高考复习难点抛体运动的规律研究

高考复习难点抛体运动的规律研究

抛体运动的规律研究-----抛体中的现象 一． 从抛物线的几何性质看抛体运动的射程问题 1、 在水平地面某处，以相同的速率用不同的抛射角抛射小球，求当抛射角为何值时，它的射程最大，最大射程是多少？不考虑空气阻力。‎ 2、 大炮在山脚下对着倾角为的山坡发射炮弹，炮弹初速度大小为，要在山坡上达到尽可能远的射程，则大炮的瞄准角为多少？最远的射程为多少？不考虑空气阻力。‎ 3、 在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度为，若出手时的速度大小为，求以何角度掷球时，水平射程最远？最远射程是多少？不考虑空气阻力。‎ 二． 解答与分析 1、 第一个问题当抛射角为时射程最大，最大射程是 图1‎ 2、 第二个问题分别将按沿斜面方向和垂直斜面方向正交分解得，当方向沿斜面和竖直线夹角的角平分线时，即抛射角为时，射程最大，最大射程为 3、 第三个问题做铅球的速度矢量如图1所示，由三角形面积公式得 其中为初速度，为末速度（其值为），分别为初、末速度与竖直方向的夹角，为重力加速度，为运动时间，为水平射程。‎ 由上式可知，当时，取最大值，最大射程为，此时抛射角为 三． 三个问题归纳为一个问题 1、 抛物线上任意一点到焦点的距离与其到准线的距离相等，即在图2中，线段 2、 由抛物线的焦点发出的光，经其表面反射后，反射光线平行于其主轴，在图2中，法线AQ平分角MAB，且AM、AB与切线AP所成的角也相等。‎ 在问题3中，建立如图3所示的坐标系，则抛体运动的参数方程为 图2 ‎ 图 3 ‎ 消去得到物体运动的轨迹方程 以上为一簇经过O的抛物线，其焦点坐标为，准线方程为。‎ 图4‎ 可以看出，虽然抛射角不同时，不同抛物线的焦点坐标不同，但所有的抛物线有着相同的准线，对于上述所有抛射角度的抛物线而言，抛出点和落地点到准线的距离分别为一定值。在图4中，由于两条抛物线共享一条准线，则OC1=OP，A1C1=A1M1，OC2=OP，A2C2=A2M2，且OC1+A1C1=OC2+A2C2=，其中O为抛出点，A1，A2分别为为两条抛物线对应的落地点，C1，C2分别为两条抛物线对应的焦点。‎ 现在来研究焦点为C2的这条抛物线，分别过抛出点O和落地点A2做抛物线的切线，两切线相交于Q点，连接OA2，如图5所示。设OQ与OC2夹角为，由抛物线的性质得，OQ与竖直线（抛物线的主轴方向）夹角也为，从而OC2与竖直线夹角为，同理，A2C2与竖直线夹角为。在Δ中，有，即，易知（此时三点共线，如图6所示），即当时（OQ与 图6‎ 图5‎ A3A垂直时），OA3取到最大值，此时也达到了最大水平射程，其值为 而此时OQ与A3Q垂直，即初、末速度相互垂直（轨迹的切线方向），问题在1是上面问题的特解，规律自然相同。问题2可以看成上面问题的逆过程，如图6所示，将A3看做抛出点，O点看做落地点，则当斜面倾角为时，最大射程即为图中的OA3的连线长度，即问题2与问题3在本质上也为同一类问题。从图6结合性质2还可以很容易看出，为何在向上坡抛物体时，当方向（即A3Q方向）沿斜面和竖直线夹角的角平分线时，射程最大。