2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第四章 5 第5讲 三角函数的图象与性质
第5讲 三角函数的图象与性质
1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x|x≠kπ＋，k∈Z}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
函数的最值
最大值1，当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z；最小值－1，当且仅当x＝2kπ－，k∈Z
最大值1，当且仅当x＝2kπ，k∈Z；
最小值－1，当且仅当x＝2kπ－π，k∈Z
无最大值和最小值
单调性
增区间[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)；
减区间[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)
增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；
减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
增区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
奇偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
周期
性
周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π
周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π
周期为kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为π
对称性
对称
中心
(kπ，0)，k∈Z
，k∈Z
，k∈Z
对称轴
x＝kπ＋，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
无对称轴
零点
kπ，k∈Z
kπ＋，k∈Z
kπ，k∈Z
2.周期函数的定义
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为T＝；函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝.
3．对称与周期
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻的两个对称中心之间的距离是半个周期．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝cos x在第一、二象限内是减函数．( )
(2)若y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值是k＋1.( )
(3)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．( )
(4)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．( )
(5)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
[教材衍化]
1．(必修4P46A组T2，3改编)若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则T＝________，A＝________．
解析：最小正周期T＝＝π，最大值A＝2－1＝1.
答案：π 1
2．(必修4P40练习T4改编)下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是________(填序号)．
①在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数；
②在上是增函数，在及上是减函数；
③在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数；
④在及上是增函数，在上是减函数．
解析：函数y＝4sin x在和上单调递减，在上单调递增．
答案：②
3．(必修4P45练习T3改编)y＝tan 2x的定义域是________．
解析：由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以y＝tan 2x的定义域是.
答案：
[易错纠偏]
(1)忽视y＝Asin x(或y＝Acos x)中A对函数单调性的影响；
(2)忽视定义域的限制；
(3)忽视正切函数的周期；
(4)不化为同名函数以及同一单调区间导致比较大小出错．
1．函数y＝1－2cos x的单调递减区间为________．
解析：函数y＝1－2cos x的单调递减区间为函数y＝cos x的递增区间．
答案：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)
2．函数f(x)＝3sin(2x－)在区间[0，]上的值域为________．
解析：当x∈[0，]时，2x－∈[－，]，
所以sin∈[－，1]，
故3sin∈[－，3]，
所以函数f(x)在区间[0，]上的值域是[－，3]．
答案：[－，3]
3．函数y＝tan图象的对称中心是________．
解析：由x＋＝，得x＝－，k∈Z.
答案：(k∈Z)
4．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________．
解析：sin 68°＝cos 22°，
又y＝cos x在[0°，180°]上是减函数，
所以sin 68°>cos 23°>cos 97°.
答案：sin 68°>cos 23°>cos 97°
三角函数的定义域和值域
(1)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
(2)函数y＝lg(2sin x－1)＋的定义域是________．
【解析】 (1)依题意，f(x)＝sin2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－＋1，
因为x∈，所以cos x∈[0，1]，
因此当cos x＝时，f(x)max＝1.
(2)要使函数y＝lg(2sin x－1)＋有意义，
则
即
解得2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z.
即函数的定义域为，k∈Z.
【答案】 (1)1 (2)，k∈Z
(1)三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)三角函数值域的不同求法
①利用sin x和cos x的值域直接求；
②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；
③(换元法)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域；
④(换元法)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．
(2020·温州市十校联合体期初)已知函数f(x)＝2cos x·(sin x－cos x)，x∈R，则f＝________，f(x)的最大值是________．
解析：f(x)＝2cos x(sin x－cos x)
＝2cos xsin x－2cos2x
＝sin 2x－1－cos 2x
＝sin－1.
当x＝时，f＝sin－1＝0.
由正弦函数的图象和性质可得，sin的最大值为1.
所以f(x)的最大值为－1.
答案：0 －1
三角函数的单调性(高频考点)
三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，或在解答题某一问出现，难度为中档题．主要命题角度有：
(1)求已知三角函数的单调区间；
(2)已知三角函数的单调区间求参数；
(3)利用三角函数的单调性比较大小；
(4)利用三角函数的单调性求值域(或最值)．
角度一 求已知三角函数的单调区间
已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
【解】 (1)由sin ＝，cos ＝－，f＝－－2××，得f＝2.
(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x得
f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin.
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，
k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以，f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
角度二 已知三角函数的单调区间求参数
函数f(x)＝sin(x＋φ)在区间上单调递增，则常数φ的值可能是( )
A．0 B.
C．π D.
