高考数学新题型测试研究

高考数学新题型测试研究

高考数学新题型测试研究 任子朝，章建石，陈 昂 ‎（教育部考试中心，北京 100084）‎ 摘要：为深化高考内容和形式改革，数学科研制了5种新题型：多选题、逻辑题、数据分析题、举例题和开放题．从中国东部、中部、西部省份中各选取一省，每个省抽取省重点、市重点和普通中学3个层次学校的高三学生进行试测，各省抽样一千多人，总共有4 205人参加测试．试测统计数据、问卷调查和考后座谈表明：数学科开发的题型新颖别致，能有效考查数学能力，区分度良好，促进中学教学方式的转变，受到学生和教师的欢迎．‎ 关键词：高考；新题型；试测 中图分类号：G420 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2015）01–0021–05‎ ‎1 研究背景 ‎1.1 问题提出 党的十八届三中全会提出“推进考试招生制度改革”的目标：“探索全国统考减少科目、不分文理科”．改革的出发点主要有两方面：首先是更好地体现高考的选拔功能．高考选拔的目标发生了巨大转变，已经从对学科知识的全面评价向学习能力的重点测量转变，高考成为有力推动选拔有创造力的高素质人才的重要途径．其次是有利于推进素质教育、促进学生全面发展、个性发展和可持续发展．高考科目的设置主要着眼于在高校人才选拔中发挥基础性和通用性的作用，这样的科目设置模式可以为学生个性潜能和学科特长发展提供更大的空间．数学作为高考中重要的基础学科，要积极进行考试内容和形式的改革，发挥基础学科的重要作用．‎ ‎1.2 题型试测 题型是题目的呈现方式，是实现考查目的的重要手段．高考的考查目标和考查重点进行改革以后，需要新的题型呈现考查要求，实现考查目的．为更好地考查考生的数学能力，高考数学科进行了题型创新设计的专题研究，开发了5种新题型．为检验新题型的考查效果，抽取考生进行试测．‎ ‎2 研究方法 ‎2.1 样本的选取 试测的考生为当年参加高考高三学生，考虑到中国教育地区之间存在差异，不同学校的学生之间也存在差异，为了检测新题型的效果，选取不同地区的学生作为被试．根据被试样本的抽样原则，从东部、中部、西部省份中各选取一省进行试测，每个省抽取省重点、市重点和一般学校的高三学生进行试测，每省抽样一千多人，样本基本代表了中国高三学生的平均水平．这次试测总共发放试卷4 205份，其中有效试卷3 800份，有效率90.36%．试卷不分文理科，所有考生使用相同的试卷，试测考生中文科考生占38%，理科考生占62%．‎ ‎2.2 研究内容 这次试测研究的主要内容包括：试题的难度[1]、区分 度[1]，新题型与传统题型的相关性[1]，学生对新题型的适应程度，教师和学生对新题型的接受程度和改进建议．‎ ‎2.3 研究工具 ‎2.3.1‎‎ 试测试卷 数学科开发了5种新题型（参见附录），分别是：‎ ‎1. 多项选择题：选择题的答案不唯一，存在多个正确选项．‎ ‎2. 逻辑题：以日常生活的语言和情景考查推理、论证、比较、评价等逻辑思维能力．‎ ‎3. 数据分析题：给出一些材料背景以及相关数据，要求考生自己读懂材料，获取信息，根据材料给出的情境、原理以及猜测等，自主分析数据，得出结论，并解决问题．‎ ‎4. 举例题：要求考生通过给出已知结论、性质和定理等条件，从题干中获取信息，整理信息，写出符合题干的结论或是具体实例．‎ ‎5. 开放题：试题开放设问，答案并不唯一，要求考生能综合运用所学知识，进行探究，分析问题并最终解决问题．‎ 试测试卷将新题型和高考中现有的题型组合成卷，测试时长60分钟，满分75分，时间和满分都是正式高考的一半．高考中现有题型选取了单项选择题，目的是为和新题型进行对比，测试新题型的考查效果．试卷测试结构如表1所示．‎ 表1 试测试卷结构 题目数量 每题分值 总分 题号 单项选择题 ‎ 5‎ ‎ 5‎ ‎25‎ ‎1—5‎ 多项选择题 ‎ 2‎ ‎ 5‎ ‎10‎ ‎6—7‎ 逻辑题 ‎ 2‎ ‎ 5‎ ‎10‎ ‎8—9‎ 数据分析题 ‎ 1‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎10‎ 举例题 ‎ 1‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎11‎ 开放题 ‎ 1‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎12‎ 总计 ‎12‎ ‎75‎ 需要指出的是，有些新题型是在现有题型的基础上发展而来，例如多选题，在以往的高考试题中，曾经以填空题的形式出现，要求考生填写所有正确选项的编号，此次试测中则对多选题加以规范，以选择题的形式出现．