‎ 例1 沿斜面上升方向抛物体 如图1所示，用初速度在倾角为的斜面上某一处沿斜面上升方向抛物体，抛射角为（抛射方向与斜面间的夹角），物体沿两方向的运动方 程为 式（1）、（2）联立消去t，得物体运动的轨道方程,‎ 直线OA的方程为 A点是抛物线和直线的交点，其坐标值可由式（3）、（4）联立解出:‎ 所以 利用式（4）、（5）可以联立解出射程 最佳抛射角 最大射程 这种抛射，抛体所受合力即为重力，方向竖直 向下. 如果我们将抛射点和落地点所在的平面叫做抛射面，在图1中，要让抛射面与抛体所受合力 方向垂直，需将抛射面顺时针转角，这个角正好就是式（6）中的角. 亦即，当抛射面在垂直于质点所受合力方向上逆时针转角时，最佳抛射角在450的基础上减小角.‎ 例2 沿斜面下降方向抛物体 如图2所示，若用初速度在倾角为的斜面上某一处沿斜面下降方向抛物体，抛射角为α（抛射方向与斜面间的夹角），物体沿两方向的运动方 程为 式（8）、（9）联立消去t，得物体运动的轨道方程 直线OA的方程为 A点是抛物线和直线的交点，其坐标值可由式（10）、（11）联立解出:‎ 所以 经计算，物体沿斜边的射程为 最佳抛射角为 最大射程 这种抛射，抛体所受合力也为重力，方向竖直向下.在图2中，要让抛射面与抛体所受合力方向垂直，需将抛射面逆时针转角，这个角正好就是式（12）中的角. 亦即，当抛射面在垂直于质点所受合力方向上顺时针转角时，最佳抛射角在450的基础上增加角.‎ 例3 在水平面上“顺场抛射”物体 如图3所示，在竖直平面内存在水平向右的匀强电场，有一带正电小球自坐标原点以抛射角抛出，不计空气阻力. ‎ 小球抛出后，受重力和电场力两个力的作用，运动规律为 为小球沿水平方向向右的加速度.‎ 将式（14）两边乘以，式（15）两边乘以，再相加，求出:‎ 将式（14）两边乘以，式（15）两边乘以，再相减，求出:‎ 结合式（16）、（17）两式得 整理该式得 ‎ ‎ （18）‎ 式（18）就是复合场内带电小球作“顺场抛射”时的运动轨道方程. ‎ 在式（18）中，若令=0得 进一步整理，‎ 其中 显然，当时最大，即“顺场抛射”的最大射程 ‎“顺场抛射”的最佳抛射角 其中 这种抛射，抛体所受的力为重力与电场力的合力，方向朝右下方，与竖直方向的夹角为 ‎，要让抛射面与合力方向垂直，需将抛射面逆时针转角，这个角正好就是式（20）中的角.亦即，当抛射面在垂直于质点所受合力方向上顺时针转角时，最佳抛射角在450的基础上增加角.‎ 例4 在水平面上“逆场抛射”物体 若在竖直平面内存在水平向左的匀强电场，将带正电的小球自坐标原点以抛射角抛出，不计空气阻力，小球抛出后，受重力和电场力两个力的作用，运动规律为，‎ 用同样的方法可以求得 式（24）就是复合场内带电小球作“逆场抛射”时的运动轨道方程. ‎ 在式（24）中，若令=0得 进一步整理，‎ 其中 显然，当时最大，即“逆场抛射”的最大射程 ‎“逆场抛射”的最佳抛射角 其中这种抛射，抛体所受的力为重力与电场力的合力，方向朝左下方，与竖直方向的夹角为 ‎，要让抛射面与合力方向垂直，需将抛射面顺时针转角，这个角正 好就是式（26）中的角.亦即，当抛射面在垂直于质点所受合力方向上逆时针转角时，最佳抛射角在450的基础上减小角.‎ 小结：‎ ‎1．当抛体所受合力方向发生变化时，最佳抛射角也跟着变化.物体仅受重力作用在水平面上抛射时，重力方向与抛射面垂直，最佳抛射角为450.相对于抛射面而言，当物体所受合力方向沿着抛体前进一方与竖直方向偏离角时，最佳抛射角在450的基础上增加角；当物体所受合力方向沿着抛体前进的反方向与竖直方向偏离角时，最佳抛射角在450的基础上减小角。