【解析】 法一：结合选项，当φ分别取选项中的值时，
A：f(x)＝sin x；B：f(x)＝cos x；C：f(x)＝－sin x；D：f(x)＝－cos x．验证得D选项正确．
法二：⊆f(x)的递增区间，
⊆，
⇒－＋2kπ≤φ≤－＋2kπ(k∈Z)，
k＝0，选项中无值符合；k＝1，≤φ≤，φ＝符合；
k＝2，≤φ≤，选项中无值符合．可知φ的可取值逐渐增大，故只有D选项符合题意．
【答案】 D
角度三 利用三角函数的单调性比较大小
已知函数f(x)＝2sin，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是( )
A．a
0时，由题意知－ω≤－，
即ω≥；
当ω<0时，由题意知ω≤－，所以ω≤－2.
综上可知，ω的取值范围是∪.
2．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为 ( )
A．－1 B．－
C. D．0
解析：选B.由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝sin(2x－)在区间上的最小值为－.
3．函数y＝sin的单调减区间为________．
解析：(同增异减法)y＝－sin，
它的减区间是y＝sin的增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故其单调减区间为，k∈Z.
答案：(k∈Z)
三角函数的奇偶性、周期性及对称性
(1)设函数f(x)＝sin2 x＋bsin x＋c，则f(x)的最小正周期( )
A．与b有关，且与c有关
B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关
D．与b无关，但与c有关
(2)已知ω>0，f(x)＝，f的图象与f(x)的图象关于点对称，则ω的最小值为( )
A. B．1
C. D．2
(3)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)是奇函数，直线y＝与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则( )
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递增
D．f(x)在上单调递增
【解析】 (1)由于f(x)＝sin2x＋bsin x＋c＝＋bsin x＋c.当b＝0时，f(x)的最小正周期为π；当b≠0时，f(x)的最小正周期为2π.c的变化会引起f(x)图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.
(2)因为f(x)＝＝tan，
所以f＝tan，
因为f的图象与f(x)的图象关于点对称，
所以tan＋tan＝0，
即tan＝tan，
所以＝－ωπ－＋kπ，(k∈Z)，ω＝－＋k，(k∈Z)，
因为ω>0，所以当k＝1时，ω取最小值为，故选A.
(3)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ＋)，因为0<φ<π且f(x)为奇函数，所以φ＝，即f(x)＝－sin ωx，又直线y＝与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，所以函数f(x)的最小正周期为，由＝，可得ω＝4，故f(x)＝－sin 4x，由2kπ＋≤4x≤2kπ＋，k∈Z，即＋≤x≤＋，k∈Z，令k＝0，得≤x≤，此时f(x)在上单调递增．
【答案】 (1)B (2)A (3)D
三角函数的奇偶性、对称性和周期问题的解题思路
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx
的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．
(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心．
[提醒] 对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．
1．(2020·舟山市普陀三中高三期中)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)为偶函数，则φ＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C.f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝sin，
因为函数f(x)为偶函数，
所以f(－x)－f(x)
＝sin－sin＝0，
即sin＝sin，
所以－2x＋φ＋＝2x＋φ＋＋2kπ，或－2x＋φ＋＋2x＋φ＋＝π＋kπ，
即x＝－，k∈Z(舍)或φ＝＋，k∈Z.
因为|φ|<，所以φ＝.
2．(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知函数f(x)＝sin 2x(1－2sin2x)＋1，则f(x)的最小正周期T＝________，f(T)＝________．
解析：由题意得，f(x)＝sin 2xcos 2x＋1＝sin 4x＋1，所以最小正周期T＝＝，f(T)＝f＝1.
答案： 1
3．已知函数f(x)＝sin x的图象与直线kx－y－kπ＝0(k>0)恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为x1，x2，x3，则＝________．
解析：如图所示，易知x2＝π，x1＋x3＝2x2＝2π，
则k＝＝，
又直线与y＝sin x相切于点A(x3，sin x3)，
则k＝cos x3，
则＝cos x3⇒＝＝，故答案为.
答案：
核心素养系列7 数学抽象——三角函数中ω值的求法
一、利用三角函数的单调性求解
若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是________．
【解析】 令＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋，因为f(x)在上单调递减，所以得6k＋≤ω≤4k＋3.又ω>0，所以k≥0，又6k＋<4k＋3，得0≤k<，所以k＝0.即≤ω≤3.
【答案】
根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，根据函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围．
二、利用三角函数的对称性求解
(1)已知函数f(x)＝cos(ω>0)的一条对称轴为x＝，一个对称中心为点，则ω有( )
A．最小值2 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
(2)若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为________．
【解析】 (1)因为函数的中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以中心到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－＝＋(k∈N，T为周期)，解得(2k＋1)T＝π，又T＝，所以(2k＋1)·＝π，则ω＝2(2k＋1)，当k＝0时，ω＝2最小．故选A.
(2)依题意得cos＝0，则＋＝＋kπ(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，所以ω的最小值为＝2.
