2016年广西河池市高级中学高考一模数学文

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2016 年广西河池市高级中学高考一模数学文 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A={x|-2＜x＜1}，B={x|x＞0}，则集合 A∪B 等于( ) A.{x|x＞-2} B.{x|0＜x＜1} C.{x|x＜1} D.{x|-2＜x＜1} 解析：∵集合 A={x|-2＜x＜1}， B={x|x＞0}， ∴集合 A∪B={x|x＞-2}. 答案：A. 2. 若复数 1 ai i   是纯虚数，则实数 a 的值为( ) A.0 B.-3 C.1 D.-1 解析：∵          111 1112 aiiaaiai iii   是纯虚数， ∴ 10 10 a a    ＝ ，解得：a=1. 答案：C. 3. 设 a，b∈R，则“(a-b)a2＜0”是“a＜b”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：∵a，b∈R，则(a-b)a2＜0， ∴a＜b 成立， 由 a＜b，则 a-b＜0，“ (a-b)a2≤0， 所以根据充分必要条件的定义可的判断： a，b∈R，则“(a-b)a2＜0”是 a＜b 的充分不必要条件. 答案：A 4. 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1=2，a5=3a3，则 S9=( ) A.-72 B.-54 C.54 D.90 解析：设等差数列{an}的公差为 d， ∵a1=2，a5=3a3，∴2+4d=3(2+2d)， 解得 d=-2， ∴S9=9a1+ 9 2 8 d=-54 答案：B 5. 已知向量 a =(1，1)， b =(3，m)， a ∥( a + )，则 m=( ) A.2 B.-2 C.-3 D.3 解析：因为向量 a =(1，1)， ＝(3，m)，所以 a + =(4，1+m)； 又 a ∥( a + )， 所以 1×(1+m)-1×4=0， 解得 m=3. 答案：D. 6. 已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 y 轴的交点，且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切，则圆的标 准方程为( ) A.x2+(y-1)2=8 B.x2+(y+1)2=8 C.(x-1)2+(y+1)2=8 D.(x+1)2+(y-1)2=8 解析：对于直线 x-y+1=0，令 x=0，解得 y=1. ∴圆心 C(0，1)， 设圆的半径为 r， ∵圆 C 与直线 x+y+3=0 相切， ∴r= 13 2  = 22， ∴圆的标准方程为 x2+(y-1)2=8. 答案：A. 7. 设变量 x，y 满足约束条件： 22 2 yx xy x      ，则 z=x-3y 的最小值( ) A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 解析：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示， 由图可知目标函数在点(-2，2)取最小值-8 答案：D. 8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)为( ) A.π+ 3 3 B.2π+ C.2π+ 3 D.π+ 3 解析：由三视图，该组合体上部是一三棱锥，下部是一圆柱由图中数据知 V 圆柱=π×12×1=π 三棱锥垂直于底面的侧面是边长为 2 的等边三角形，且边长是 2，故其高即为三棱锥的高， 高为 3 故棱锥高为 3 由于棱锥底面为一等腰直角三角形，且斜边长为 2，故两直角边长度都是 2 底面三角形的面积是 1 2 × 2 × 2 =1 故 V 棱锥＝ 1 3 ×1× 3 = 3 3 故该几何体的体积是π+ 答案：A. 9. 执行如图所示的程序框图，输出的 k 值是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析：第一次循环：n=3×5+1=16，k=0+1=1，继续循环； 第二次循环：n= 16 2 =8，k=1+1=2，继续循环； 第三次循环：n= 8 2 =4，k=2+1=3，继续循环； 第四次循环：n= 4 2 =2，k=3+1=4，继续循环； 第五次循环：n= 2 2 =1，k=4+1=5，结束循环. 输出 k=5. 答案：B. 10. 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A＞0，|φ|＜ 2  )的图象如图所示，为了得到 g(x)=sin2x 的图象，则只要将 f(x)的图象( ) A.