‎ ‎2．以上问题可转化为一簇有着相同约束的抛物线上求解两点之间距离的最大值问题，其本质上为同一个问题，即当初、末速度互相垂直时，抛点、落点、焦点三点共线，此时的射程最大，最大射程为抛点和落点到准线的距离之和。‎ 第二节：抛体运动的规律研究-----抛体中的与现象 一． 抛体运动中的几个现象 1、 平抛的抛物线在某一点位移方向和末速度方向分别与初速度方向的夹角的正切值为。‎ 1、 若在某一段时间内水平竖直两个分位移相等，则水平初速度与竖直速度之比为。‎ 2、 若在某一时刻水平速度与竖直速度大小相等，则竖直分位移与水平分位移之比为。‎ 3、 在地面上任意一点沿任意方向抛出一点物体，若物体到达某一平面的时间为，则当物体距离这个平面最远的时间为，则 4、 物体由某一点平抛一个物体，某一时刻速度方向与位移方向夹角正弦值的最大值为 二．相关证明过程（性质1、2、3略去）‎ ‎1．性质4的证明过程如下 如下图所示，以某一初速度在斜面上A点以与斜面成的方向斜抛一个物体，最终物体落在倾角为的斜面上B点，设物体运动的总时间为，则有运动的合成与分解知识可得 图7‎ 联立以上式子可求得 再把物体的运动沿斜面和垂直斜面进行分解，当物体离斜面最远时速度与斜面平行，得 ‎，求得（注明：这里的斜面可以任意倾角的，且运动过程也具有可逆性）‎ ‎2．性质5的证明过程如下：‎ 方法一：（不等式法）设某一时刻瞬时速度与水平方向的夹角为，位移与水平方向的夹角为，则速与位移的夹角为，根据性质1可知，则有 由不等式的性质可知最大值为，所以 方法二：（数形结合法）‎ 如下图8所示，设小球从O点平抛在某一段时间内物体由O点运动到A点，由中点弦性质可知，速度方向反向延长线过OB的点，OO2=O2O1，以OO1为直径再做一个辅助圆，当CA与圆O2相切时，有最大值。（物理通报2019年第12期P28）‎ 图8‎ 例1 抛体过矩形障碍物的现象 图 例1图 如下图所示，一个矩形障碍物的大小如下，长为，高为，在障碍物左边地面上某一点以某一初速度斜抛一个物体，为了使物体恰好掠过障碍物，求抛出点的位置和初速度的大小与方向。‎ 解析：设最高点到地面的距离为，最高点的速度为，落地速度为，则由机械能守恒定律可知 由抛物线的知识可知，物体运动的抛物线方程为，抛物线过障碍物则有 联立以上式子得 由不等式的性质可知当时，有最小值 此时抛射解恰好为，抛射点到障碍物左边的距离为，。‎ 例2 包络面中的现象 在水平地面以某一初速率沿不同方向抛一个物体，求所形成的包络面的形状。‎ 解析：设，当抛角不同时的运动轨迹如下图所示 通过分析可以看出来，这些弹道的包络面是一个抛物线，最高点是，水平射程，其中最高点与最远距离之比为，则有抛物线方程，在这条抛物线的右边都是打不到的区域！‎ 方法1(包络线定律法)‎ 设 由第二方程可得,代入原方程消去得 前面形象地给出了包络的概念，下面我们给出包络的一个数学定义.‎ 对于曲线系：为参数），如果存在一曲线，使与曲线系 中的每一曲线相切于点（切于一点或几点），且，我们称曲线为曲线系的包络.‎ 记关于的函数的导数为.‎ 由包络定义，包络存在时，曲线系：为参数）的包络曲线上的每一点都属于曲线系，满足；在点中的的可表示成，由此对的全微分和包络与曲线相切时的切线方程相同，可得.‎ 因此，包络上的每一点满足：‎ 如果包络存在，则消去（1）（2）中的参数就可求到包络所满足的方程.‎ 值得注意的是，方程可能就是包络的方程，也可能不是.