数据分析题一般以统计与概率内容为基础，重点是考查应用知识和原理进行分析、概况的能力．开放题在以往的高考中多是以“是否存在…”的形式出现，一般就只有两种情况，存在或者不存在，现在开发的开放题力图有多种情况，考生可以通过多种途径解决问题，得到不同的答案．‎ ‎2.3.2‎‎ 调查问卷 设计了面向测试学生的调查问卷，了解学生对新题型的适应情况．问卷有10个问题，包括对新试题的熟悉程度、是否影响作答，哪些试题能区分考生、有效考查逻辑推理能力、有效考查应用能力等．被试学生做完试测题后完成这份15分钟的调查问卷．‎ ‎2.3.3‎‎ 访谈提纲 面向学生、教师座谈提纲，共提出6个问题，包括各种题型的考查效果怎样？数学考试中是否应增加逻辑内容，应当如何区别于奥数？数学考试中不能使用计算器，应如何考查数据处理能力？考试结束后，召开学生和教师座谈会，听取了学生和教师的意见和建议．‎ ‎3 研究结果及分析 ‎3.1 统计数据分析 考后对考试结果进行了统计分析（表2~4），试卷的信度为0.72，难度为0.68．试卷的信度较高，总体偏易．‎ ‎3.1.1‎‎ 区 分 度 表2 试题区分度和难度统计 题目 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 区分度 ‎0.32‎ ‎0.42‎ ‎0.48‎ ‎0.55‎ ‎0.48‎ ‎0.49‎ 难 度 ‎0.96‎ ‎0.93‎ ‎0.90‎ ‎0.82‎ ‎0.51‎ ‎0.64‎ 题目 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 区分度 ‎0.33‎ ‎0.27‎ ‎0.50‎ ‎0.53‎ ‎0.71‎ ‎0.73‎ 难 度 ‎0.56‎ ‎0.92‎ ‎0.70‎ ‎0.59‎ ‎0.65‎ ‎0.40‎ 统计结果表明，试题的区分度很好，除第8题偏易，区分度为0.27，其它试题的区分度都在0.3以上，说明新题型能够有效区分考生．特别是数据分析题、举例题和开放题，区分度都达到0.5以上，区分效果很好．‎ ‎3.1.2‎‎ 题型相关性 表3 题型相关系数表 单项选择题 多项选择题 逻辑题 多项选择题 ‎0.31**‎ 逻辑题 ‎0.27**‎ ‎0.22**‎ 数据分析题 ‎0.25**‎ ‎0.17**‎ ‎0.18**‎ 举例题 ‎0.43**‎ ‎0.28**‎ ‎0.29**‎ 开放题 ‎0.45**‎ ‎0.34**‎ ‎0.31**‎ 总分 ‎0.79**‎ ‎0.53**‎ ‎0.56**‎ 数据分析题 举例题 开放题 多项选择题 逻辑题 数据分析题 举例题 ‎0.28**‎ 开放题 ‎0.25**‎ ‎0.52**‎ 总分 ‎0.53**‎ ‎0.71**‎ ‎0.73**‎ 注：**表示在0.01水平上显著 新题型与原有题型的相关较高，各种题型的相关系数保持在合理的范围．如果相关系数太高，说明两个题型的同质性较强，太低又说明两个题型考查的目标差异太大．数据分析题与多项选择题和逻辑题的相关较低，说明其考查目的差异较大．举例题和开放题与总分的相关系数更高，说明其在总分的构成中发挥的作用更大．‎ ‎3.1.3‎‎ 能力成分相关性 为了便于命题考查，考后评价和公众理解，这里将《考试大纲》[8]中的7种能力成分进行了重新研究，将其整合为5种能力，即逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力、数据处理能力、创新应用能力[9]．‎ 表4 能力成分相关系数表 逻辑 思维 运算 求解 空间 想象 数据 处理 创新 应用 逻辑思维 运算求解 ‎0.33**‎ 空间想象 ‎0.34**‎ ‎0.21**‎ 数据处理 ‎0.39**‎ ‎0.23**‎ ‎0.26**‎ 创新应用 ‎0.56**‎ ‎0.27**‎ ‎0.30**‎ ‎0.35**‎ 注：**表示在0.01水平上显著 各能力成分间的相关系数基本平衡，适中的相关系数说明各种题型能够相互协调，各自发挥不同的考查作用．