高考数学一轮复习讲义—1 集 合

高考数学一轮复习讲义—1 集 合

‎ ‎ 第1讲 集 合 一．【课标要求】‎ ‎1．集合的含义与表示 ‎（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；‎ ‎（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；‎ ‎2．集合间的基本关系 ‎（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；‎ ‎（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；‎ ‎3．集合的基本运算 ‎（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；‎ ‎（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；‎ ‎（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 二．【命题走向】‎ 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。‎ 预测2010年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为：‎ ‎（1）题型是1个选择题或1个填空题；‎ ‎（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用 三．【要点精讲】‎ ‎1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合 ‎（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作；‎ ‎（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；‎ 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；‎ 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；‎ 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；‎ ‎（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；‎ 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；‎ 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。‎ 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。‎ 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。‎ ‎（4）常用数集及其记法：‎ 非负整数集（或自然数集），记作N；‎ 正整数集，记作N*或N+；‎ 整数集，记作Z；‎ 有理数集，记作Q；‎ 实数集，记作R。‎ ‎2．集合的包含关系：‎ 第 14 页 共 14 页 ‎ ‎ ‎（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）；‎ 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B；‎ ‎（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；‎ ‎3．全集与补集：‎ ‎（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；‎ ‎（2）若S是一个集合，AS，则，=称S中子集A的补集；‎ ‎（3）简单性质：1）()=A；2）S=，=S ‎4．交集与并集：‎ ‎（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集。‎ ‎（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。‎ 注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。‎ ‎5．集合的简单性质：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）；‎ ‎（5）（A∩B）=（A）∪（B），（A∪B）=（A）∩（B）。‎ 四．【典例解析】‎ 题型1：集合的概念 ‎ (2009湖南卷理)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__‎ 答案 ：12‎ 解析 设两者都喜欢的人数为人，则只喜爱篮球的有人，只喜爱乒乓球的有人，由此可得，解得，所以，即 所求人数为12人。 ‎ 第 14 页 共 14 页 ‎ ‎ 例1．（2009广东卷理）已知全集，集合和 的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 ( )‎ A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多个 答案 B ‎ 解析 由得，则，有2个，选B.‎ 例2．(2009山东卷理)集合,,若,则的值 为 ( )‎ A.0 B.1 C.2 D.4‎ 答案 D 解析 ∵,,∴∴,故选D.‎ ‎【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.‎ 题型2：集合的性质 例3．(2009山东卷理)集合,,若,则的值为 ( )‎ A.0 B.1 C.2 D.4‎ 答案 D 解析 ∵,,∴∴,故选D.‎ ‎【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.‎ 随堂练习 ‎1.( 广东地区2008年01月份期末试题汇编)设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={ x∈R︱x 2+ x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为 （ ）‎ 第 14 页 共 14 页 ‎ ‎ A．{2} B．{3} ‎ C．{－3，2} D．{－2，3} ‎ ‎2. 已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，则实数a的取值范围为（ ）．‎ 分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答．‎ 解：由题知可解得A={y|y>a2+1或y0, >0，这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0 如果A∩B≠，那么据(2)的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0),而x0=＜0,y0=＜0，这样的(x0,y0)A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B=，所以a1≠0时，一定有A∩B≠是不正确的。‎ 点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。‎ 变式题：解答下述问题：‎ ‎（Ⅰ）设集合，,求实数m的取值范围.‎ 分析：关键是准确理解 的具体意义，首先要从数学意义上解释 的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。‎ 解：‎ 第 14 页 共 14 页 ‎ ‎ 的取值范围是UM={m|m<-2}.‎ ‎（解法三）设这是开口向上的抛物线，，则二次函数性质知命题又等价于 注意，在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。‎ ‎（Ⅱ）已知两个正整数集合A={a1,a2,a3,a4},‎ ‎、B.‎ 分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用，‎ ‎（Ⅲ）‎ 分析：正确理解 要使,‎ 第 14 页 共 14 页 ‎ ‎ 由 当k=0时，方程有解,不合题意；‎ 当①‎ 又由 由②，‎ 由①、②得 ‎∵b为自然数，∴b=2，代入①、②得k=1‎ 点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。‎ 题型6：课标创新题 例13．七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，则有多少不同的排法？‎ 解：设集合A={甲站在最左端的位置}，‎ B={甲站在最右端的位置}，‎ C={乙站在正中间的位置}，‎ D={丙站在正中间的位置}，‎ 则集合A、B、C、D的关系如图所示，‎ ‎∴不同的排法有种.‎ 点评：这是一道排列应用问题，如果直接分类、分步解答需要一定的基本功，容易错，若考虑运用集合思想解答，则比较容易理解。上面的例子说明了集合思想的一些应用，在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。‎ 例14．A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意，都有 ； ②存在常数，使得对任意的，都有 ‎（1）设，证明：‎ ‎（2）设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的;‎ ‎（3）设,任取,令 第 14 页 共 14 页 ‎ ‎ 证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式H。‎ 解：‎ 对任意,,,,所以 对任意的，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎ 所以0<,‎ 令=，‎ ‎，‎ 所以 反证法：设存在两个使得,。‎ 则由，‎ 得，所以，矛盾，故结论成立。‎ ‎，‎ 所以 ‎+…‎ ‎。‎ 第 14 页 共 14 页 ‎ ‎ 点评：函数的概念是在集合理论上发展起来的，而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中，题目比较新颖 五．【思维总结】‎ 集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。‎ ‎1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、、、、=、A、∪，∩等等； ‎ ‎2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；‎ ‎3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。‎ ‎① 区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；‎ ‎② AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ ‎③若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是－1, 所有非空真子集的个数是 ‎④区分集合中元素的形式：‎ 如；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎。‎ ‎⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。‎ ‎⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。‎ 第 14 页 共 14 页 ‎ ‎ 逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力 第 14 页 共 14 页