人教a版高中数学选修1-1课时提升作业（一）1-1-1命题探究导学课型word版含答案
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课时提升作业(一)
命 题
(25 分钟 60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1.(2015·太原高二检测)下列语句不是命题的是 ( )
A.5>8
B.若 a 是正数，则 是正数
C.x∈{-1，0，1，2}
D.正弦函数是奇函数
【解析】选 C.A，B，D 中语句是陈述句且能判断真假，是命题.而 C 中，x∈{-1，0，1，2}
不能判断真假，故不是命题.
2.下列命题是真命题的是 ( )
A.若 = ，则 x=y
B.若 x2=1，则 x=1
C.若 x=y，则 =
D.若 x
4 时，方程 x2-4x+a=0 有实根”是假命题
【解析】选 D.对于 A，改写成“若 p，则 q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角
相等”；B所给语句不是命题；C 的反例可以是“用边长为 3 的等边三角形与底边为 3，腰为
2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明.故选 D.
4.(2015·衡水高二检测)给出下列命题：
①函数 f(x)= 是奇函数；
②函数 f(x)=1 既是奇函数又是偶函数；
③函数 y= 与 y=-log3x 的图象关于直线 y=x 对称；
④若 y=f(x)是定义在 R 上的函数，则 y=f(1+x)与 y=f(1-x)的图象关于 y 轴对称.
其中正确命题的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选 B.①函数 f(x)= 的定义域为 ，图
象不关于原点对称，不是奇函数，
①错误；
②函数 f(x)=1 是偶函数不是奇函数，②错误；
③函数 y= 与 y=-log3x 互为反函数，图象关于直线 y=x 对称，③正确；
④若 y=f(x)是定义在 R 上的函数，函数 y=f(1+x)是把 y=f(x)的图象向左平移 1 个单位得到
的，y=f(1-x)是由 y=f(x)先得到 y=f(-x)，再把 y=f(-x)右移 1 个单位得到 y=f(-(x-1))，
所以 y=f(1+x)与 y=f(1-x)的图象关于 y 轴对称，④正确.
所以正确的命题是③④.
5.(2015·北京高二检测)对于△ABC，有如下命题：
①若 sin2A=sin2B，则△ABC 为等腰三角形
②若 sinB=cosA，则△ABC 是直角三角形
③若 sin2A+sin2B>sin2C，则△ABC 是钝角三角形
④若 = = ，则△ABC 是等边三角形
其中真命题的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选 A.对于①，2A=2B 或 2A+2B=π，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故①为
假命题，对于②，如 B=120°，A=30°满足 sinB=cosA，但△ABC 为钝角三角形，故②为假
命题，对于③，仅能说明 C 为锐角，故③为假命题，对于④，由正弦定理及已知可得
sin =sin =sin ，即 A=B=C，△ABC 为等边三角形，故④为真命题.
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
6.把命题“已知 a，b 为正数，当 a>b 时，有 log2a>log2b”写成“若 p，则 q”的形式：________.
【解析】已知 a，b 为正数，若 a>b，则 log2a>log2b.
答案：已知 a，b 为正数，若 a>b，则 log2a>log2b
7.(2015·广州高二检测)判断下列语句是命题的有________；其中是真命题的有
__________.(只填序号)
①等边三角形是等腰三角形吗？
②作三角形的一个内角平分线.
③在三角形中，大边对大角，小边对小角.
④若 x+y 为有理数，则 x，y 也都是有理数.
⑤x>8.
【解题指南】先根据命题的概念，判断所给语句是否为命题，若是，再判断真假.
【解析】①是疑问句.②是祈使句，不是命题.③是真命题.④是假命题.⑤不能判断真假，不
是命题.
答案：③④ ③
【拓展延伸】判断语句是否为命题的方法
要判断一个语句是不是命题就要看它是否符合“可以判断真假”这个条件.
一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.
数学中的定义、公理、定理等都是命题.
猜想类的，如“每一个不小于 6 的偶数都是两个奇素数之和(哥德巴赫猜想)”虽然目前
不能确定真假，但随着科技发展总能确定其真假.这一类猜想可以作为命题.
8.(2015·烟台高二检测)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
②若α外一条直线 l与α内的一条直线平行，则 l 和α平行；
③设α和β相交于直线 l，若α内一条直线垂直于 l，则α和β垂直.
上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).
【解析】由线面平行及面面平行的判定定理可知，①②正确；当两平面斜交时，在α内的直
线可以与交线垂直，故③不对.
答案：①②
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
9.(2015·天津高二检测)指出下列命题中的条件 p 和结论 q.
(1)若 a，b，c 成等差数列，则 2b=a+c.
(2)偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形.
【解题指南】数学中的一些命题虽然表面上不是“若 p，则 q”的形式，但是把它的表述作
适当改变，就可以写成“若 p，则 q”的形式.一般而言，“若”“如果”“只要”后面是条件，
“则”“那么”“就有”后面是结论.
【解析】(1)条件 p：a，b，c成等差数列，结论 q：2b=a+c.
(2)条件 p：一个函数是偶函数，
结论 q：这个函数的图象关于 y 轴成轴对称图形.
【补偿训练】指出下列命题中的条件 p和结论 q.
(1)若 a，b都是无理数，则 ab 是无理数.
(2)如果一个数是奇数，那么它不能被 2 整除.
(3)函数 y=sinωx(ω≠0)的最小正周期是 .
【解析】(1)条件 p：a，b 都是无理数，结论 q：ab 是无理数.
(2)条件 p：一个数是奇数，结论 q：它不能被 2整除.
(3)条件 p：函数 y=sinωx(ω≠0)，结论 q：它的最小正周期是 .
10.将下列命题写成“若 p，则 q”的形式，并判断其真假.