其中创新应用能力与逻辑思维能力的相关最高，这也在一定程度上表明：逻辑思维能力是创新应用能力的重要基础[9]．‎ ‎3.2 考生调查问卷统计 ‎（1）考生对试题的熟悉程度和对作答的影响程度统计结果如表5所示．‎ 表5 考生对试题的熟悉程度和对作答的影响程度 熟悉，不影响作答%‎ 不熟悉，但不影响作答%‎ 不熟悉，影响作答%‎ 其它%‎ 多选题 ‎14‎ ‎52‎ ‎33‎ ‎1‎ 逻辑题 ‎25‎ ‎50‎ ‎24‎ ‎1‎ 数据分析题 ‎32‎ ‎39‎ ‎28‎ ‎1‎ 举例题 ‎20‎ ‎46‎ ‎33‎ ‎1‎ 开放题 ‎37‎ ‎31‎ ‎31‎ ‎1‎ 从表5可以看出，在各个选项中，考生选“不熟悉，但不影响作答”的比例最高．80%左右的考生对多选题和逻辑题都不熟悉，对其余3种题型不熟悉的考生达到60%—70%，说明5种题型都比较新颖，考生以前基本没有接触过．但选择“不影响作答”的考生的比例也达到70%，说明大部分考生能够适应新题型．‎ ‎（2）哪类试题能有效考查逻辑思维能力？（可以多选）统计结果如表6所示．‎ 表6 各种题型对考查逻辑思维有效性统计 题型 多选题 逻辑题 数据分析题 举例题 开放题 比例%‎ ‎9‎ ‎48‎ ‎9‎ ‎15‎ ‎19‎ 表6说明，考生认为，相比其它题型，逻辑题更能有效考查逻辑思维能力，其次是开放题和举例题．‎ ‎（3）你认为哪类试题能有效考查应用意识？（可以多选）统计结果如表7所示．‎ 表7 各种题型对考查应用能力有效性统计 题型 多选题 逻辑题 数据分析题 举例题 开放题 比例%‎ ‎11‎ ‎14‎ ‎37‎ ‎18‎ ‎20‎ 表7说明，数据分析题是考查应用能力的一种很有效的试题，开放题如果有应用背景，也能有效考查应用意识．‎ ‎（4）你认为哪类试题能有效区分考生？（可以多选）统计结果如表8所示．‎ 表8 各种题型对区分考生的有效性统计 题型 多选题 逻辑题 数据分析题 举例题 开放题 比例%‎ ‎17‎ ‎19‎ ‎6‎ ‎14‎ ‎44‎ 在区分考生方面，开放题受到了考生的认可，有近半数的考生认为开放题可以有效区分考生，其次是逻辑题和多 选题．‎ ‎3.3 教师和学生座谈会摘要 学生与教师都认为数学试测题题型新颖，是以前从来没有遇到过的，对数学能力的考查效果比较好．教师和学生认为新题型主要有以下特点．‎ ‎（1）突出逻辑思维能力的考查．‎ 试测题中增加了逻辑题，采用填空题的方式考查学生的逻辑思维能力，这是以往高考中没有的．学生认为逻辑题比较有趣，非常喜欢．试题不依赖具体的数学知识，面向全体考生，体现公平．教师认为这类试题能较好地考查逻辑思维能力，可以在今后的高考中引进．‎ ‎（2）对考生区分力度加大．‎ 学生认为多项选择题能够准确区分不同层次的学生．现在的高考选择题只有单项选择题，存在一定的猜测几率；而试测题增加了多项选择题，学生必须逐个分析每一个选项、正确推导才能得出答案．‎ 教师则认为试题增加了考生答题时间，多个选项可能造成学生混乱，不能完全作对，建议要控制试题的数量和难度．‎ ‎（3）试题更加开放．‎ 学生认可开放题的设计，认为和老师课堂上只教授结论不一样，需要自己动脑筋去琢磨、去思考．现在使用的高考试题相对封闭，对考生的探究能力、思维过程的考查有限．而新增加的开放题，给了学生思考的空间，能够充分的展示思维过程．‎ 教师则认为开放题形式较好，对学生的思维能有效测量和区分，但是担心试题较难，可能影响学生的得分，同时担心过于开放的试题会给阅卷以及评价学生带来一定困难．‎ ‎（4）促进教学方式的改变．‎ 举例题要求考生通过给出已知结论、性质和定理等条件，从题干中获取信息，整理信息，写出符合题干的结论或是具体实例．学生认为举例题计算量比较小，平时老师只是讲正确推理过程，而缺少对推理过程的反思．教师则应对教学起引导作用，不能再向以前那样简单灌输知识，而需要教会学生去批判、去反思．‎ ‎（5）创新考查数据处理能力．‎ 数据处理能力是课程标准新增加的能力，以往试题对数据处理能力的考查往往对数据运算量不好控制．试测题则是更关注处理数据、挖掘数据、解释数据．学生和教师都认为这种考查方式能够较好测量学生的数据处理能力，试题给出了两组无序数据，需要合理运用所学知识去解决问题，这样的考查方式与以往试题相比进行了创新．‎ ‎4 结 论 从统计结果、调查问卷、学生与教师座谈可以发现，数学科开发的高考题型新颖别致，考查效果良好，受到了学生和教师的欢迎．‎ ‎（1）新题型的统计数据表明，新题型能够很好发挥区分作用，有效区分考生．