当可分解为两个或更多的曲线方程时，甚至一部分是包络的方程而另一部分不是包络的方程，因为是否有实数解决定了中的取值范围，因此求得方程后应进行适当的验证.‎ 方法二(判别式法)‎ 可以将原方程整理为 这是一个关于的一元二次方程, 有唯一解则,化简得 思考题：‎ ‎1．图中是一个半径为的四分之一轨道与半径为的半圆形轨道相切，大致情景是一个小球从四分之一圆轨道的起点由静止释放，不计摩擦，不计空气阻力。求小球砸在轨道上的位置。（取小球脱离轨道位置为坐标原点建立坐标系）‎ 解析：设脱离时半径与竖直方向上的夹角为，则有 联立可得 以斜抛点坐标原点建立平面直角坐标系，质点做斜抛运动设经过时间落在圆面上，则 解方程得 解得。‎ ‎2．在一个半圆形坑的左端点平抛一个物体，已知物体能落在坑中，则关于物体的初速度与末速度的大小变化量的关系，下列说法中正确的是（ D ）‎ A 下落距离越大变化量越大 B下落距离越大变化量越小 C下落距离越小变化量越大 D 随着初速度的增大这个变化量先增大后减小 ‎3．上题中若是小球做斜抛运动，物体有没有可能垂直击中坑？需要满足什么条件？‎ 解析：由，求得 令，有 圆的方程是：，设落点P 点P的抛物线上，‎ 速度垂直圆周，即 由上面的的方程可得 由于代入得 令，‎ 由软件算得，当时，‎ 当时，上式无解，即当时，小球不可能垂直击中碗面；‎ 当时，速度有两个解代入后，可解得，最后由求得。‎ 图1‎ 例3 飞机投弹问题 如图1所示，斜面上、、三点等距，‎ 小球从点正上方点抛出，做初速度为的 平抛运动，恰落在点。若小球初速度变为，‎ 其落点位于点，则 A． B． ‎ C． D．‎ 解析：‎ 图2‎ ‎ 此题的参考答案为A（具体分析过程略），笔者认为这个答案不准确，初速度的大小范围应为，具体分析过程如下：‎ 方法一 ‎ 如图2所示，设小球第一平抛运动的下落的高度为，水平位移为 其中点以下的高度为，运动时间为，由运动学公式得 设小球第二平抛运动的水平位移为，下落的高度为，‎ 其中点以下的高度为，运动时间为，由运动学公式得 可解得 由于，所以，第二次平抛初速度，代入时间后得 因为，所以 方法二 如图3所示，设小球斜面的倾角为，平抛运动的时间为，则根据运动学知识得 图3‎ 整理后得 方程的解为 小球有斜面方向上的位移 设小球第二次平抛的速度为，平抛运动的时间为,斜面方向上的位移为，则有 ‎，则有 令，，则上式可整理为 当，；当时，,即，即 方法三：利用极端值求范围 ‎ 如图2所示，考虑到对平抛运动时间的影响 ①当时，（当然），而第二次水平位移为第一次的2倍，故，但（因为，故是物体平抛直接落地的结果）‎ ②因为，，所以 即（是物体在斜面上平抛（）的结果，即 思考题 ‎1．若上题中改成：飞机以某一水平速度飞行，每隔一定时间投一个弹，第一落点为，第二个为，第三个为，求 解析：‎ ‎1．数学抽象：把该物理问题情境抽象出来，即三条等高，等间距的抛物线被一条斜率为负的直线所截，该直线与各抛物线的右半支分别交于A，M，B，求的范围。‎ ‎2．引理 当直线与第一条抛物线相切时，最大 ‎3．下面开始求的范围。‎ 设3条抛物线分别为，设过点的切线方程为，由可求得 由可求得 ‎（式中）‎ 当有限大，‎ 当有限大，‎ 综上所述，‎ 一个有趣的结论：斜抛运动的速率与时间的关系图是一个曲线 解析：设初速度为，抛射角为，在时间为时的速率为，则有，这就是双曲线的一支，如下图所示。‎