向右平移 6  个单位长度 B.向右平移 12  个单位长度 C.向左平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度 解析：根据函数的图象：A=1 又 4 T ＝ 7 12  - 3  解得：T=π 则：ω=2 当 x= 时，f( )=sin( 2 3  +φ)=0 解得：φ＝ 所以：f(x)=sin(2x+ ) 要得到 g(x)=sin2x 的图象只需将函数图象向右平移 个单位即可. 答案：A 11. 三棱锥 P-ABC 的四个顶点均在半径为 2 的球面上，且 AB=BC=CA=2 3 ，平面 PAB⊥平面 ABC，则三棱锥 P-ABC 的体积的最大值为( ) A.4 B.3 C.4 D.3 2 解析：根据题意：半径为 2 的球面上，且 AB=BC=CA=2 ， △ABC 为截面为大圆上三角形， 设圆形为 O，AB 的中点为 N，ON= 223 =1 ∵平面 PAB⊥平面 ABC， ∴三棱锥 P-ABC 的体积的最大值时，PN⊥AB，PN⊥平面 ABC， PN= 221 = 3 ， ∴三棱锥 P-ABC 的体积的最大值为 1 3 × 3 4 ×(2 )2× =3. 答案：B 12. 已知离心率为 e 的双曲线和离心率为 2 2 的椭圆有相同的焦点 F1、F2，P 是两曲线的一 个公共点，∠F1PF2= 3  ，则 e 等于( ) A. 5 2 B. 5 2 C. 6 2 D.3 解析：设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的实半轴长为 a2，焦距为 2c，|PF1|=m，|PF2|=n，且 不妨设 m＞n， 由 m+n=2a1，m-n=2a2 得 m=a1+a2，n=a1-a2. 又∠F1PF2＝ ，∴4c2＝m2+n2-mn＝a1 2+3a2 2， ∴ 12 22 22 3aa cc ＝4，即+ 2 2 13 2 2 e    ＝4， 解得 e＝ . 答案：C. 二、填空题(每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上) 13. 设 f(x)=   2 2 22 12 x x log x x    ， ， ＞ ，则 f(f(5))=_____. 解析：由题意知，f(x)=   2 2 22 12 x x logxx    ， ， ＞ ， 则 f(5)=log24=2， ∴f(f(5))=f(2)=22-2=1. 答案：1. 14. 设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，8a2-a3=0，则 4 2 S S =_____. 解析：设等比数列{an}的公比为 q， ∵8a2-a3=0， ∴a2(8-q)=0， 解得 q=8. 则 =     4 1 2 1 1 1 1 1 aq q aq q     =1+q2=65. 答案：65. 15. 长方形 ABCD 中，AB=2，BC=1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的 点到 O 的距离大于 1 的概率为_____. 解析：根据几何概型得： 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率： p＝ d D 外部分的面＝ 矩形的面 圆 积 积 = 2?2 21   =1- 4  . 答案：1- 4  16. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，设其导函数为 f′(x)，当 x∈(-∞，0]时，恒有 xf′ (x)＜f(-x)，令 F(x)=xf(x)，则满足 F(3)＞F(2x-1)的实数 x 的取值范围是_____. 解析：∵f(x)是奇函数， ∴不等式 xf′(x)＜f(-x)，等价为 xf′(x)＜-f(x)， 即 xf′(x)+f(x)＜0， ∵F(x)=xf(x)， ∴F′(x)=xf′(x)+f(x)， 即当 x∈(-∞，0]时，F′(x)=xf′(x)+f(x)＜0，函数 F(x)为减函数， ∵f(x)是奇函数， ∴F(x)=xf(x)为偶数，且当 x＞0 为增函数. 即不等式 F(3)＞F(2x-1)等价为 F(3)＞F(|2x-1|)， ∴|2x-1|＜3， ∴-3＜2x-1＜3， 即-2＜2x＜4， ∴-1＜x＜2， 即实数 x 的取值范围是(-1，2). 答案：(-1，2). 三、解答题(本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知△ABC 中的内角 A，B，C 对边分别为 a，b，c， 3 sin2A+2cos2A＝2，a＝ 3 . (1)若 cosB＝ 3 3 ，求 b； (2)若 2sinB=sinC，求△ABC 的面积. 