各种题型考查目的不同，但相互协调，能够比较全面考查各种数学能力．新题型达到了设计目的．‎ ‎（2）对于试测题，学生欢迎变革，认为试题新颖、有趣，虽然没有见过、并不熟悉，但并不影响作答．教师则表示需要持慎重态度，稳步改革，逐步推进，同时需要改进教学 方式．‎ ‎（3）这次开发的一些新题型对命题技术和配套的阅卷能力提出了较高的要求．例如开放题，因为高考是高厉害考试，要求对试题开放程度和答案种类可知可控，对考生的答题有明确的对错判定标准．因此在命制和使用开放题时要综合考虑试题的开放程度和阅卷的工作量，在考查考生能力、控制评卷误差和减少阅卷工作量之间达到平衡．‎ ‎（4）新题型的难度控制是一个重要的问题，还需要对考生水平进行更深入的了解，也需要更多的试测数据支持．命题技术还需要进一步的研究完善，以便对知识的覆盖和能力的考查更为有效，题型的运用更加得心应手．‎ ‎（5）一些新题型与传统题型的搭配考查效果并没有在这次测试中进行检验，在今后的测试中，还需要将各种新题型和传统题型结合在一起，搭配考查，以便进一步测试新题型的考查效果．‎ ‎（6）此次测试重点是测试新题型的考查效果，因此没有组成一份和正式高考题量和时间相同的完整试卷，今后应将新题型和高考原有题型相结合，组成完整的试卷，进行两小时的测试，检验试卷整体的考查功能．‎ 这次测试为高考新题型的开发、研制、使用积累了实证的数据结果，为高考题型的创新和试卷结构的优化奠定了基础．今后应加强研究，继续开展测试，总结和积累经验，完善新高考的题型和试卷结构，为高考改革做好准备．‎ ‎［参 考 文 献］‎ ‎[1] 王孝玲．教育测量[M]．上海：华东师范大学出版社，2007．‎ ‎[2] 李宝臻，孙名符．新课改背景下高中数学教师数学史与数学文化知识的现状调查[J]．数学教育学报，2013，22（2）：49-53．‎ ‎[3] 祝振兵，周晓莹，连东方．课题公正对数学学业成绩的影响[J]．数学教育学报，2013，22（2）：54-57．‎ ‎[4] 李顺雨，田澜，李宏翰．高中生数学学习适应性问卷的初步编制[J]．数学教育学报，2013，22（4）：62-65.‎ ‎[5] 王宽明．贵州中小学数学“骨干教师”对“国培计划”服务质量满意度的调查研究[J]．数学教育学报，2013，22（3）：66-70．‎ ‎[6] 于鸿丽．数学教师信息技术应用存在问题分析[J]．数学通报，2014，（4）：5-8．‎ ‎[7] 高雪芬．大学与高中衔接教育研究中的若干问题评述[J]．数学通报，2014，（5）：7-9．‎ ‎[8] 教育部考试中心．普通高等学校招生全面统一考试大纲的说明[M]．北京：高等教育出版社，2013．‎ ‎[9] 任子朝．高考数学能力层次和考查效度研究[J]．中国考试，2012，（7）：3-8．‎ ‎[10] 叶晶，陈清华．基于内外部表征的数学高考应用题分析[J]．数学教育学报，2014，23（4）：92-95．‎ ‎[11] 赵思林，翁凯庆．高考数学命题“能力立意”的问题与对策[J]．数学教育学报，2013，22（4）：85-89．‎ Research on New Items in College Entrance Examination of Mathematics REN Zi-zhao, ZHANG Jian-shi, CHEN Ang ‎(National Educational Examinations Authority, Beijing 100084, China)‎ Abstract: To deepen the content and form of the college entrance examination reform, the department of mathematics develops five new items in math examination: multiple choice question, logic-based question, data analysis question, example illustration question and open-ended question. We selected one province from each of the eastern, central, western areas in China, and sampled