湖北省武汉市华师一附中2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

湖北省武汉市华师一附中2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 华师一附中2019-2020学年度下学期高一期中诚信检测 数学试题 Ⅰ卷（共16小题，满分80分）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知向量，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可求出的值，从而可得到的坐标，然后可求出模.‎ ‎【详解】解：因为向量，且，‎ 所以，解得，‎ 所以，所以，‎ 所以 故选：D ‎【点睛】此题考查向量的坐标运算，向量垂直，向量的模，属于基础题.‎ ‎2.已知，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过作差得到，根据判别式和开口方向可知，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，即 本题正确选项：‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查作差法判断大小问题，关键是通过作差得到二次函数，根据判别式和开口方向得到符号.‎ ‎3.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由斜二测直观图还原原图形如图，‎ 因为边O′B′在x′轴上，所以，在原图形中对应的边应在x轴上，且长度不变，‎ O′A′在y′轴上，所以，在原图形中对应的边应在y轴上，且长度增大到2倍，‎ 因O′B′=1，所以O′A′=，则OA=2．则S△ABO=OBOA=×1×2=‎ 考点：斜二测画法．‎ ‎4.已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（ ）‎ A. 3 B. 6 C. 9 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 由等比数列的性质可将转化为，从而得，所以，再由等差数列的性质可求出.‎ ‎【详解】解：因为数列为等比数列，，‎ 所以，解得，‎ 因，所以，‎ 因为数列是等差数列，‎ 所以，‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的性质，属于基础题.‎ ‎5.已知的内角的对边分别为，且，，，则（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由正弦定理将中的边转化为角，可得，可求出角，再利用余弦定理可求得结果.‎ ‎【详解】解：因为，‎ 所以正弦定理得，‎ 所以，得，‎ - 23 -‎ 因为，所以，‎ 又因为，所以，‎ 因为，，‎ 所以由余弦定理得，，‎ 所以 故选：B ‎【点睛】此题考查的是利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.‎ ‎6.《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知三人分配奖金的衰分比为，若分得奖金1000元，则所分得奖金分别为900元和810元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为（ ）‎ A. ，12800元 B. ，12800元 C. ，10240元 D. ，10240元 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得甲、乙、丙、丁获得奖金组成等比数列，设“衰分比”为，则数列的公比为，而由题意可知，进而计算可得的值.‎ ‎【详解】解：由题意设，甲、乙、丙、丁获得奖金组成等比数列，设“衰分比”为，则数列的公比为，则有 则有，，‎ 解得 ，则，‎ - 23 -‎ 因为 所以，解得 故选：A ‎【点睛】此题考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题.‎ ‎7.若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A. 1∶2 B. 1∶‎ C. 1∶ D. ∶2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案 ‎【详解】设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r．∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr故选C．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．‎ ‎8.在中，，分别为，边上的点，且，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可设，然后根据向量减法、加法的几何意义，以及向量的数乘运算即可得出，从而根据平面向量基本定理即可得出，解出即可．‎ ‎【详解】解：如图，‎ - 23 -‎ 设，且，则：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，解得，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量加法和减法的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎9.若正数a,b满足a+b=2,则 的最小值是( )‎ A. 1 B. C. 9 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 由可得，所以可得，由基本不等式可得结果.‎ ‎【详解】∵，∴，‎ 又∵，，‎ - 23 -‎ ‎∴‎ ‎，‎ 当且仅当，‎ 即，时取等号,‎ ‎ 的最小值是,故选B.‎ ‎【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎10.