解析：(1)利用倍角公式、和差公式可得 A，再利用同角三角函数基本关系式、正弦定理即 可得出. (2)由 2sinB=sinC，利用正弦定理可得：2b=c，由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA，联立解 出 bc 即可得出. 答案：(1)∵ 3 sin2A+2cos2A＝2， ∴ 3 sin2A+cos2A=1， ∴ 3 2 sin2A+ 1 2 cos2A= ， sin(2A+ 6  )= ，∵A∈(0，π)， ∴2A+ = 5 6  ，解得 A= 3  . 由 cosB＝ 3 3 ，B∈(0，π)，∴sinB= 21 cosB = 6 3 . 在△ABC 中，由正弦定理可得： ab sinA sinB ＝ ， 可得 b= 3 6 263 33 2 asinB sinA  . (2)∵2sinB=sinC，∴2b=c， 由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA， ∴3=b2+c2-bc，与 2b=c 联立解得：b=1，c=2. ∴△ABC 的面积 S= 1 2 bcsinA= ×1×2× 3 2 = 3 2 . 18. 某校为调查 2016 届学业水平考试的数学成绩情况，随机抽取 2 个班各 50 名同学，得如 下频率分布表： (Ⅰ)估计甲，乙两班的数学平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (Ⅱ)数学成绩[60，70)为“C 等”，[70，90)为“B 等”和[90，100]为“A 等”，从两个班成 绩为“A 等”的同学中用分层抽样的方法抽取 5 人，则甲乙两个班各抽取多少人？ (Ⅲ)从第(Ⅱ)问的 5 人中随机抽取 2 人，求这 2 人来自同一班级的概率. 解析：(Ⅰ)由频率分布列能求出甲、乙班数学平均分. (Ⅱ)从两个班成绩为“A 等”的同学中用分层抽样的方法抽取 5 人，由频率分布表能求出甲 乙两个班各抽取多少人. (Ⅲ)设抽取 5 人中，甲班 3 名学生分别为 A、B、C，乙班 2 名同学分别为 D，E，利用列举法 能求出这 2 人来自同一班级的概率. 答案：(Ⅰ)甲班数学平均分为： 55465675 1085 1895 12 80.650   ， 乙班数学平均分： 55265675 1885 16958 79.450   . (Ⅱ)从两个班成绩为“A 等”的同学中用分层抽样的方法抽取 5 人， 则甲班抽取：5× 12 12 8 =人，乙班抽取：5× 8 12 8 =2 人. (Ⅲ)设抽取 5 人中，甲班 3 名学生分别为 A、B、C，乙班 2 名同学分别为 D，E， 则从中随机抽取 2 人的所有可能结果为： AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共 10 个基本事件， 其中来自同一班级的含有：AB，AC，BC，DE，共 4 个基本事件， ∴这 2 人来自同一班级的概率 p= 4 10 ＝ 2 5 . 19. 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC= 1 2 AA1，D 是棱 AA1 的 中点. (Ⅰ)证明：平面 BDC1⊥平面 BDC (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 解析：(Ⅰ)由题意易证 DC1⊥平面 BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面 BDC1⊥平面 BDC； (Ⅱ)设棱锥 B-DACC1 的体积为 V1，AC=1，易求 V1= 1 3 × 12 2  ×1×1= 1 2 ，三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=1，于是可得(V-V1)：V1=1：1，从而可得答案. 答案：(1)由题意知 BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C， ∴BC⊥平面 ACC1A1，又 DC1  平面 ACC1A1， ∴DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°， ∴∠CDC1=90°，即 DC1⊥DC，又 DC∩BC=C， ∴DC1⊥平面 BDC，又 DC1  平面 BDC1， ∴平面 BDC1⊥平面 BDC； (2)设棱锥 B-DACC1 的体积为 V1，AC=1，由题意得 V1= 1 3 × 12 2  ×1×1= 1 2 ， 又三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=1， ∴(V-V1)：V1=1：1， ∴平面 BDC1 分此棱柱两部分体积的比为 1：1. 20. 如图，已知椭圆 C 的中心在原点 O，左焦点为 F1(-1，0)，左顶点为 A，且 F1 为 AO 的中 点. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若椭圆 C1 方程为： 22 22 xy mn ＝1(m＞n＞0)，椭圆 C2 方程为： ＝λ(λ＞0，且 λ≠1)，则称椭圆 C2 是椭圆 C1 的λ倍相似椭圆.已知 C2 是椭圆 C 的 3 倍相似椭圆，若椭圆 C 的任意一条切线 l 交椭圆 C2 于两点 M，N，试求弦长|MN|的最大值. 解析：(1)由椭圆 C 的中心在原点 O，左焦点为 F1(-1，0)，左顶点为 A，且 F1 为 AO 的中点， 求出 a，b，c，由此能求出椭圆 C 的方程. (2)椭圆 C1 的 3 倍相似椭圆 C2 的方程为： 22 12 9 xy ＝1.切线 m 垂直于 x 轴，则其方程为： x=±2，推导出|MN|=2 6 ；若切线 m 不垂直于 x 轴，可设其方程为：y=kx+b，代人椭圆 C1 方程，得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知 条件能求出弦长|MN|的最大值. 答案：(1)∵椭圆 C 的中心在原点 O，左焦点为 F1(-1，0)，左顶点为 A，且 F1 为 AO 的中点， ∴c=1，a=2，∴b2=4-1=3， ∴椭圆 C 的方程为 22 43 xy =1. (2)椭圆 C1 的 3 倍相似椭圆 C2 的方程为： 22 12 9 xy ＝1. ①若切线 m 垂直于 x 轴，则其方程为：x=±2，解得 y=± ， ∴|MN|=2 . ②若切线 m 不垂直于 x 轴，可设其方程为：y=kx+b. 将 y=kx+b 代人椭圆 C1 方程，得：(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0， △=(8kb)2-4(3+4k2)(4b2-12)=48(4k2+3-b2)=0， 即 b2=4k2+3，(*)， 设 M，N 两点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)， 将 y=kx+b 代入椭圆 C2 的方程，得：(3+4k2)x2+8kbx+4b2-36=0， 此时，x1+x2＝ 2 8 34 kb k  ，x1x2= 2 2 436 34 b k   ， ∴|x1-x2|=  22 2 43129 34 kb k   ， ∴|MN|=  22 2 2 222 4 3 12 9 1114 62 6 1 3 43 43 4 kb kk kkk     ， ∵3+4k2≥3，∴1＜1+ 2 1 34k ≤ 4 3 ，即 26＜ 2 12 6 1 34k  ≤ 42， 综合①②，得弦长|MN|的取值范围是[ ， ]， ∴弦长|MN|的最大值是 . 21. 设 f(x)=lnx，g(x)=f(x)+af′(x). (1)求函数 f(x)的图象在点(e，1)处的切线方程； (2)求 g(x)的单调区间； (3)当 a=1 时，求实数 m 的取值范围，使得 g(m)-g(x)＜ 1 m 对任意 x＞0 恒成立. 解析：(1)求出 f(x)的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程； (2)求出 g(x)的导数，对 a 讨论，当 a≤0 时，当 a＞0 时，令导数大于 0，可得增区间，令 导数小于 0，可得减区间； (3)先化简求出 g(x)，在根据导数求出函数 g(x)的最小值，而 g(m)-g(x)＜ 1 m ，对任意 x ＞0 恒成立，转化为 lnm＜g(x)恒成立，问题得以解决. 答案：(1)f(x)=lnx 的导数为 f′(x)= 1 x ， 即有 f(x)在点(e，1)处的切线斜率为 k= 1 e ， 则 f(x)在点(e，1)处的切线方程为 y-1= (x-e)， 即为 x-ey=0； (2)g(x)=f(x)+af′(x)=lnx+ a x ， g′(x)= 22 1 a xxx xa (x＞0)， 当 a≤0 时，g′(x)＞0，g(x)在(0，+∞)上递增； 当 a＞0 时，0＜x＜a 时，g′(x)＜0，g(x)在(0，a)上递减，x＞a 时，g′(x)＞0，g(x)在 (a，+∞)上递增. 综上可得，当 a≤0 时，g(x)的增区间为(0，+∞)； 当 a＞0 时，g(x)的增区间为(a，+∞)，减区间为(0，a). (3)f(x)=lnx，g(x)=f(x)+af′(x)， 即有 g(x)=lnx+ ， 由 a=1，g(x)=lnx+ 1 x ， g′(x)= ， 令 g′(x)=0，解得 x=1， 当 g′(x)＞0，即 x＞1 时，函数 g(x)单调递增， 当 g′(x)＜0，即 0＜x＜1 时，函数 g(x)单调递减， 即有 g(x)min=g(1)=1， 由于 g(m)-g(x)＜ 1 m ，对任意 x＞0 恒成立， 则 lnm+ 1 m - 1 m ＜g(x)，m＞0， 即有 lnm＜g(x)恒成立， 即 lnm＜1， 解得 0＜m＜e， 则实数 m 的取值范围是(0，e). 