【答案】 (1)A (2)2
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“ω”的取值．值得一提的是，三角函数的对称轴必经过其图象上的最高点(极大值)或最低点(极小值)，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的对称中心就是其图象与x轴的交点，这就说明，我们也可利用三角函数的极值点(最值点)、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定“ω”的取值．
三、利用三角函数的最值求解
已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)，f＝f()，且f(x)在区间内有最小值无最大值，则ω＝________．
【解析】 因为f＝f，而＝，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，又f(x)在区间内有最小值无最大值，所以f(x)min＝f＝sin＝－1，所以＋
eq f(π,3)＝kπ＋，k∈Z，解得ω＝4k＋.再由f(x)在区间内有最小值无最大值，得≥－，解得ω≤6，所以k＝0，ω＝.
【答案】
利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．
[基础题组练]
1．最小正周期为π且图象关于直线x＝对称的函数是( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
解析：选B.由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x＝对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A，因为sin＝sin π＝0，所以选项A不正确．对于D，sin＝sin＝，所以D不正确，对于B，sin＝sin＝1，所以选项B正确，故选B.
2．(2020·合肥市第一次教学质量检测)函数y＝sin(ωx＋)在x＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( )
A. B. C. D.
解析：选D.由题意得，2ω＋＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝＋kπ(k∈Z)，因为ω>0，所以当k＝0时，ωmin＝，故选D.
3．(2020·浙江省名校协作体高三联考)下列四个函数：y＝sin|x|，y＝cos|x|，y＝|tan x|，y＝－ln|sin x|，以π为周期，在上单调递减且为偶函数的是( )
A．y＝sin|x| B．y＝cos|x|
C．y＝|tan x| D．y＝－ln|sin x|
解析：选D.A.y＝sin|x|在上单调递增，故A错误；B.y＝cos|x|＝cos x周期为T＝2π，故B错误；C.y＝|tan x|在上单调递增，故C错误；D.f(x＋π)＝－ln|sin(x＋π)|＝－ln|sin x|，周期为π，当x∈时，y＝－ln(sin x)是在上单调递减的偶函数，故D正确，故选D.
4．设函数f(x)＝cos(x＋)，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在(，π)上单调递减
解析：选D.根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；当x＝时，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B正确；f(x＋π)＝cos＝cos，当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C正确；函数f(x)＝cos在上单调递减，在上单调递增，故D不正确．所以选D.
5．若函数f(x)＝sin(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是( )
A.∪ B.∪
C. D.
解析：选B.易知函数y＝sin x的单调区间为
[kπ＋，kπ＋]，k∈Z，
由kπ＋≤ωx＋≤kπ＋，k∈Z，得≤x≤，k∈Z，
因为函数f(x)＝sin(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，
所以f(x)在区间(π，2π)内单调，
所以(π，2π)⊆，k∈Z，
所以k∈Z，解得k＋≤ω≤＋，k∈Z，
由k＋≤＋，得k≤，
当k＝0时，得≤ω≤；
当k＝－1时，得－≤ω≤.
又ω>0，所以0<ω≤.
综上，得ω的取值范围是∪.故选B.
6．已知函数f(x)＝sin，f′(x)是f(x)的导函数，则函数y＝2f(x)＋f′(x)的一个单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.由题意，得f′(x)＝2cos，所以y＝2f(x)＋f′(x)＝2sin＋2cos＝2sin＝2sin.由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以y＝2f(x)＋f′(x)的一个单调递减区间为，故选A.
7．函数y＝lg sin x＋ 的定义域为________．
解析：要使函数有意义，则有
即解得(k∈Z)，
所以2kπ0)，直线y＝与函数f(x)图象相邻两交点的距离为π.
(1)求ω的值；
(2)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若点是函数y＝f(x)图象的一个对称中心，且b＝3，求△ABC面积的最大值．
解：(1)函数f(x)＝sin－2cos2x＋1
＝sin ωxcos－cos ωxsin－2·＋1
＝sin ωx－cos ωx＝sin.
因为f(x)的最大值为，所以f(x)的最小正周期为π，
所以ω＝2.
(2)由(1)知f(x)＝sin，
因为sin＝0⇒B＝，
因为cos B＝＝＝，
所以ac＝a2＋c2－9≥2ac－9，ac≤9，
故S△ABC＝acsin B＝ac≤.
故△ABC面积的最大值为.
5．已知a>0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．
解：(1)因为x∈，所以2x＋∈.
所以sin∈，
所以－2asin∈[－2a，a]．
所以f(x)∈[b，3a＋b]，又因为－5≤f(x)≤1，
所以b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得，f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f＝－4sin－1
＝4sin－1，
又由lg g(x)>0，得g(x)>1，所以4sin－1>1，
所以sin>，
所以2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，
其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ
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