over 1000 senior high school students in each province. The statistical data, questionnaire survey and panel discussion after the tests indicate that the new items have high degree of distinction, which can effectively test students’ mathematics ability. Due to their novelty, they can promote the transformation of the teaching method in middle schools, and will be welcome by the teachers and students.‎ Key words: college entrance examination; new item; pre-test 附录——新题型示例 例1 多项选择题：‎ 某城市为促进家庭节约用电，计划制定阶梯电价. 阶梯电价按年月均用电量从低到高分为一、二、三、四档，属于第一档电价的家庭约占全市的10%，属于第二档约占40%，属于第三档约占30%，属于第四档约占20%．为确定各档之间的界限，从该市的家庭中抽查了部分家庭，调查了他们上一年度的年月均用电量（单位：千瓦时），由调查结果得下面的直方图．‎ 由此直方图可以作出的合理判断是 ‎（A）年月均用电量不超过80千瓦时的家庭属于第一档 ‎（B）年月均用电量低于200千瓦时，且超过80千瓦时的家庭属于第二档 ‎（C）年月均用电量超过240千瓦时的家庭属于第四档 ‎（D）该市家庭的年月均用电量的平均数大于年月均用电量的中位数 例2 逻辑题：‎ 甲、乙、丙、丁四人商量去看电影．甲说：乙去我才去；乙说：丙去我才去；丙说：甲不去我就不去；丁说：乙不去我就不去．‎ 最后有人去看电影，有人没去看电影，去的人是 ．‎ 例3 数据分析题：‎ 为了比较两种复合材料制造的轴承（分别称为类型Ⅰ轴承和类型Ⅱ轴承）的使用寿命，检验了两种类型轴承各30个，它们的使用寿命（单位：百万圈）如下表：‎ 类型Ⅰ ‎6.2‎ ‎6.4‎ ‎8.3‎ ‎8.6‎ ‎9.4‎ ‎9.8‎ ‎10.3‎ ‎10.6‎ ‎11.2‎ ‎11.4‎ ‎11.6‎ ‎11.6‎ ‎11.7‎ ‎11.8‎ ‎11.8‎ ‎12.2‎ ‎12.3‎ ‎12.3‎ ‎12.5‎ ‎12.5‎ ‎12.6‎ ‎12.7‎ ‎12.8‎ ‎13.3‎ ‎13.3‎ ‎13.4‎ ‎13.6‎ ‎13.8‎ ‎14.2‎ ‎14.5‎ 类型Ⅱ ‎8.4‎ ‎8.5‎ ‎8.7‎ ‎9.2‎ ‎9.2‎ ‎9.5‎ ‎9.7‎ ‎9.7‎ ‎9.8‎ ‎9.8‎ ‎10.1‎ ‎10.2‎ ‎10.3‎ ‎10.3‎ ‎10.4‎ ‎10.6‎ ‎10.8‎ ‎10.9‎ ‎11.2‎ ‎11.2‎ ‎11.3‎ ‎11.5‎ ‎11.5‎ ‎11.6‎ ‎11.8‎ ‎12.3‎ ‎12.4‎ ‎12.7‎ ‎13.1‎ ‎13.4‎ ‎（Ⅰ）试利用所学的统计知识，选用一种统计图显示以上统计数据；‎ ‎（Ⅱ）根据所作的统计图回答以下问题：‎ ‎（ⅰ）对于类型Ⅰ轴承，应该用平均数还是中位数度量其寿命分布的中心？说明理由；‎ ‎（ⅱ）若需要使用寿命尽可能大的轴承，应选哪种轴承？‎ ‎（iii）若需要使用寿命的波动性尽可能小的轴承，应选哪种轴承？‎ 例4 举例题：‎ 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则总有a+b>c．由正弦定理得．由导数公式：，可以得到结论：对任意△ABC有．‎ 上述结论是否正确？如果不正确，请举出反例，并指出推导过程中的错误．‎ 例5 开放题：‎ 类似于圆的切线，将与椭圆只有一个公共点的直线称为椭圆的切线．‎ 已知椭圆的中心为O，右顶点为A，在线段OA上任意选定一点（），过点M作与x轴垂直的直线交C于P，Q两点．‎ ‎（Ⅰ）设，在OM的延长线上求一点N，使得，，成等比数列，并证明直线PN，QN都是C的切线；‎ ‎（Ⅱ）通过解答（Ⅰ），猜想求过椭圆()上一点(, )的切线方程的一种方法，再加以证明．‎ ‎[责任编校：周学智]‎