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修 4-1： 几何证明选讲] 22. 如图，A，B，C，D 四点在同一圆上，BC 与 AD 的延长线交于点 E，点 F 在 BA 的延长线 上. (Ⅰ)若 1= 3 EC EB ， 1= 2 ED EA ，求 DC AB 的值； (Ⅱ)若 EF2=FA·FB，证明：EF∥CD. 解析：(Ⅰ)根据圆内接四边形的性质，可得∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，从而△EDC∽△EBA， 所以有 ==ED EC DC EB EA AB ，利用比例的性质可得 211=23 DC AB    ，得到 6= 6 DC AB ； (Ⅱ)根据题意中的比例中项，可得 =EFFB FAFE ，结合公共角可得△FAE∽△FEB，所以∠FEA= ∠EBF，再由(Ⅰ)的结论∠EDC=∠EBF，利用等量代换可得∠FEA=∠EDC，内错角相等，所以 EF∥CD. 答案：(Ⅰ)∵A，B，C，D 四点共圆， ∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B ∴△EDC∽△EBA，可得 ==EDECDC EBEAAB ， ∴ 2 ==ED EC DC EB EA AB   ，即 211=23 DC AB    ∴ 6= 6 DC AB (Ⅱ)∵EF2=FA·FB， ∴ =EF FB FA FE ， 又∵∠EFA=∠BFE， ∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF， 又∵A，B，C，D 四点共圆， ∴∠EDC=∠EBF， ∴∠FEA=∠EDC， ∴EF∥CD. [选修 4-4：坐标系与参数方程] 23. 已知曲线 C 的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐 标系，直线 L 的参数方程为 1 23 xt yt   ＝ ＝ (t 为参数) (1)写出直线 L 的普通方程与 Q 曲线 C 的直角坐标方程； (2)设曲线 C 经过伸缩变换 1 2 xx yy   ＝ ＝ 得到曲线 C′，设 M(x，y)为 C′上任意一点，求 x2- 3 xy+2y2 的最小值，并求相应的点 M 的坐标. 解析：(1)直接消去参数 t 得直线 l 的普通方程，根据ρ2=x2+y2 可得曲线 C 的直角坐标方程； (2)先根据伸缩变换得到曲线 C′的方程，然后设 M(2cosθ，sinθ)，则 x=2cosθ，y=sin θ代入 x2- xy+2y2，根据三角函数的性质可求出所求. 答案：(1)∵直线 l 的参数方程为 (t 为参数)， ∴消去参数 t 得直线 l 的普通方程为 x-y- +2＝0， ∵ρ=2， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2=4； (2)∵曲线 C：x2+y2=4 经过伸缩变换 得到曲线 C'， ∴C′： 2 2 4 x y ＝1， 设 M(2cosθ，sinθ)则 x=2cosθ，y=sinθ， ∴x2- xy+2y2＝3+2cos(2θ+ 3  )， ∴当θ= +kπ，k∈Z 时，即 M 为(1， 3 2 )或(-1，- )时 x2- xy+2y2 的最小值为 1. [选修 4-5：不等式选讲] 24. 设 f(x)=|x|+2|x-a|(a＞0). (Ⅰ)当 a=l 时，解不等式 f(x)≤4； (Ⅱ)若 f(x)≥4 恒成立，求实数 a 的取值范围. 解析：(Ⅰ)当 a=l 时，f(x)=|x|+2|x-1|= 2 3 0 2 0 1 3 2 1 xx xx xx        ， ＜ ， ， ＞ ，分三种情况求出不等式的解集， 再取并集即得所求. (Ⅱ)化简函数 f(x)=|x|+2|x-a|的解析式，求出它的最小值，由题意可得 f(x)的最小值 a 大于或等于 4，由此求得 a 取值范围. 答案：(Ⅰ)当 a=l 时，f(x)=|x|+2|x-1|= . 当 x＜0 时，由 2-3x≤4，得- 2 3 ≤x＜0； 当 0≤x≤1 时，1≤2-x≤2，解得 0≤x≤1； 当 x＞1 时，由 3x-2≤4，得 1＜x≤2. 综上，不等式 f(x)≤4 的解集为[- ，2]. (Ⅱ)f(x)=|x|+2|x-a|= 2 3 0 20 32 a x x a x x a x a x a        ， ＜ ， ， ＞ . 可见，f(x)在(-∞，a]单调递减，在(a，+∞)单调递增. 当 x=a 时，f(x)取最小值 a. 若 f(x)≥4 恒成立，则应有 a≥4， 所以，a 取值范围为[4，+∞).