对于实数表示不超过的最大整数.已知正项数列满足，，其中为数列的前项和，则（ ）‎ A. 135 B. 141 C. 149 D. 155‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知数列的前项和求其得通项，再求 ‎【详解】解：由于正项数列满足，，‎ 所以当时，得，‎ 当时，‎ 所以，‎ 所以，‎ - 23 -‎ 因为各项为正项，所以 因为,‎ ‎, , ,‎ ‎.‎ 所以，‎ 故选：D ‎【点睛】此题考查了数列的已知前项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题.‎ ‎11.已知点为线段上一点，为直线外一点，是的角平分线，为上一点，满足，，，则的值为（ ）‎ A. B. C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合向量的运算法则可得点I为三角形内切圆的圆心，结合三角形内切圆与边长关系的公式和向量的数量积运算公式整理计算即可确定的值.‎ ‎【详解】由可得，‎ 所以I在∠BAP角平分线上，由此得I是△ABP的内心，‎ 过I作IH⊥AB于H，I为圆心，IH为半径，作△PAB的内切圆，‎ - 23 -‎ 如图，分别切PA，PB于E，F，‎ ‎，则，‎ ‎，‎ 在直角三角形BIH中,，‎ 所以.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的运算法则，内切圆的性质，向量数量积的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎12.设数列的前项和为已知且，若，则的最大值为（ ）‎ A. 49 B. 50 C. 51 D. 52‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对分奇偶性分别讨论，当为偶数时，可得，发现不存在这样的偶数能满足此式，当为奇数时，可得，再结合可讨论出的最大值.‎ ‎【详解】当为偶数时，‎ - 23 -‎ ‎，‎ 因为，‎ 所以不可能为偶数；‎ 当为奇数时，‎ 因为，‎ ‎，‎ 又因为，，所以 ‎ 所以当时，的最大值为49‎ 故选：A ‎【点睛】此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案写在答题纸上的相应位置.）‎ ‎13.设为实数，且，则下列不等式正确的是______.（仅填写正确不等式的序号）‎ ‎①；②；③；④；⑤‎ ‎【答案】④⑤‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的性质分别进行验证即可得答案.‎ ‎【详解】因为为实数，且，‎ - 23 -‎ 对于①因为，所以 所以，即，所以①不正确；‎ 对于②当时，结论不成立，所以②不正确；‎ 对于③④因为，所以 因为，所以，即，所以③不正确，④正确；‎ 对于⑤因为，所以，所以⑤正确 故答案为：④⑤‎ ‎【点睛】此题考查了不等式的基本性质及应用，考查了推理论证的能力，属于基础题.‎ ‎14.已知向量是平面内的一组基底，若，则称有序实数对为向量在基底下的坐标.给定一个平面向量，已知在基底下的坐标为，那么在基底，下的坐标为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可知，若将，作为基底，则设，然后展开化简得，，从而得，解出的值就得到所求的坐标 ‎【详解】解：由在基底下的坐标为，得，‎ 设在基底，下的坐标为，则 所以 所以 - 23 -‎ 解得，‎ 所以在基底，下的坐标为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查的平面向量基本定理及应用，属于基础题 ‎15.已知函数（是自然对数的底数），设，，数列的前项和为，则的值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得， ，且，进而可得，结合数列的通项公式可得 ‎，‎ 从而可得答案.‎ ‎【详解】根据题意，‎ 因为，所以，，‎ 所以，‎ - 23 -‎ 因为 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查数列的求和以及数列与函数的关系，关键是分析，属于中档题.‎ ‎16.如图，在平面四边形中，，，，则的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图，延长交于点，设，求出，即可求出的取值范围.‎ ‎【详解】解：如图，延长交于点，则 在中，, ‎ 所以设，‎ 因为，‎ - 23 -‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以的取值范围为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题.‎ Ⅱ卷（共6小题，满分70分）‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案写在答题纸上的相应位置.）‎ ‎17.已知向量和，其中，，‎ ‎（1）当为何值时，有、平行；‎ ‎（2）若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），（2）且 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，设，则有，再结合，，可求出的值；‎ ‎（2）根据题意，若向量与的夹角为钝角，则有，由数量积的计算公式可得 - 23 -‎ ‎，再结合向量不共线分析可得答案.‎ ‎【详解】解：（1）因为、平行，所以设，‎ 所以，即 因为，，得与不共线，‎ 所以，得，‎ ‎（2）因为向量与的夹角为钝角，‎ 所以，‎ 因为向量和，其中，‎ 所以，，‎ 所以 ，解得，‎ 又因为向量与不共线，所以由（1）可知 所以且 ‎【点睛】此题考查向量的数量积运算，涉及向量平行的判定，关键是掌握向量数量积与向量夹角的关系，属于中档题.‎ ‎18.在数列，中，，，.等差数列的前两项依次为.