(1)正 n 边形(n≥3)的 n 个内角全相等.
(2)末位数字是 0 或 5 的整数，能被 5 整除.
(3)方程 x2-x+1=0 有两个实数根.
【解析】(1)若 n(n≥3)边形是正多边形，则它的 n 个内角全相等.真命题.
(2)若一个整数的末位数是 0 或 5，则它能被 5 整数.真命题.
(3)若一个方程是 x2-x+1=0，则它有两个实数根.假命题.
(20 分钟 40 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)
1.(2015·威海高二检测)已知 a，b∈R，下列命题正确的是 ( )
A.若 a>b，则|a|>|b| B.若 a>b，则 <
C.若|a|>b，则 a2>b2 D.若 a>|b|，则 a2>b2
【解析】选 D.A 错误，比如 3>-4，得不到|3|>|-4|；
B 错误，比如 3>-4，得不到 < ；
C错误，比如|3|>-4，得不到 32>(-4)2；
D正确，a>|b|，则 a>0，根据不等式的性质即可得到 a2>b2.
【补偿训练】下列命题正确的是 ( )
A.经过三点确定一个平面
B.两条直线确定一个平面
C.四边形确定一个平面
D.不共面的四点可以确定 4 个平面
【解析】选 D.因为四点不共面，所以任意三点不共线，又不共线的三点确定一个平面，所
以不共面的四点可以确定 4 个平面.
2.(2015·武汉高二检测)给出下列命题
①若 a≥b>-1，则 ≥ ；
②若正整数 m 和 n 满足 m≤n，则 ≤ ；
③设 P1(x1，y1)为圆 O1：x2+y2=9 上任一点，圆 O2 以 Q(a，b)为圆心且半径为 1，当
(a-x1)
2+(b-y1)
2=1 时，圆 O1与圆 O2相切.
其中假命题的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选 B.①因为 a≥b>-1，所以 a+1≥b+1>0.
所以 - = ≥0，所以 ≥ .故①为真命题.
②因为正整数 m，n 满足 m≤n，所以有 m>0，n-m≥0，
≤ = ，故②为真命题.
③实质是点 P1(x1，y1)在☉O1上，又 P1(x1，y1)也在☉O2上，但两圆相交于点 P1并不能保证两
圆相切.故③为假命题.
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)
3.(2015·西安高二检测)给出以下命题：
①y=ln(x+2)在区间(0，+∞)上单调递增；
②y=3x+3-x是奇函数，y=3x-3-x是偶函数；
③y= 的值域为 ；
④命题“若 cosx≠cosy，则 x≠y”是真命题，则其中正确命题的序号为________.
【解析】对于①，因为函数 y=ln(x+2)的单调递增区间为(-2，+∞)，故在区间(0，+∞)上
单调递增，故①正确；
对于②，y=3x+3-x是偶函数，y=3x-3-x是奇函数，故②错误；
对于③，y= 的值域为 ，故③错误；
对于④，命题“cosx≠cosy，则 x≠y”是真命题，故④正确；
故正确命题的序号是①④.
答案：①④
4.设 y=f(x)是定义在 R 上的函数，给定下列条件：
(1)y=f(x)为偶函数.
(2)y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称.
(3)T=2 为 y=f(x)的一个周期.
如果将上面的(1)(2)(3)中的任意两个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题
中，真命题有________个.
【解题指南】先写出相应的命题，然后判断真命题的个数.
【解析】①(1)(2)⇒(3)，由(2)知 f(x)=f(2-x)，
又 f(x)=f(-x)，所以 f(-x)=f(2-x)，
所以 T=2 为 y=f(x)的一个周期.
②(1)(3)⇒(2)，由(3)知 f(x)=f(2+x)，
又 f(x)=f(-x)，所以 f(-x)=f(2+x)，
所以 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称.
③(2)(3)⇒(1)，由(2)知 f(x)=f(2-x)，
所以 f(-x)=f(2+x)，由(3)知 f(x)=f(2+x)，
所以 f(x)=f(-x)，即 y=f(x)为偶函数.
答案：3
【延伸探究】若把条件中的“偶函数”改为“奇函数”，“关于直线 x=1 对称”改为“关于点
(1，0)对称”，结论如何？
【解析】①(1)(2)⇒(3)，由(2)知 f(x)=-f(2-x)，
又 f(x)=-f(-x)，所以 f(-x)=f(2-x)，
所以 T=2 为 y=f(x)的一个周期.
②(1)(3)⇒(2)，由(3)知 f(x)=f(2+x)，
又 f(x)=-f(-x)，所以 f(-x)=-f(2+x)，
所以 y=f(x)的图象关于点(1，0)对称.
③(2)(3)⇒(1)，由(2)知 f(x)=-f(2-x)，
所以 f(-x)=-f(2+x)，由(3)知 f(x)=f(2+x)，
所以 f(x)=-f(-x)，即 y=f(x)为奇函数.故真命题仍有 3 个.
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
5.(2015·兰州高二检测)把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式.
(1)末位是 0 的整数，可以被 10 整除.
(2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
(3)等式两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式.
【解析】(1)若一个整数的末位数是 0，则它可以被 10 整除.
(2)若一个点在线段的垂直平分线上，则它与这条线段两个端点的距离相等.
(3)若一个式子是等式，则它的两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式.
6.(2015·杭州高二检测)已知命题 p：x2+mx+1=0 有两个不等的负根，命题 q：4x2+4(m-2)x+1=0
无实数根.若 p，q 一真一假，求 m的取值范围.
【 解 析 】 方 程 x2+mx+1=0 有 两 个 不 等 的 负 根 ， 设 为 x1 ， x2 ， 则 有
若方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实数根，则有 16(m-2)2-4×4×1<0，解得 1
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