由直线的参数方程，‎ 得其普通方程为， ……2分 ‎∴直线的极坐标方程为. ……3分 10‎ 又∵圆的方程为，‎ 将代入并化简得， ……4分 ‎∴圆的极坐标方程为. ……5分 ‎(2)将直线：，‎ 与圆：联立，得 ‎， ……6分 整理得，∴. ……8分 不妨记点A对应的极角为，点B对应的极角为，且. ……9分 于是，. ……10分 ‎23. (1)，即.‎ 当时，不等式可化为. ‎ 又∵，∴； ……1分 当时，不等式可化为. ‎ 又∵，∴. ……2分 当时，不等式可化为.‎ 又∵，∴. ……3分 综上所得，，或，即.‎ ‎∴原不等式的解集为. ……5分 ‎(2)由绝对值不等式性质得，，‎ ‎∴，即. ……7分 令，则，，‎ ‎， ……9分 原不等式得证. ……10分 10‎