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知递推式可得，即为，由等差数列的定义可得公差，从而得到所求的通项公式；‎ - 23 -‎ ‎（2）由，，.两式相加，结合等比数列的定义可得，从而可得数列的通项公式，再由数列的错位相减法求和即可 ‎【详解】解：（1）因为，，，‎ 可得，，‎ 所以，‎ 所以，等差数列的公差为7‎ 所以 ‎（2）因为，，‎ 所以两式相加得，，‎ 所以数列是以3为公比，2为首项的等比数列，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ ‎，‎ 两式相减得，‎ 所以 ‎【点睛】此题考查等差数列的通项公式和等比数列的定义和通项公式，求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题 ‎19.如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底的正南方向的 - 23 -‎ 点处测得山顶的仰角为，该测量车在水平面上向北偏西方向行驶后到达点，在点处测得乙山山顶的仰角为，且，经计算，，若甲、乙山高分别为、，求两山山顶之间的距离.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先在中，利用已知条件求得，进而连接，在中，，求得，可推断出为等边三角形，进而求出，从而在中利用勾股定理求得，中，利用，，求得，最后在中，利用余弦定理求得 ‎【详解】解：在中，，‎ 所以，‎ 连接，在中，，，‎ 所以为等边三角形，‎ 所以，‎ 在中，由，得， 在中，，，得 在中，‎ 所以 ‎【点睛】此题考查了解三角形的实际应用，考查了学生解决实际际问题的能力，属于中档题 - 23 -‎ ‎20.已知的内角所对应的边分别为，（其中为的外接圆的半径）且的面积.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的面积的最大值.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角形面积计算公式、余弦定理、倍角公式可得，‎ ‎（2）利用正弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质即可得出 ‎【详解】解：（1）因为，‎ 所以，‎ 所以 ‎，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 所以 ‎（2）因为，所以由正弦定理得，，‎ 由，得，‎ 所以，当且仅当时，取等号，‎ - 23 -‎ 所以的面积的最大值为 ‎【点睛】此题考查了三角形面积计算公式、余弦定理、倍角公式、正弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 ‎21.如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．‎ ‎（1）求||；‎ ‎（2）已知点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．‎ ‎①当λ=时，求•；‎ ‎②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）①② ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用余弦定理求出的长即得||； （2）① 时，分别是的中点，表示出，，利用向量的数量积计算即可； ②假设存在非零实数，使得⊥，利用分别表示出 和 ‎ 求出 时的值即可．‎ ‎【详解】（1） 且 ‎ ‎ - 23 -‎ ‎（2）①λ=时， =， =，‎ ‎∴D、E分别是BC，AB的中点，‎ ‎∴=+=+，‎ ‎=（+），‎ ‎∴•=（+）•（+）‎ ‎=•+•+•+‎ ‎=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22 =； ‎ ‎②假设存在非零实数λ，使得⊥，‎ 由=λ，得=λ（﹣），‎ ‎∴=+=+λ（﹣）=λ+（1﹣λ）；‎ 又=λ，‎ ‎∴=+=（﹣）+λ（﹣）=（1﹣λ）﹣；‎ ‎∴•=λ（1﹣λ）﹣λ•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）‎ ‎=4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）‎ ‎=﹣3λ2+2λ=0，‎ 解得λ=或λ=0（不合题意，舍去）；‎ 即存在非零实数λ=，使得⊥．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综合性题目．‎ ‎22.已知数列满足，，.‎ ‎（1）若，，，求的取值范围；‎ ‎（2）若是公比为的等比数列，，，，求的取值范围；‎ ‎（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值.‎ ‎【答案】（1），（2），（3）‎ - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得，又，将已知代入可求出的范围；‎ ‎（2）先求出通项，由求出，对分类讨论求出，分别代入不等式，得到关于的不等式组，解不等式组求出的范围；‎ ‎（3）由题意得到关于的不等式，得出的最大值，并得出取最大值时的公差 ‎【详解】解：（1）由题意得，，所以，‎ 又因为，所以，得，‎ 综上所述， ‎ ‎（2）由已知得，，‎ 所以，‎ 当时，，，即，成立，‎ 当时，，，即，‎ ‎，得，‎ 因为，故，‎ 对于不等式，令，得，‎ 解得，‎ 又当，，‎ 所以成立 所以，‎ - 23 -‎ 当时，，，‎ 即，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以当时，不等式恒成立，‎ 综上所述，的取值范围为 ‎（3）设的公差为，由，且，‎ 得，‎ 即，‎ 当时，，‎ 当时，由，得， 所以，‎ 所以，‎ 即，得，‎ 所以的最大值为 ‎【点睛】此题考查等比数列的通项公式及前项和的求法，考查不等式组的解法，属于难题 - 23 -‎ ‎ ‎ - 23 -‎